Метод поддержки принятия решений в малых группах

Введение. В процессе деятельности малых групп [1] (комиссий, комитетов) возникает необходимость принятия решения, в частности голосования. При этом решение должно отражать мнения всех членов группы, т.е. агрегировать их индивидуальные предпочтения и быть компромиссным. В ряде случаев [2-4] недостаточно выделить лучший вариант решения проблемы, но требуется упорядочить все возможные варианты в порядке убывания их предпочтительности.

При определенных профилях индивидуальных предпочтений (совокупности мнений участников выбора) известные методы формирования отношения группового предпочтения не обеспечивают получения решения или полученное решение противоречит мнению некоторых членов группы (коллектива) [2, 4, 5]. В связи с этим разработка новых методов формирования отношения группового предпочтения является одной из актуальных проблем в области группового принятия решений и голосования [1, 6]. В работе предлагается метод формирования компромиссного решения, разрешающего такие парадоксы голосования, как парадокс Кондорсе и парадокс Борда.

Постановка задачи группового (коллективного) выбора. Обозначим через A – множество альтернатив с числом элементов n : A = ( A1, A2,..., A n ) , индивидуальные предпочтения участников выбора:

R^j , j = 1, m заданы качественно - набором бинарных отношений нестрогого предпочтения Q^J : A iQ^J A k : A i >  A k или A i = A k , где > , = - отношения строгого предпочтения и эквивалентности соответственно, т.е. Q^J = { > , = } . Информация об индивидуальном предпочтении каждого члена группы представляется в форме обобщенной ранжировки с указанием равноценности ^Rj = A 1 QAQ j.V Q ...Q n^ A n , где Q^J = { > , = } V a = 1, n - 1 . Совокупность индивидуальных предпочтений всех членов группы образует профиль индивидуальных предпочтений, который представляет собой m -мерный кортеж ранжировок: R = ( R ^^ .RR^ m ) .

Способ обработки индивидуальных предпочтений представляет собой оператор, который отображает пару A,R на отношение группового (коллективного) предпочтения R agg = F ( r ^\., R^ m ): ( A , R ^ R agg , где законы отображения представляют собой методы формирования отношения группового предпочтения [4, 7].

Принцип согласования и метод решения задачи группового выбора. В основе каждого метода формирования отношения группового предпочтения лежит принцип – некое правило или набор правил, согласно которому происходит определение лучшей альтернативы (порядка предпочтительности альтернатив).

В [8] было предложено использовать в качестве принципа согласования «способ сужения множества Парето, основанный на усилении отношения предпочтения [9]». Данный принцип позволил [8]: «представить задачу группового выбора как игру, в которой каждая из альтернатив (кандидат) приводит сначала наиболее убежденных своих сторонников, затем менее убежденных и т.д., причем на каждое такое предъявление противники должны стараться, как минимум, адекватно ответить. Альтернатива, постоянно уступающая в таком поединке, выбывает. При этом в зависимости от ситуации она либо усиливает позиции победившей ее альтернативы и/или помогает остальным альтернативам в борьбе с ней». Формализованная идея принципа программно реализована [8,10]. При решении тестовых примеров из [2] принцип оказался менее эффективен, чем принцип Кондорсе: в ряде примеров отношение группового предпочтения не было получено, в то время как принцип Кондорсе позволял его получить. В связи с этим был сделан вывод о необходимости модификации принципа для обеспечения возможности решения данных примеров и разрешения парадоксов Кондорсе и Борда.

Модификация принципа согласования. Модификация вышеизложенного принципа согласования состоит в следующем:

• 1.    Представление принципа согласования в виде процедуры попарного сравнения несовпадающих альтернатив. При этом каждой альтернативе ставится в соответствие n -мерный вектор A,^ ( a i 1 , a i ₂ , ^ , a in ) , где a i -количество участников выбора, расположивших рассматриваемую альтернативу A i на j -е место в ранжировке ( i , j = 1, n ) , n - число альтернатив. Тогда процедура сравнения представляет собой покоординатное (покомпонентное) сравнение векторов ( a_i1 , a i ₂, ^ , a_in ) и ( a j 1 , a j ₂,..., a jn ) , характеризующих несовпадающие альтернативы. Если по всем координатам (компонентам), кроме последней A i не хуже A j , и значение последней

координаты (компоненты вектора) A i строго меньше значения соответствующей координаты вектора A j , то A i доминирует A j ( A i >  A j ). Худшие (доминируемые) альтернативы исключаются из дальнейшего рассмотрения, из них формируется множество доминируемых альтернатив L .

В ходе применения принципа все альтернативы делятся на три множества:

• •    множество доминируемых (худших) альтернатив ( L ):

A j е L ^ a il >  a ji и a_in <  a jn V l = 1, n - 1 V i = 1, n , j = 1, n : i Ф j

(альтернатива A_i предпочтительнее альтернативы A_j ).

• •    множество эквивалентных (равноценных) альтернатив ( Eq ):

A i = A j : A i , A j е Eq ^ a_il = a j _l V l = 1, n

(альтернативы A_i и A_j эквивалентны или равноценны).

• •    множество несравнимых альтернатив ( In ) содержит альтернативы, не принадлежащие ни множеству доминируемых, ни множеству эквивалентных альтернатив.

• 2.    Дополнение принципа согласования правилами сохранения преимущества, которые позволяют учитывать преимущество одной альтернативы над другой. Правила позволяют переносить превышение (разницу) значения координаты вектора, описывающего альтернативу, на следующую координату. Т.е. если

• •    a ik >  a jk ^V k = 1, ^{n - 2}, ^то a i , k + 1 = a i , k + 1 ^{+ ( a}ik ^- a jk ^- 1 ) ;

• •    ^если a i , n - 1 >  ^aj , n - 1 , ^то a jn = a jn ^{+ ( a}i , n - 1 ^{- a}j , n - 1 ^- 1 ) .

Полученный модифицированный принцип согласования индивидуальных предпочтений отличается от известных учетом всех (не только первой) позиций альтернативы в индивидуальных предпочтениях и наличием правил сохранения преимущества.

М-метод. На основе модифицированного принципа согласования индивидуальных предпочтений разработан метод формирования отношения группового (коллективного) предпочтения – М-метод. Опишем его в виде последовательности шагов (алгоритма):

Шаг 0. Пусть t - номер итерации, t = 1.

Шаг 1. Построение матрицы ранжировок S и матрицы эквивалентности D по исходным данным (индивидуальным предпочтениям):

S = ( s ij ) i = 1, n + 1, j = 1, k , k <  m , где n - число альтернатив, m - число участников выбора (экспертов), ( s i 1 , s i 2 , … , s in ) – ранжировка i- го эксперта ( Pr i ), s i , _{n + 1} - количество ранжировок такого вида:

D = (dij), i = й, j = U d = * ij

g - номер группы эквиваленюсти для j -го эксперта ,в которую входит A _i ;

0 - если A i не входит ни в одну группу эквивалентности.

S t = S , D t = D .

Шаг 2. Формирование матрицы приведенных номеров E^t на основании матриц S^t и D^t , где e_i^t_j – порядковый номер альтернативы A_i в ранжировке Pr_j .

Шаг 3. Построение квадратной матрицы сравнения C^t по матрице E^t , где c_i^t_j – количество экспертов, поставивших альтернативу A_i на j -е место.

Шаг 4. Анализ матрицы C t : если в матрице все элементы равны, то переход на шаг 0 с рекомендацией изменения исходных данных: множества альтернатив или ранжировок путем их увеличения или сокращения.

Шаг 5. Применение нового принципа согласования для расширения множества доминируемых альтернатив L t новыми худшими альтернативами с помощью нового принципа согласования: A i ^ L ^ a t <  a i + 1, j ^и a in >  a i + 1, n . ^v i = 1, ^{n - 1 v} j = 1, ⁿ .

Шаг 6. Анализ множества доминируемых альтернатив L^t : если |Lt | = n - 1, то переход на шаг 10, т.к. решение найдено; если L t = L t ^{- 1}, то переход на шаг 9, т.к. невозможно расширить множество доминируемых альтернатив с помощью нового принципа согласования и необходимо применить к оставшемуся множеству альтернатив другие принципы согласования.

Шаг 7. Удаление из индивидуальных предпочтений (ранжировок) альтернатив, входящих в L^t .

Шаг 8. t = t + 1, переход на шаг 1.

Шаг 9. Применение на множестве оставшихся альтернатив методов: Нансона, Кумбса, Фишберна [4] с последующим переходом на шаг 10.

Шаг 10.Окончание работы: отображение результатов.

Пример применения М-метода. Рассмотрим работу алгоритма на примере профиля индивидуальных предпочтений, приводящего к возникновению парадокса Кондорсе [11]. Пусть задано 3 альтернативы A = ( a , b , c ) , профиль индивидуальных предпочтений представлен в таблице 1.

Таблица 1

Исходный профиль индивидуальных предпочтений

Необходимо построить отношение группового предпочтения. Решение:

Итерация 1:

^ a

b

c

t = 1; матрица ранжировок S ¹ = b

c

к c

a

a b

л

;

в данном случае все альтернативы строго упорядочены, поэтому матрица эквивалентности является нулевой, опустим ее из рассмотрения;

г

матрица приведенных номеров

E ¹ =

к

л

;

Г 8

матрица сравнения C ¹ = 6

к 7

6 )

( a )

7( b ).

8 7 ( c )

Индивидуальные предпочтения	Количество голосующих
а —^ b —^ c	8
b —— c —— а	7
c —— а —— b	6

В результате сравнения альтернатив a = ( 8,7,6 ) и c = ( 7,6,8 ) получаем: а доминирует c ( a ^ c ^ c е L ).

После удаления альтернативы c из индивидуальных предпочтений получим профиль, представленный в таблице 2.

Таблица 2

Измененный профиль индивидуальных предпочтений

Индивидуальные предпочтения	Количество голосующих
a — b	8
b — a	7
a — b	6

Итерация 2:

	( a	b	8 ^		( 1	2	8 ^
t = 2, S 2 =	b	a	7	, E 2 =	2	1	7	, c 2
	. a	b	6 J		1 1	2	6 J

( 14 ⁷ ) ⁽ a)

( 7 14 J ( b )

Результат сравнения: a ^ b ^ b e L ²: L 2 = L u { b } .

Окончательный результат (отношение группового предпочтения):

a —— b —— c

Принцип Кондорсе в данном примере приводит к получению нетранзитивного отношения группового предпочтения: a — b — c — a . Результат применения метода Борда не однозначен: a = b — c . Решение, полученное с помощью М-метода, транзитивно и однозначно (строго упорядочено).

Свойства М-метода и его сравнение с другими. В качестве основных свойств методов формирования отношения группового предпочтения выделяют [11] следующие:

• 1.    Единогласие – если альтернатива A i лучше альтернативы A j для всех членов коллектива, то A j не может стать лучшей альтернативой в групповом предпочтении. Выполняется для М-метода, т.к. значение текущей координаты, кроме последней, вектора-характеристики альтернативы A i больше (как минимум, на 1), чем соответствующая координата вектора-характеристики альтернативы A j . Последняя же координата у A i равняется 0, а у A_j может быть отлична от 0.

• 2.    Анонимность – если 2 участника выбора поменяются индивидуальными предпочтениями, то результат не изменится. Выполняется для М-метода.

• 3.    Нейтральность – если в индивидуальных предпочтениях поменять местами А и В, то соответствующим образом изменится и результат. Выполняется для М-метода.

• 4.    Монотонность – улучшение позиции лучшей альтернативы в индивидуальных предпочтениях не приведет к ее проигрышу. Выполняется для М-метода, т.к. улучшение позиции альтернативы в индивидуальных

• 5.    Учет мнений всех участников коллектива. Выполняется для М-метода.

• 6.    Неманипулируемость - не выполняется ни одним из известных методов (теорема невозможности Эрроу [2-5]).

предпочтениях увеличивает значения первых координат вектора характеристики, что, в свою очередь, в соответствии с принципом согласования, усиливает степень предпочтительности данной альтернативы в процессе сравнения с другими альтернативами.

Результаты сравнения методов и М-метода приведены в таблице 3.

Сравнительный анализ методов

Таблица 3

Название метода	Свойства					Количество свойств
	S kJ g О И S	1-0 S kJ	1-0 1-0 )S И	1-0	)S S И X со н
Мажоритарные правила
Правило относительного большинства	+	+		+		3
Правило     абсолютного большинства	+	+	+	+		4
Методы, состоятельные по Кондорсе
Метод Кондорсе	+	+	+	+	+	5
Метод Симпсона	+	+		+	+	4
Метод Коупленда		+	+	+	+	4
Методы подсчета очков
Метод Борда		+	+		+	4
Модификация метода Борда	+	+	+		+	4
Метод антибольшинства		+	+		+	3
Гибридные методы
Метод Нансона	+	+	+		+	4
Метод Фишберна	+	+	+	+	+	5
Метод Кумбса	+	+	+	+		4
М-метод	+	+	+	+	+	5

На основе результатов сравнения методов можно утверждать:

• 1.    М-метод по своим свойствам близок принципу Кондорсе, но в большей степени ориентирован на поиск компромисса и учет мнений (ин-

• дивидуальных предпочтений) всех участников выбора и позволяет разрешить парадокс Кондорсе (получение нетранзитивного отношения предпочтения).

• 2.    Несмотря на превосходство М-метода над некоторыми методами, существуют профили индивидуальных предпочтений (например, равное количество ранжировок, образующих цикл), для которых он не является решающим. В этих случаях предлагается применять М-метод в комплексе с другими гибридными методами.

Заключение. Эффективное принятие решений в малых группах требует применения специализированного математического обеспечения в виде методов построения отношения группового предпочтения.

В данной работе предложен новый принцип согласования индивидуальных предпочтений и построенный с его помощью метод формирования отношения группового предпочтения (М-метод), приведен модельный пример и сравнение с другими методами.

Применение М-метода позволит разрешить ряд парадоксов, в том числе парадокс Кондорсе (получение нетранзитивного отношения предпочтения) и парадокс Борда (проигрыш альтернативы, самой предпочтительной более чем для половины членов группы). Однако существуют профили индивидуальных предпочтений, при которых М-метод не является решающим. В связи с этим предлагается его использовать только в комплексе с другими методами группового выбора.

В случаях профилей индивидуальных предпочтений с равным количеством ранжировок, образующих цикл, решение не может быть найдено ни одним методом. В таких случаях необходимо изменить постановку задачи – сократить или расширить множество альтернатив/ранжировок.