Метод приведения в задачах динамики машин и его реализация на примере момента инерции простого механизма с использованием Python

EDN: NQSRMF

Введение . В общем случае механизмы представляют сложную нагруженную систему связанных между собой звеньев. Определение закона движения такой системы по известным приложенным к ней силам представляет собой сложную задачу. Поэтому для решения задач динамики, связанных с определением закона движения машины под действием заданных сил, удобно пользоваться понятиями приведенной массы и приведенной силы.

История вопроса . Введение этих величин позволяет заменить движение всего механизма движением его упрощенной динамической модели в виде одного звена, называемого звеном приведения (рис. 1). При этом решение системы дифференциальных уравнений сводится к решению одного уравнения этого звена, которое определяет закон движения механизма. Такой подход называют методом приведения. Метод приведения, строго обоснованный в классических трудах И.И. Артоболевского [Артоболевский И.И.], широко применяется при анализе динамики механизмов с одной степенью свободы. В учебных пособиях Е.К. Кичаева и его соавторов [Кичаев Е.К. а), б)], приведены расчётные схемы и примеры для кривошипно-ползунного механизма, однако решения чаще основаны на ручных вычислениях и приближённых соотношениях. Возможности цифровизации инженерных расчётов с использованием Python отмечены в работах С.В. Назарова [Назаров С.В.], но конкретные приложения к динамике машин остаются недостаточно раскрытыми.

В настоящей работе реализуется точный численный расчёт приведённого момента инерции для полного цикла (0°–360°); разработан открытый код программного решения на Python, доступного для воспроизведения и модификации студентами; приведена интеграция метода приведения в педагогическую практику как средства формирования цифровой инженерной компетентности.

Методы исследования . В работе использован комплексный подход, объединяющий теоретический анализ, математическое и компьютерное моделирование, а также элементы педагогического проектирования. На первом этапе проведён ретроспективный анализ научно-методической литературы по теории механизмов и машин и дидактическим аспектам применения цифровых инструментов в инженерном образовании. На втором этапе выполнено аналитическое моделирование динамики кривошипно-ползунного механизма с использованием метода приведения – получены точные и приближённые формулы для приведённого момента инерции, основанные на принципах сохранения кинетической энергии и эквивалентности мощностей. На третьем этапе реализовано численное моделирование: с помощью языка программирования Python разработана вычислительная модель, позволяющая автоматизировать расчёт приведённого момента инерции в зависимости от угла поворота кривошипа и визуализировать результаты. Программная реализация рассматривается как педагогический инструмент, способствующий наглядности, интерактивности и самостоятельной исследовательской деятельности студентов.

Таким образом, методологическую основу исследования составляют: анализ научных и учебных источников, математическое моделирование, вычислительный эксперимент и педагогическое проектирование учебной задачи с опорой на междисциплинарную интеграцию знаний.

Результаты исследования . Звено приведения, в качестве которого обычно принимается начальное звено, совершающее вращательное движение, обладает приведенным моментом инерции J п , находится под действием приведенного момента сил M _п и имеет угловую скорость ω .

Рис. 1 . Динамическая модель механизма с одной степенью свободы (Dynamic model of a mechanism with one degree of freedom)

Приведение сил основано на принципе возможных перемещений, согласно которому работа всех внешних сил на соответствующих им элементарных перемещениях равна нулю

∑ F k ⋅δ s k + ∑ M k ⋅δϕ k = 0 . kk

Все силы могут быть заменены одной силой F _п или одним моментом M _п , называемые приведенными, мощностькоторых равна сумме мощностей приводимых сил.

P п = ∑ P i ,

i где P= M⋅ ω – мощность приведенного момента, ∑ Pi = ∑ Fi ⋅ vi + ∑ M i ⋅ ωi – мощность приводимых сил, Fi, Mi – главный вектор сил и главный момент, которые приложены к i – звену механизма.

Как правило, приведенную силу помещают в точку А кривошипа, а приведенный момент рассматривают относительно точки. Приведенный момент M _п учитывает лишь тангенциальную составляющую силы F _п , знак M _п соответствует знаку суммы мощностей, передаваемых звеньям.

Приведенный момент сил определяется по формуле

M п = F n •  = У Fv^L + У M i -°

® i     i     « 1     i      ® i

Приведение масс основано на равенстве кинетических энергий звена приведения и звеньев механизма

T n = У t ■

i

где Т _п = J _п • -^— кинетическая энергия звена приведения, ^ T_t = У J •   + ^

v i ² i ₂

кине-

тическая энергия звеньев механизма.

Приведенный момент инерции определяется по формуле

22  22

J п = У J i -°  + У m      , или J п = У J-d ^ i-  + У m i -d ii     l® 1 J i     l® 1 )              i I ^d ф 1 ) i \^d ф 1 )

Рассмотрим кривошипно-ползунный механизм, звено приведениякоторого кривошип, вращается с угловой скоростью « . Определим приведенный момент инерции

^J п = ^J 1 ^{+ J}s 2 ■ u ₂₁ ^{+ m}2 ■ u 31 ^{+ m}3 ■ ^u 41

ю,   d ф,        v?   ds?        v   ds, где u 21 = —2 = —2, u31 = — = —2, u 41 = — = —3— передаточные отношения скоростей ю1   d ф1       ю1   d ф1       ю1   d ф1

звеньев механизма к скорости звена приведения, ю2 - угловая скорость шатуна, v2 - скорость цен тра масс шатуна, v3 – скорость ползуна.

Положение механизма с одной степенью свободы в любой момент времени может быть определено одним независимым параметром, например φ1 – углом поворота кривошипа. Введем следующие обозначения: r - длина кривошипа, l - длина шатуна, ф2 - угол поворота шатуна, а - положение цен тра масс шатуна, X = — .

Для кривошипно-ползунного механизма, эксцентриситет которого равен нулю, справедливы следующие равенства:

r sin ф ₁ = l sin ф ₂ , sin ф ₂ = X sin ф ₁ ,      cosф ₂ = ^1 -X² sin² ф ₁ ,           (7)

причем для малых X можно принять cos ф 2 = ^1 — X² sin² ф 1 « 1 .

Дифференцируя выражения (7) найдем угловую скорость шатуна

. cos ф1            X cos ф1

ю ₂ = о.) , X------- = —«  .           ¹     ,                           (8)

^{cos ф} 2        ^1 — X² sin² ф ₁

для малых X : о ₂ = -« ₁ X cos ф ₁ .

Положение ползуна

(              1

sin² ф 1 I .

X 3 = r cos ф 1 + 1 cos ф₂ = r I cos ф 1 + —

Дифференцируя выражение (9) найдем скорость ползуна v3 = -o1 r 1 +

I

Л cos ф 1

л 2 • 2

- Л sin ф 1 J

sin ф 1 ,

для малых Л : V 3 = -o r I sin ф + — sin 2 ф 1 I .

Положение центра масс шатуна

(             . a

x 2 = r I cos ф 1 + —

sin² ф 1 I ,

y2 = r sin ф1 -al sin ф2 = r (1 -a) sin ф.

Дифференцируя выражения (11) найдем проекции скорости центра масс шатуна vx 2 = -o1 r 1 +

a! cos ф 1

Л 2 • 2

- Л sin ф1

sin Ф 1 ,

vy 2 = -®1 r (a-1) cos ф1.

для малых Л : v x 2 =-o r I sin ф 1 +“■ sin2ф 1 | , v y 2 = -0 r ( a- 1 ) cos ф 1 .

Найдем скорость центра масс шатуна

v =

v x 2 ⁺ v y 2 = ^o 1 ^r

,     a! cos ф,

1 +   ,           ¹

sin² ф 1 ^

sin² ф 1 + ( a - 1 ) 2 cos² ф 1 ,

для малых Л : v = o r.

.      , a!

sin ф 1 +    sin 2ф 1

cos² ф 1

Для примера рассмотрим кривошипно-ползунный механизм двухтактного двигателя внутреннего сгорания (ДВС) автономной электроустановки [Кичаев Е.К. а), б)], который приводит в движение электрогенератор, вырабатывающий электрический ток. Исходные данные расчета представлены в табл. 1.

Таб. 1 . Исходные данные расчета кривошипно-ползунного механизма ДВС (Initial data for calculating the crank-slider mechanism of the internal combustion engine)

Длина кривошипа	l 1 , м	0.06 2
Длина шатуна	l 2 , м	0.24 9
Коэффициент, определяющий положение центра	α = AC / АВ	1/3

масс шатуна
Масса кривошипа	m 1 , кг	1.87
Масса шатуна	m 2 , кг	2.49
Масса ползуна	m 3 , кг	1.87
Момент инерции кривошипа	J 1 , кгм 2	0.00 2
Момент инерции шатуна	J 2 , кгм 2	0.03

Рис. 2 . Код расчета приведенного момента инерции кривошипно-ползунного механизма на языке программирования Python (Python code for calculating the reduced moment of inertia of a slider-crank mechanism) import numpy as np # Параметры механизма г = 0.062       # длина кривошипа, м

1 = 0.24867     # длина шатуна, м а = 0.33333     # положение центра масс шатуна

1а = г/1        # отношние длины кривошипа к длине шатуна

• # Массы и моменты инерции

ml =1.87      ♦ масса кривошипа, кг m2 =2.49      # масса шатуна, кг m3 =1.87      # масса ползуна, кг

Л= 0.002      # момент инерции кривошипа, кг 'М2

J2 = 0.2*т2*1**2     # момент инерции шатуна относительно центра масс, кг-м2

• ♦ Угол поворота кривошипа (от 0 до 360 градусов) phi_deg = np.linspace(0, 360, 360) phi rad = np.deg2rad(phi deg) ♦ Производная угла шатуна по углу кривошипа def dtheta2 dphi(г, la, phi):

return -г * np.sqrt(np.sin(phi)**2 * (1 + (a*la * np.cos (phi)) / np.sqrt(l - la**2 * np.sin(phi)**2))**2+(a-1)**2*np.cos(phi)**2) # Расчёт компонентов приведённого момента инерции dtheta2 = dtheta2 dphi (r, la, phi rad) dS3 = dS3_dphi(r, la, phi_rad) dS2 = dS2 dphi (r, a, la, phi_rad) J_rot =J1 J slider = m3 * dS3**2 J link trans = m2 * dS2**2 J_link_rot = J2 * dtheta2**2 # Общий приведённый момент инерции J_total = JI + J_slider + J_link_trans + J_link_rot

Результаты расчета для двенадцати положений кривошипно-ползунного механизма ДВС в течение одного цикла приведены в таблице 2.

Таб. 2 . Приведенный момент инерции кривошипно-ползунного механизма ДВС (Reduced moment of inertia of the crank mechanism of the internal combustion engine)

Nп /п	φ 1	u 21	u 31	u 41	J п
0	0	-0.2493	-0.0413	0	0.008 2
1	30	-0.2176	-0.0489	-0.0377	0.012 1
2	60	-0.1277	-0.0597	-0.0605	0.018 2
3	90	0	-0.0620	-0.0620	0.018 8
4	120	0.1277	-0.0554	-0.0468	0.014 3
5	150	0.2176	-0.0459	-0.0243	0.009 8
6	180	0.2493	-0.0413	0	0.008 2
7	210	0.2176	-0.0459	0.0243	0.009 8
8	240	0.1277	-0.0554	0.0468	0.014 3
9	270	0	-0.0620	0.0620	0.018 8
10	300	-0.1277	-0.0597	0.0605	0.018 2
11	330	-0.2176	-0.0489	0.0377	0.012 1
12	360	-0.2493	-0.0413	0	0.008 2

Зависимость приведенного момента кривошипно-ползунного механизма и его некоторых составляющих от угла поворота кривошипа показана на рис. 3.

Рис. 3 . Приведённый момент инерции кривошипно-ползунного механизма (Reduced moment of inertia of the slider-crank mechanism)

0.0200

Угол поворота кривошипа , град

Выводы . В ходе рассмотрения динамики механизмов с одной степенью свободы показано, что реальные сложные механические системы можно эффективно моделировать с использованием метода приведения. Понятия приведённой массы и приведённого момента сил позволяют существенно упростить динамический анализ, сводя движение всей системы к движению одного условного звена – звена приведения, обычно совпадающего с начальным звеном механизма.

Современные вычислительные технологии, такие как программирование на языке Python, позволяют автоматизировать подобные расчёты, делая их более наглядными и доступными для студентов технических специальностей. Использование искусственного интеллекта и программирования в учебном процессе способствует формированию междисциплинарных компетенций, включающих знания в области теории механизмов, теоретической механики, а также навыков работы с численными методами и современными инструментами разработки.

Таким образом, применение метода приведения в сочетании с численным моделированием является не только эффективным инженерным подходом, но и важным элементом практической подготовки будущих специалистов технической направленности.