Методика обучения решению задач методами геометрических преобразований плоскости

Понятие преобразования является для геометрии ключевым. Особая роль этих преобразований в геометрии объясняется тем, что они оставляют неизменными все существенные свойства геометрических фигур. Можно сказать, что та геометрия, которую изучают в школе, является геометрией подобия. Однако геометрические преобразования не всегда изучались в школьном курсе математики, а только с середины XX века и включены в школьный курс математики по ряду причин:

• •     геометрические преобразования вносят в традиционную гео

метрию изменения перемещения;

• •     преобразования являются методом решения задач и доказа

тельства теорем (например, о центре симметрии параллелепипеда, свойства пирамиды);

• •     развивают пространственное мышление у учащихся;

• •     находят применение в других науках (в биологии – симметрия,

строительстве, кристаллографии, ИЗО и других науках).

В стандарте основного общего образования по математике, принятом в 2004 году, тема «Геометрические преобразования» включена в обязательный минимум содержания основных образовательных программ и подлежит непременному изучению, но специально оговорено, что геометрические преобразования «даются в ознакомительном порядке и не выносятся на итоговый контроль». В программу включены такие вопросы изучения геометрических преобразований как «Примеры движений фигур. Симметрия фигур. Осевая симметрия и параллельный перенос. Поворот и центральная симметрия. Понятия о гомотетии. Подобие фигур».

Введение в стандарт основного общего образования по математике темы «Геометрические преобразования» обосновано как необходимостью ознакомить учащихся с примерами преобразования плоскости, встречающимися на практике, так и потребностями самого предмета геометрии. Понятие движения как частного случая преобразования плоскости важно, прежде всего, тем, что, опираясь на него можно ввести общее понятие равенства геометрических фигур. Это, в свою очередь, необходимо для обоснования правил построения фигур с заданными свойствами, а еще точнее – для этапа «исследование» в задачах на построение фигур. А преобразование подобия дает способ построения подобных фигур, чем доказывается их существование, и также применяется для решения задач на построение.

Иными словами, основной целью обучения геометрическим преобразованиям в школьном курсе геометрии в соответствии со стандартом основного общего образования по математике является знакомство учащихся с примерами движений плоскости, а также преобразованиями подобия.

Для обеспечения достаточно полного достижения цели обучения учителю необходимо придерживаться специальной методики обучении, которая позволит целенаправленно формировать умения решать задачи методами геометрических преобразований плоскости, а именно:

• а)    строить образы фигур при симметрии, повороте, параллельном переносе и гомотетии;

• б)    видеть соответственные при указанном отображении точки на соответственных при том же отображении фигурах;

• в)    выделять элементы, определяющие отображение: ось симметрии, центр поворота, угол поворота, направление параллельного переноса и его расстояние, центр и коэффициент гомотетии;

• г)    строить соответственные при указанном отображении точки на произвольных фигурах.

Указанные умения позволяют выделить следующие виды задач, способствующие овладению методом геометрических преобразований:

• 1.    Задачи на построение образов фигур при указанном отображении.

• 2.    Задачи на выделение соответственных при отображении точек на соответственных при том же отображении фигурах.

• 3.    Задачи на выделение элементов, определяющих преобразование.

• 4.    Задачи на построение соответственных при отображении точек на любых заданных фигурах.

Умение решать задачи каждого следующего вида существенно зависит от навыка решать задачи предыдущего вида. При переходе к последу- ющему виду задач учащиеся поднимаются на новую, более высокую ступень в усвоении идеи метода геометрических преобразований.

Задачи, решаемые методами геометрических преобразований – это задачи на доказательство, построение и вычисление. Они решаются на протяжении всего периода обучения в школе.

Данные задачи классифицируются в сборниках задач по методам их решения:

• а)    задачи, решаемые методом симметрии;

• б)    задачи, решаемые методом поворота;

• в)    задачи, решаемые методом гомотетии.

Такая классификация подсказывает выбор нужного метода при решении конкретной задачи.

Выделим общий метод решения задачи методом геометрических преобразований плоскости:

• 1)    На этапе изучения условия уяснить взаимное расположение данных или искомых точек или фигур.

• 2)    На этапе анализа (поиска решения) в предположении, что задача решена, сделать эскиз, установить связи между данными и искомыми, выбрать геометрическое преобразование, которое позволит обосновать наличие того или иного отношения между объектами.

• 3)    Указать (или выполнить) выбранное преобразование так, чтобы один объект переходил в другой (или вспомогательный).

• 4)    В задаче на доказательство обосновать наличие указанного отношения с помощью свойств указанного преобразования.

• 5)    В задаче на построение если нужно, преобразовать вспомогательную фигуру в искомую и провести доказательство или исследование.

Приведём пример решения задачи на основе метода гомотетии.

Задача. Докажите, что прямая содержащая точку О пересечения диагоналей трапеции АВСD и точку М – середину основания ВС, пересекает второе основание АD трапеции АВСD в точке N, являющейся серединой основания АD.

Решение:

Рассмотрим гомотетию с центром О при которой ВС > АД. Образ M ’ точки М принадлежит как отрезку АД (М g BC), так и прямой МО, т.е. M = MO л DA,а потому M = N. Так как гомотетия сохраняет отношение расстояний, то ^ = ^ = 1, т.е. N - середина отрезка AD.

Проанализируем данную задачу согласно общему методу решения задачи методом геометрических преобразований плоскости, а именно с помощью гомотетии.

• 1.    На этапе изучения условия необходимо с учащимися уяснить

• 2.    На этапе анализа (поиска решения) в предположении, что зада-

• ча решена, сделать эскиз, который позволит заметить, что для решения задачи достаточно доказать, что точка М равна точке N. Также следует обратить внимание учащихся на подобие треугольников ВСО и DAO, из чего последует решение

• 3.    Указать (или выполнить) выбранное преобразование так, чтобы один объект переходил в другой (или вспомогательный).

• 4.    После следует указать, что на основе гомотетии ВС → АД и образ точки М совпадает с точкой N.

• 5.    Данная задача – задача на доказательство, поэтому заканчиваем решение обоснованием доказательства на основе свойства гомотетии сохранять отношение расстояний.

взаимное расположение сторон трапеции, её диагоналей.

в применении метода гомотетии.

Можно предложить следующую последовательность, которой следует придерживаться учителю в построении уроков, направленных на формирование у учащихся умений решать задачи методами геометрических преобразований плоскости:

• 1.   Рассмотрение примеров фигур, обладающих свойством быть

• 2.   Построение плоских фигур.

• 3.   Решение задач на узнавание.

• 4.   Выявление свойств преобразования, их доказательство.

• 5.    Решение задач на усвоение понятия данного преобразования и его свойств.

• 6.    Примеры применения данного преобразования к решению задач и доказательству теорем.

• 7.    Выявление действий по применению теории к решению задач, их последовательности и ситуаций применения.

• 8.    Обобщение выявленных действий в виде приёма к решению задач на плоскости.

• 9.    Применение полученного приёма к решению задач на плоскости.

полученной одна из другой с помощью данного преобразования.

Использование геометрических преобразований при решении задач имеет большое методическое значение, однако действующая программа по геометрии не предполагает использовать идею геометрических преобразований в качестве руководящей идеи школьного курса геометрии.