Методологические основы моделирования физических процессов в высшей школе

В статье дается методологическое обоснование применения математических методов в исследовании физических процессов. Рассматривается конкретный пример использования метода моделирования при исследовании процесса воздействия лазерного облучения на изменение структуры монокристаллов кремния.

Современное состояние экономики определяется конкурентоспособностью и востребованностью на рынке продукции действующих предприятий. В свою очередь, выпуск высококачественной продукции и одновременно снижение ее себестоимости невозможны без внедрения в производство наукоемких технологий, разрабатываемых в научных и научнообразовательных учреждениях.

Возрастающая сложность современных технологических систем и устройств, расширение их возможностей, отвечающих высоким информационным технологиям, ставят перед высшей школой задачи по подготовке специалистов, владеющих самыми современными «инструментами» — информатикой, математикой, физикой, методами моделирования. Все это требует перевода преподавания на новую методологическую основу с соблюдением единства теории познания сущности физических явлений и методики обучения, с использованием различных методов и приемов, с активизацией учебно-воспитательного процесса. Только таким путем можно фор мировать у будущих специалистов способность к творческой работе, вырабатывать и развивать навыки к исследовательской деятельности. Наличие таких способностей и навыков позволит им в дальнейшем самостоятельно неоднократно переучиваться, систематически пополнять свои знания, будучи уже на конкретной практической работе1.

Одним из важнейших направлений научно-технического прогресса является создание современных электротехнических приборов на основе высококачественных полупроводниковых материалов. Нами проводились исследования воздействия лазерного облучения на изменение структуры монокристаллов кремния с использованием современных методов2. Одновременно была сделана попытка смоделировать этот сложный процесс с тем, чтобы обеспечить управление технологией создания необходимых полупроводниковых материалов для изготовления качественных приборов. Были достигнуты определенные результаты и на их основе выработаны конкретные рекомендации, которые имеют

ИН. К. Сорокина, Т. В. Золина, 2006

практическое значение. Кроме того, исследование изменения структуры кремния под воздействием лазерного облучения было интегрировано нами с современной методикой преподавания при чтении спецкурса. Этот факт может служить положительным примером совершенствования учебного процесса в соответствии с новыми требованиями подготовки высококвалифицированных специалистов.

Для получения материалов с наилучшими параметрами необходим более глубокий анализ сложной картины изменения структуры кремния. Учитывая, что кристаллическая структура в сущности есть удар, повторяющийся в трех измерениях, функция плотности может быть представлена в виде суммы соответствующих рядов Фурье.

Разложение, названное именем Фурье, долгое время использовалось как математический прием и не связывалось с какими-либо физическими представлениями. Однако в 1920-х гг. спектральные разложения приобрели физический смысл и нашли практическое применение.

Было установлено, что функции можно разложить не только по синусам и косинусам, но и по другим ортогональным базисным системам3. Тем не менее непосредственно для целей спектрального анализа подобные ортогональные функции практически не использовались из-за трудностей интерпретации получаемых результатов. Создание теории обобщенного спектрального анализа позволило по-новому оценить значение классического спектрального анализа Фурье и пределы его практического применения, предложить методы, критерии синтеза базисных систем, наиболее приспособленные для решения конкретной практической задачи.

Способ, при помощи которого дискретное преобразование Фурье вычисляется за N log, N операций, напоминает быструю сортировку. Этот способ, предполагающий рекурсивное разбиение массива чисел на два подмассива и сведение вычисления дискретного преобразования Фурье от целого массива к вычис лению дискретного преобразования Фурье от подмассивов в отдельности, носит название быстрого преобразования Фурье (БПФ). Особенностью БПФ служит малое время преобразования. Единственным и существенным ограничением БПФ следует признать то, что оно работает только с наборами данных, длина которых является степенью двойки.

Вейвлет-преобразование имеет преимущество перед преобразованием Фурье, прежде всего за счет наличия у вейвлетов свойства локальности4. Это позволяет анализировать локальные свойства функции, тогда как преобразование Фурье не дает никакой информации, например о том месте, где частота функции изменилась. Посредством разложения по вейвлетам можно определить положение особенностей функции, наблюдая за тем, где вейвлет-коэффициенты принимают большие значения. С помощью преобразования Фурье ничего подобного сделать невозможно.

Следует помнить, что вейвлет-анализ не всегда может заменить фурье-анализ. Кроме того, многие теоремы вейв-лет-анализа доказываются с помощью разложения Фурье. Таким образом, вейвлет- и фурье-анализ дополняют друг друга. С учетом этого в нашей работе использовались оба метода.

В настоящее время исследование физических процессов во многих случаях достигло такого уровня развития, что предполагает использование математических методов, позволяющих адекватно выразить их в конкретных функциях и разработать модель с целью управления ими для достижения максимального конечного результата. Однако это возможно лишь в том случае, если созданию математической модели будет предшествовать глубокая и содержательная теоретическая разработка изучаемой физической проблемы, в нашем случае — проблемы воздействия лазерного облучения на изменение структуры полупроводникового кремния.

Подчеркнем, что без глубокого раскрытия физической сущности конкретно- го процесса никакие количественные методы не могут дать положительных результатов, что нисколько не умаляет значение математики. С точки зрения материалистической диалектики при исследовании данного сложного явления необходимо добиваться единства качества и количества при примате первого, т. е. сначала необходимо раскрыть физическую природу влияния лазерного излучения на структуру кремния и лишь затем использовать качественный анализ. Иначе говоря, процесс формирования математического аппарата должен быть адекватен предмету исследования физического явления, что выступает в качестве определяемой закономерности. Именно это обстоятельство предполагает тесное сотрудничество физиков и математиков.

Рассматривая методологические вопросы применения математики в исследовании процесса воздействия лазерного облучения на структуру кремния, мы так или иначе обращаемся к проблеме истинности математической теории и, в связи с этим, существенности и несущественности связей и сторон столь сложного явления. Ведь математический метод, как и любой другой метод теоретического познания, предполагает абстрагирование от определенных сторон, связей исследуемых процессов. Понят но, что в зависимости от того, какие связи и стороны учитываются, а какие нет, исследователь получает различные математические модели и, как следствие, приходит к различным выводам. Важно определить, какие связи и стороны явлений считать существенными, а какие нет, от каких связей и сторон можно абстрагироваться, а от каких нельзя. Выбор существенных и абстрагированных связей и сторон не зависит от используемого конкретного метода. Этот выбор определяется мировоззренческой, общеметодологической физической сущностью явления.