Методы решения некорректно поставленной задачи металлургической теплотехники

Температура печного пространства является одним из важнейших технологических параметров, от правильного задания которого в существенной степени зависит качественное осуществление технологического процесса. Вместе с ним непосредственное измерение температуры внутри печи наталкивается на трудности, связынные с наличием высоких температур.

Объекты и методы исследований

В связи с этим особую актуальность приобретают дистанционные методы определения температур, основанные на математической обработке результатов измерения температуры и теплового потока. При этом, как правило, решаются обратные задачи теплопроводности (ОВТ), путем применения эффективного метода квазиобращения [1,2,3].

Соответствующая рассмотриваемой ОЗТ прямая задача теплопроводности имеет вид:

эволюционного уравнения второго порядка и поменяем название координатных осей. Имеем

82Т

= АТ, 0 < t < 1,0 < х < 1, 8t²

8Т

—

— = 9 о (х) = 0,t = 0,0 < х < 1, 8t

Т(0,х) = Т ₀ (х), 0 < х < 1, t = 0, Ж0) = 0,0 < t < 1,х = 0.

8Т 82Т

= ч-^,0 <х <1,0

—

—

8Т

— = —1,х = 1,0 < t < 1, 8t

8Т

— = 0,х = 0,0 < t < 1, 8t

Т(х, 0) = 0,0 < х < 1, t = 0, где Т(х, t) - температура пластины.

В качестве дополнительного

условия

однозначности (модель результата термомет-рирования внешней поверхности пластины) может быть взято, например, уравнение:

Т(0, t) = t,

или

1                      (6)

Т(0, t) = t — 2 ^(—1)‘ -т^—т; ezp(—^²i²t).

i=1

Таким образом, целью проводимого в настоящей работе исследования является определение путем решения уравнения (1) с заданными условиями однозначности (2), (3), (6) (или(5)) искомой температуры на внутренней поверхности пластины. Предполагаем, что температура известна на термометри-руемой внешней поверхности в любой точке заданного временного интервала.

Прежде чем перейти к решению поставленной задачи, переформируем ее в терминах начально-краевой задачи для

Здесь оператор А = -^ .В силу спектральной структуры оператора А задача (7)-(10) в общем случае не обладает свойством устойчивости и является некорректной задачей математической физики. Поэтому для ее решения необходимо построение какого-либо регуляризующего алгоритма. Для построения одного из таких алгоритмов воспользуемся методам квазиобращения, предложенным в [1] и развитым в [2,3].

Алгоритм метода квазиобращения.

На первом шаге решения поставленной задачи перейдем от функции T(t, х), являющейся решением задачи (7)-(10), к отысканию семейства Т_а (t, х) решений регуляризованной задачи:

82Т

• --^ = АТ — аА*АТ, 0 < t < 1,0 < х

8t²       “          “

< 1,

• — ^ = Яо(х) = 0,t = 0,0 < х < 1, 8t

Т_а(0,х) = Т0(х),0 < х < 1, t = 0,

T_a(t,0) = 0,0 < t < 1,х = 0,

8Т_а

—— = 0, х = 0,0 < t < 1, 8х

где, А* = — -^, а - параметр регулярузации. В рассматриваемом случае функция д₀(х) = 0. Однако, в реальных условиях при наличии шума в измерениях она может принимать значения, отличные от нуля.

Заметим, что задание дополнительного условия (15) является необходимым, поскольку уравнение (11) имеет второй порядок по переменной х. Оно непосредственно вытекает из уравнения теплопроводности (7).

В развернутой форме начально-краевая задача (11)-(15) имеет вид:

82Т   82Т  8Т

—^ = а —4 + -^,0< t< 1,0 <х< 1,

8t2      8х2    8х

—

8Та

— = ^(х) = 0,t = 0,0 < х < 1, 8t

Ta(0,х) = T0(х), 0 < х < 1, t = 0, Ta(t,0) = 0,0 < t < 1,х = 0, 8Ta

—= 0,х = 0,0 < t < 1, ох

На втором шаге решения поставленной

задачи рассматривается вычислительный алгоритм, постренный на основе метода конечных разностей. Для численного решения задачи (16)-(20) в области изменения непрерывного аргумента С = {0<х<1,0< t < 1} построим прямоугольную сетку с

параметрами h ит: то) = { tk = кт, к = 0,1,2, ... К - 1; х, = ih, i = 0,1,2, ... и - 1}.

Тогда значения искомой функции T^k (индекс а для упрощения записи опускаем), определенной в узлах сеточной области то), будут являться решениями системы разностных уравнений, полученных из (16)-(20) путем замены производных конечно-разностными соотношениями. Конечно-разностная схема решения задачи имеет вид:

• 1    k+l   kT*^¹ 'pk-l     yk+l   nyk+l । yk+l   yk+l  yk+l

t2TL__tTL±^_2Tt_^Tt-l_ _ ^T-+l ^T t-1 _ _т2        -^а        h2        -    2h    =

(i = 1,2,™, N - 2; к = 1,2,™ К - 2)

T0k = 0,k = 0,1,2, ™K — 1; i = 0,

Tk = Tk ,k = 0,1,2, ™K — 1; i = 0,

T0 = T0 t, i = 0,1,2, ... N - 1; к = 0,

Tl = T0 к = 0,1,2,™ N - 1; к = 0.

Задание условий однозначности (22)(25) позволяет выявить в каждом уравнении разностной системы (21) одно неизвестное

T+i¹ = [2T^k - (k1 - к₂)T-l + (2k1 - 1)Т^+l - Т-¹](k1 + k2)-¹, где ^k1=^_T, ^к2=-.

Выполняя вычисления по формуле (26) для всех значений i и k (i=1,2, ,N-1; k=1,2,.....,K-1), можно вычислить последо вательно все значения искомой сеточной функции Т.

Численный эксперимент.

Численный эксперимент проводился в следующем порядке. По заданному начальному распределению поля температур (6) и нулевому начальному тепловому потоку при t=0 по алгоритму (21)-(25) рассчитывалась температура при t=1. Параметр регуляризациипри этом полагался равным нулю, т.е. осуществлялись вычисления поля температур без регуляризации.

Далее исходные данные (6) зашумлялись синусоидальной помехой вида asinmt с частотой ю=50.0 и амплитудой а=0.1. После этого осуществлялась регуляризация решения при различных значениях параметра регуляризации а с использованием метода квазиобращения.

Исследовалось также влияние на результат решения регуляризованной задачи предварительного сглаживания зашумленных данных.

Результаты и их обсуждение

Исходная кривая зашумлялась синусоидальной помехой с амплитудой а=0.1 и с

Тк+l при фиксированных значениях и к. Разрешая (21) относительно T+"i, получаем частотами ω=66000 и ω=50 и на один шаг по переменной t решалась начально-краевая задача (16)-(20) с параметром а=0. На следующем шаге эксперимента осуществлялась регуляризация с использованием МКО, т.е. решалась задача (16)-(20) с параметром а=10-2, a=10-l,a=10-2.

Заключение

Анализ результатов численного эксперимента, проведенного в широком диапозоне амплитуд и частот синусоидальной помехи, а также при различных значениях параметра регуляризации α позволяет сделать следующие выводы:

• 1)    метод квазиобращения является эффективным при решении задачи восстановления температуры печного пространства, по результатам измерения температуры и теплового потока на внешней поверхности футеровки и металлургической печи, представленной в форме начально-краевой задачи для эволюционного уравнения второго порядка;

• 2)    применение алгоритма МКО является эффективным средством сглаживания результатов термометрирования, содержащих как высокочастотные, так и низкочастотные

помехи при высоком уровне отношения шум/сигнал и может быть рекомендовано к использованию при решении широкого круга различных задач практической теплотехники.