Межпредметные связи в преподавании математики

Математика предстает как единая наука благодаря прямым интегративным связям. Алгебраические и геометрические дисциплины, математический анализ, включая обыкновенные дифференциальные уравнения и уравнения с частными производными, теорию вероятностей, математическую статистику предстают как единый комплекс дисциплин не только в силу единства предмета и метода, но и в силу единства дидактической трактовки содержания и единства мотивационной направленности на профессиональное развитие будущих учителей математики и информатики.

Математические дисциплины едины и в процессе их преподавания в силу внутренних прямых онтологических связей, и в силу того, что они предстают как единая наука, и в прикладных задачах. Так называемая прикладная математика не есть какая-то другая математика: это тоже математика. Ведь оттого, что математика находит применение, она не перестает быть математикой.

Одна из наших задач в подготовке будущих учителей математики состоит в том, чтобы показать единство математических дисциплин, а затем и единство всех дисциплин, включая гуманитарные. Если единство естественных наук может быть показано в контексте хорошо известных математических моделей, которые изучаются как в самих естественно-научных дисциплинах (физике, химии, биологии и др.), так и в математике, то единство естественно-научного знания и гуманитарного знания в учебном процессе нелегко показать.

Междисциплинарная интеграция внутри учебной области математики осуществляется естественным путем: восстановлением или установлением онтогенетических связей. Напри- мер, линейная алгебра находит изоморфную геометрическую интерпретацию. Иногда линейную алгебру отождествляют с геометрией. На самом деле геометрию не надо сводить к линейной алгебре. Зато при изучении линейной алгебры необходима геометрическая интерпретация. Г. Фройденталь говорит о том, что «геометрия, которую можно изучать в школе с помощью линейной алгебры, является лишь отработанным паром» [1]. Академик В.И. Арнольд считает ненужным в обучении математике стремиться к слишком абстрактным структурам. Он говорил о необходимости «геометризации» обучения. На самом деле дифференциальное и интегральное исчисления допускают геометрическую интерпретацию, например, такие понятия, как понятие производной и интеграла и многие факты, связанные с этими понятиями. Такие понятия, как метрические и топологические пространства, линейные пространства, евклидовы пространства, мера множеств, ортогональные системы и др., имеют геометрическую природу. Многие факты и понятия теории функций и функционального анализа (метрика, скалярное произведение, норма, нормированные пространства, неравенство Бесселя, равенство Парсеваля, теорема Рисса-Фишера, гильбертово пространство и др.) имеют геометрическое происхождение. Здесь незаменимую помощь может оказать “Mathematica”, которая обладает великолепными возможностями визуализации абстракций.

Процесс обучения дифференциальному и интегральному исчислению важно иллюстрировать не только для того чтобы противодействовать процессу формализации, но и для укрепления междисциплинарных связей. Для этого достаточно изменить характер использования сис- темы: не ограничиваться ее вычислительными возможностями, а стараться, например, связывать вычисление различных интегралов с процессом визуализации интегрируемых функций или областей интегрирования на экране монитора. Очень часто студенты не могут связать самостоятельно, например, аналитическое задание функции с той криволинейной трапецией, площадь которой подсчитывается с помощью определенного интеграла, особенно, если кривая задана в полярных координатах или параметрически, что необходимо для нахождения пределов интегрирования. Еще труднее для студентов построить пространственное изображение трехмерного объекта, объем которого требуется вычислить, чтобы определить область и пределы интегрирования. “Mathematica” же в этом случае предоставляет практически неограниченные возможности в плане визуализации геометрических образов на экране. Это способствует развитию пространственного воображения и установлению более четкой связи между аналитическими конструкциями и их нагляднообразным выражением, интеграции математического анализа и геометрии, умений в вычислении площадей криволинейных трапеций, объемов тел и т.п.

При этом надо отметить, что уместно еще в школе заложить основы межпредметных связей, которые сохранятся и разовьются в процессе дальнейшего обучения в вузе. Осуществление эффективного обучения в процессе обучения математике с использованием системы “Mathe-matica” требует обеспечения взаимосвязи различных дидактических единиц как внутри самой этой дисциплины, так и между всеми дисциплинами, включаемыми в естественнонаучный, общепрофессиональный и специальный блоки, на основе акцентирования межпредметных связей.

Межпредметные связи играют немаловажную роль в создании целостного мировоззренческого восприятия картины мира при сочетании интегративной теоретической подготовки с профильной практической составляющей по выбранной специальности. Широкое внедрение в образовательный процесс компьютерной системы «Mathematica» как никакое другое средство будет способствовать интеграции образования, поскольку объединяет все известные понятия и методы математики в единую универсальную систему. Практически Mathematica представляет собой базу данных по всем сущест- вующим математическим понятиям, методам, доказательствам, решениям и алгоритмам. Применение ее максимально упрощает компьютерную реализацию математических алгоритмов и методов, которая умеет для каждой конкретной задачи выбрать оптимальный метод решения, аналитический или численный, причем она функционирует на любой вычислительной платформе. В силу своей универсальности она дает возможность решать различные математические задачи, обращаясь к одной и той же системе. При этом отпадает необходимость в поиске и освоении новых программ. Ведь по словам Кэтрин Киммер (Catherine Kimmer), менеджера продукта Mathematica в компании Wolfram Research: «Сотни тысяч профессионалов и студентов регулярно используют Mathematica. Mathematica имеет несколько основных особенностей и предназначена для решения широкого спектра задач. Вот некоторые классы задач, решаемых с помощью Mathematica:

• -    Работа с символьными комплексными вычислениями, использующими сотни тысяч или миллионы членов.

• -    Загрузка, анализ и визуализация данных.

• -    Решение обычных и дифференциальных уравнений, а также задач численной или символьной минимизации.

• -    Численное моделирование и имитация, построение систем управления, начиная от простейших и заканчивая столкновениями галактик, финансовыми убытками, сложными биологическими системами, химическими реакциями, изучением влияния на окружающую среду и магнитными полями в ускорителях элементарных частиц.

• -    Простая и быстрая разработка приложений (RAD) для технических компаний и финансовых учреждений.

• -    Создание профессиональных, интерактивных, технических отчетов и документов для распространения в электронном виде или на бумаге.

• - Проведение специальных презентаций и семинаров.

• -    Иллюстрирование математических или научных концепций для учащихся, начиная от колледжа и заканчивая аспирантурой».

Таким образом, если в будущем высшие учебные заведения и школы начнут преподавать математику на ее основе, то очень скоро появится универсальный язык современной математики и программирования. Нужно сказать, что компания Wolfram Research Inc. уже преуспела в достижении этой цели, а именно она применяется в этих странах в качестве базисной для построения курса математики во многих учебных заведениях. Кроме того, система успешно применяется в физике, химии, экономике, социологии, биологии, искусствоведении и других областях, вследствие чего приходит осознание того, что хотя математика имеет свой предмет исследования, наибольшую ценность она представляет в приложении к другим наукам. Учитывая мировой опыт и огромные функциональные возможности системы Mathematica, проблема применения этой системы при обучении математике приняла особую актуальность, особенно в области профессиональной подготовки будущих учителей математики и информатики. Решение этой проблемы будет содействовать повышению уровня математической и общей профессиональной подготовки будущих учителей.

Курс «Методика обучения математике» рассматривался нами как компонент содержания профессиональной подготовки учителя математики, способный обеспечить объединение математического, естественно-научного и гуманитарного знаний. С математикой она связана непосредственно, поскольку ее предметом являются цели и содержание математического образования, методы, средства и формы обучения математике, а ее целью – развитие математической культуры учащихся в процессе обучения математике, в процессе развертывания содержания обучения математике.

Методика математики связана с философией, поскольку она использует разработанные в философии методы познания: системный подход, методы научного познания – аналогию, обобщение, конкретизацию, абстрагирование, диалектические законы познания. Методика математики тесно связана с педагогикой и психологией, историей математики, информатикой, физиологией. Благодаря данным связям методики математики, мы устанавливаем интегрированный круг базовых, математических, естественных, гуманитарных наук, который может обеспечить целостное профессиональное развитие будущего учителя математики и информатики. Содержание образования должно найти новое понимание, связанное с поиском и нахождением культурных смыслов. Поэтому для смыслового развития личности ученика учитель кропотливо работает с содержанием учебного материала.