Минимаксная задача параметрической оптимизации линейной системы с начальным возмущением

В теории оптимального управления линейно-квадратичные задачи (ЛКЗ — линейная система, квадратичный функционал) занимают приоритетное место в силу сохраняющейся актуальности как в теоретическом, так и в прикладном отношениях. Спектр возможных постановок и результатов в этой области достаточно широк.

В данной работе продолжается направление и технология решения ЛКЗ, представленная в публикациях [1, 5]. Отметим основные характеристики рассматриваемой задачи:

– линейная система с управляющими параметрами в правой части и неконтролируемым начальным воздействием;

– целевая функция как линейная свертка квадратичных слагаемых с положительными параметрами;

- минимаксная задача (минимум по управлению, максимум по начальному воздействию) в соответствии с принципом гарантированного результата [4].

В результате анализа проведена параметрическая регуляризация поставленной задачи: получены явные условия на параметры линейной комбинации (линейные неравенства), которые обеспечивают целевой функции вогнуто-выпуклую структуру (вогнутость по возмущению, выпуклость по управлению). Такое благоприятное свойство открывает возможность эффективного численного решения минимаксной задачи (соответствующие задачи на максимум и минимум являются выпуклыми).

1 Постановка задачи

Пусть два векторных параметра u e R^r , v e Rⁿ объединены для t e [ t o , t i ] линейной системой:

x ( t ) = A ( t ) x ( t ) + B ( t ) u ,

x ⁽ t 0 ) = v

с непрерывными матричными функциями A ( t ) , B ( t ) и ограничениями u e U , v e V относительно выпуклых компактных множеств.

Рассмотрим решение x ( t , v , u ) системы (1), соответствующее начальному воздействию v и управлению u .

Определим матричные функции F i ( t ) , F 2 ( t ) , t e [ t o , t 1 ] размеров

( n x n ) и ( n x r ) дифференциальными уравнениями:

F i = A ( t ) F i ,

F 2 = A ( t ) F 2 + B ( t ),

F K t o) = E , F 2 (1 o ) = O ,

где E — единичная матрица, O — нулевая матрица.

Тогда фазовая траектория x ( t , v , u ) выражается по формуле Коши:

x ( t , v , u ) = F 1 ( t ) v + F 2 ( t ) u , t e [ 1 0 , t i ] .                           (2)

На множестве траекторий x [ t ] = x ( t , v , u ), v e V , u e U определим целевую функцию:

^(v,u) = Ох < x[ti], Px[ti] > + ti/,

I i                                                                                        )

+ I — в <  x [ t ], Q ( t ) x [ t ] >  +Y <  x [ t ], D ( t ) u >  I dt

^J v 2                                               )

to с положительными параметрами (весовыми коэффициентами) а, в, Y .

Здесь матрицы квадратичных форм P, Q(t) симметричны, матричные функции Q(t), D(t), t e [to, ti] непрерывны.

Поставим минимаксную задачу:

min max ф ( v , u ). u e U v e V

Выделим функцию максимума:

V ( u ) = max ф ( v , и )                            (4)

v е V и представим задачу (3) в традиционной форме:

V ( и ) ^ min,     и е U .                  (5)

Задача (3) соответствует правилу гарантированного результата [4]: минимизировать функцию v ( и ), которая с позиции управляющей стороны u формализует наихудшую реализацию неконтролируемого воздействия v в рамках целевого критерия ф (v , и ).

Подчеркнем, что матрицы Р , Q ( t ) в выражении для ф ( v , и ) являются, вообще говоря, знаконеопределенными. Тем не менее выделим случай знакоопределенности противоположного характера: Р< 0, Q ( t ) >  0 или наоборот.

Остается отметить, что в этих ситуациях глобальное решение задачи (3) носит в настоящее время проблематичный характер.

2 Параметрическая регуляризация задачи

Используя формулу (2) для x ( t , v , и ), представим явное выражение функции ф ( v , и ). После подстановок и несложных преобразований получаем следующую структуру:

ф(v,и) =1 < v,(aрп + ^Qn)v > +

+ 2 <  ^{и ,(} a ^р 22 + P ^Q 22 + Y D 2 ) ^и >  +< v ,( a Р 12 + ^ Q 12 + Y D 1 ) и > •

Здесь введены матричные обозначения ti

Р у = F i ( t 1 ) T Р F j ( t 1 ), Q ij = J F ( t ) T Q ( t ) F j ( t ) dt , i , j = 1,2, i <  j ; t 0

t i

D i = J F 1 ( t ) T D ( t ) dt , t 0

t ri

D 2 = J [ F 2 ( t ) ^TD ( t ) + D ( t ) ^TF 2 ( t ) ] dt .

t 0

Отметим свойство симметричности:

Р ^т =Р« .    Q Ti = Q ii ,     i = 1,2;        D 2 ^T = D 2 .

Выделим матрицы вторых частных производных:

d ² ^ ( v , и )    _n                д ² ф(. v , и )    _n

----г— = а ^Рц + ^{e Q} ii, ----г— = а ^Р 22 + ^{e Q} 22 ^{+ Y} D 2.

В рамках задачи (3) обеспечим для функции ф ( v , и ) свойство вогнутости по v и выпуклости по и с помощью параметров а , в , Y . Соответствующие условия представим через экстремальные собственные значения A min , X _max возникающих матриц. При этом будем использовать известные представления через отношение Релея:

1              <  v , Av >    .    ™    . <  и , Ви >

^ max ⁽ A ) = ^max-------- , ^X min ⁽ B ) = ^min--------- •              ⁽⁶⁾

v * 0 <  v , v >                  и * 0 <  u , u >

Свойство вогнутости функции ф ( v , и ) по v эквивалентно спектральному неравенству:

X max ( a Р 11 + P Q 11 ) <  0 .

С учетом представления (6) получаем (максимум суммы не больше суммы максимумов):

^X max ( а Ри + e Q ii ) <  аХ max ( Р 11 ) + рх max ( Q 11 ) .

Это приводит к достаточному условию вогнутости (линейное неравенство):

aX max ( P 11 ) + eX max ( Q 11 ) <  0 .                              (7)

Аналогично, выпуклость функции ф ( v , и ) по и соответствует неравенству:

X min ^{( а Р} 22 ^{+ e} Q 22 ^{+ Y} D 2 ) ^{- 0} •

С учетом выражения (6) и свойства операции min получаем оценку снизу

Xmin (а Р22 + Р Q22 + YD2 ) < aXmin (Р22 ) + eXmin (Q22 ) + YXmin (D2 ) вместе с достаточным условием выпуклости aAmin (Р22) + PAmin (Q22) + YXmin (D2) - 0.                  (8)

Таким образом, линейные неравенства (7), (8) вместе с условием положительности параметров а , в , Y обеспечивают целевой функции ф ( v , и ) вогнуто-выпуклую структуру, что является существенно благоприятным фактором в рамках минимаксной задачи (3).

Отметим, что строгие неравенства в (7), (8) обеспечивают вогнутовыпуклое свойство в строгом смысле.

В заключение проведем характеризацию минимаксной задачи (3) после ее регуляризации. В этом случае составляющие задачи (4), (5) являются выпуклыми: максимум вогнутой функции ф ( v , и ) по v e V и минимум выпуклой функции ^ ( и ) для и e U . Если регуляризация прошла по строго вогнутому сценарию (строгое неравенство (7)), то внутренняя задача на максимум

ф( v, и) ^ max,    v eV имеет единственное решение v(и) и функция ^(и) приобретает свойство дифференцируемости с градиентом:

W( u) = 5^(v(u '■u 1 du

•

Проведем стандартную конкретизацию ограничений u g U , v g V в форме двусторонних неравенств:

ui g[ut , u+], i = 1,r;

V j g [ v j , v ⁺ ], j = ¹ n •

С учетом простейшей структуры ограничений составляющие минимакс задачи (4), (5) допускают эффективное решение известными методами выпуклого программирования [2, 3].

3 Пример

Определим иллюстрирующую задачу следующими соотношениями .x1( t) = x 2( t), X1(0) = 0, 5c2(t) = u ,       x2(0) = v , t G [0, 1] ,

u G U = [ u _ , u ₊ ] ,

V G R ,

ф (v , u ) = _ ^ ax 2 (1) + Y j X 1 ( t ) udt ,

a > 0, Y>0.

Найдем условия на управление.

В данном случае

параметры и соответствующее минимаксное

x 2 ( t , V , u ) = V + ut ,

А , ¹ .2 Х 1( t , v , u ) = vt +— ut ,

x 1   / 2 „        2x . 1     ,   . 1 x

Ф(v, u) = _—a(v + 2vu + u ) + — yu(v + — u).

Условия стационарности и строгой вогнутости по v :

фV =_a( u + v)+^ yu = 0

^v = _|

Условие выпуклости по u :

ф'Цл =_a + j Y ^ 0

Таким образом, вогнуто-выпуклое чивается условиями:

^

I 1 Y 1 I ^v st =k— 1 I ^u ,

V 2 a /

a

< 0 .

^

свойство

1 a < -у .

функции ф ( v , u ) обеспе-

a >  0, у >  0,

1 a <-у.

Найдем явное выражение для функции v(u) = maxф(v,u) при отсутст-v вии ограничений на v . В этом случае vst = vmax ,                v (u) = Ф(vmax , u) -

После несложных преобразований получаем итоговое выражение:

, . 1 ( 1 Y 2 Ъ И ^u ) =      --Т I ^u .

2 V 4 a 3)

С учетом условий (9)

Y 2 3,    1 Y - ² > 0.

a         4 a 3

Следовательно, задача ^ ( u ) ^ min, u e U выдает минимаксное управление u _* : проекция нуля на отрезок U для любой пары параметров a , y с условием (9).

Заключение

В статье реализуется подход, связанный с редукцией невыпуклой квадратичной задачи (знаконеопределенные матрицы вторых производных) к выпуклым задачам оптимизации, допускающим эффективное численное решение. Эта редукция проводится с помощью неопределенных параметров в целевой функции и обеспечивается конструктивными условиями в терминах линейных неравенств. Представленный подход к регуляризации невыпуклых линейно-квадратичных задач с многочленными целевыми функционалами имеет перспективы дальнейшего развития.