Mixed Problem for Even-Order Differential Equations with an Involution
Автор: Polyakov D.M.
Журнал: Владикавказский математический журнал @vmj-ru
Статья в выпуске: 2 т.27, 2025 года.
Бесплатный доступ
In this manuscript we consider a mixed problem for even-order differential equations with an involution. In order to study this problem we use the corresponding differential operator with an involution, acting in the space of square integrable on a finite interval functions. Applying the method of similar operators, we transform this operator to the operator representable as orthogonal direct sum of a finite rank operator and an operators of rank 1. Moreover, it has exactly the same spectral properties as the original operator. Theorem on similarity is a basis for the construction of a group of operators, whose generator is the even-order differential operator with an involution. Using the previously obtained asymptotic formulas for the eigenvalues, we establish the main result dealing with the asymptotic representation for this group of operators. The group of operators allows us to introduce the notion of a weak solution for the corresponding mixed problem for the even-order differential operator with an involution and also to justify the Fourier method. In addition, using the representation of a group of operators, we obtain a explicit formula for a weak solution of the mixed problem and estimates for this group.
Spectrum, even-order differential operator, involution, mixed problem, group of operators
Короткий адрес: https://sciup.org/143184454
IDR: 143184454 | УДК: 517.984 | DOI: 10.46698/r2424-9096-4930-w
Смешанная задача для дифференциальных уравнений четного порядка с инволюцией
В настоящей работе изучается смешанная задача для дифференциального уравнения четного порядка с инволюцией. Данная задача записывается с помощью соответствующего дифференциального оператора с инволюцией, действующего в пространстве интегрируемых с квадратом модуля функций на отрезке. Используя метод, основанный на подобии операторов, мы преобразуем рассматриваемый оператор в оператор, который является ортогональной прямой суммой оператора конечного ранга и операторов ранга 1. При этом он обладает точно такими же спектральными свойствами, что и исходный оператор. Теорема о подобии служит основанием для построения группы операторов, генератором которой является исходный оператор. Кроме того, используя ранее полученные асимптотические формулы для собственных значений, мы установим основной результат, связанный с асимптотическими формулами для построенной группы операторов. Соответствующая группа операторов позволяет ввести понятие слабого решения для смешанной задачи с дифференциальным оператором четного порядка с инволюцией, а также обосновать метод Фурье. Кроме того, с помощью представления группы операторов будет выписана конкретная формула для слабого решения рассматриваемой смешанной задачи и получены соответствующие оценки на эту группу.
