Многочлен как сумма периодических функций

Данная заметка продолжает тему построения примеров функций, обладающих неожиданными свойствами [1, 2].

Теорема 1 . Любой многочлен степени n представим в виде суммы n + 1 периодических функций.

Доказательство . Нам понадобится следующий факт.

Лемма . Многочлен P ( x 1 x 2 ,..., x_{n + 1}) степени n представим в виде суммы n + 1 многочленов n + 1

P ( x 1 ,x 2 ,...,x_{n + 1}) = £ f i ( x 1 x 2 ,...,x_{n + 1}), таких, что для каждого i многочлен J i ( x 1 ,x 2 ,..., x_{n + 1}) не i = 1

зависит от переменной x i .

Доказательство леммы. Индукцией по степени многочлена докажем, что для любого k < n многочлен Pk(x1x2,...,xn+1) степени не выше k можно представить в виде суммы k +1 много членов, не зависящих, соответственно, от переменных xn_k+1,xn_k+2,...,xn+1.

База индукции ( k = 0) очевидна (многочлен Р ₀ - это просто константа).

Индукционный шаг. Пусть многочлен T ( x 1 , x 2 ,..., x n _{+ 1}) получается из многочлена

P k ( x 1 x 2 ,..., x n _{+ 1}) в результате подстановки вместо переменной x n _ _{k + 1} числа 0. Тогда

Pk (x1,x2,-,xn+1) = T(x1,x2,...,xn+1) + xn_k+1 Pk_1(x1,x2,...,xn+1), при этом многочлен T(x1,x2,...,xn+1) не зависит от переменной xn_k+1, а многочлен

P_k _ 1 ( x 1 x ₂,..., x_{n + 1}) имеет степень не выше k - 1 и к нему применимо предположение индукции.

Доказанное утверждение при k = n даёт формулировку леммы. □

Продолжим доказательство теоремы 1.

Пусть T 1 ,T₂,...,T_{n + 1} - несоизмеримые действительные числа (т.е. kT + k ₂ T ₂ + ... + ^kn + 1^Tn + 1 ^ ⁰ для произвольных целых чисел k 1 , k ₂,..., k_{n + 1}, хотя бы одно из которых не нуль).

На множестве R введём отношение эквивалентности: x 1 ~ x ₂, если для некоторых целых чисел k 1 , k ₂,..., k_{n + 1} выполняется равенство

• ^x 1 ^{_ x} 2 = ^k 1 ^T 1 ^{+ k} 2 ^T 2 ⁺ ... ^{+ k}n + 1^Tn + 1 .

Возьмём произвольный класс эквивалентности K и зафиксируем в нём какое-нибудь число z. Любое число x е K имеет вид x = z + m1T1 + m 2 T2 + ...+ mn+1Tn+1, где m1,m2,...,mn+1 - некоторые целые числа. Пусть Q(x) - многочлен степени n. Будем теперь рассматривать значение многочлена Q(z + m1T1 + m2T2 +... + mn+1Tn+1) как многочлен от целочисленных переменных m1,m2,...,mn+1. В соответствии с утверждением леммы имеем

Q (z + mT + m 2 T2 +... + mn+Tn+1) = £ ^ (m1, m 2,..., mn+1), i=1

• ¹    Эвнин Александр Юрьевич – доцент, кандидат педагогических наук, кафедра прикладной математики, Южно-Уральский государственный университет.

Вестник ЮУрГУ. Сери^ «Математика. Механика. Физика»

Эвнин A.Ю.

Многоч^ен как сумма пе^иодически^ функций где для каждого i многочлен fi(m1,m2,...,mn+1) не зависит от mi. Это означает, что функция fi(m1,m2,...,mn+1) как функция от переменной x (поскольку числа mi однозначно определены значением x) имеет период Ti. □

Теорема 2 . Многочлен n-й степени не представим в виде суммы n периодических функций.

n

Доказательство . Пусть P_n ( x ) - многочлен степени n и P_n ( x ) = ^ f k ( x ), где для каждого k k = 1

функция f_k ( x )имеет период T_k . Рассмотрим многочлен

Q n _ 1 ( x ) = P n ( x + T n ) - P n ( x ).

Это многочлен степени n - 1, и он представим в виде суммы n - 1 периодических функций:

n - 1

Q n - 1 ( x ) = £ ( f k ( x +T n ) - fk ( x )).

k = 1

Последовательно уменьшая степень многочлена, в конце концов придём к линейной функции (отличной от константы), являющейся периодической - противоречие! □

Замечание . В статье [3] доказан следующий интересный факт: никакая, рациональная функция, не являющаяся многочленом, не представима в виде суммы конечного числа периодических функций.