Модель аукциона с коррупционной компонентой

В данной работе рассматривается многошаговая теоретико-игровая модель аукциона первой цены с возможным возникновением коррупции ГР (l - количество шагов в игре, p - перестановка, в случае последовательной игры). В игре конечное число заказчиков, составляющих множество S = {sx,..., sn}(n > 2), которые выставляют на торги каждый свой контракт, имея его оценку w > 0 и указывая l              ll цену pj > 0, где j = 1,...,n и p} е Pj, где lll

P j = [ p i ,..., Р_п ] — множество стратегий заказчика, желающего распределить j- й контракт на l- м шаге игры. Также конечное число фирм-исполнителей, составляющих множество F = { f ,..., f_n }( n >  2) . Фирмы-исполнители, учитывая предысторию игры, указывают свои цены p j >  0 , по которым они готовы выполнить условия контракта, имея свои оценки по издержкам c ij , где i = 1,..., n ; j = 1,..., n и p j eP j , P j = [ p l ! ,..., p^!_nn ] - множество стратегий i -й фирмы на l - м шаге игры [1-6]. В модели фирмы-исполнители конкурируют в по-

Работа частично поддержана грантом РФФИ №1406-00326.

аукциона; компромиссное решение.

лучении контрактов посредством аукциона первой цены. Для проведения аукциона заказчики нанимают посредника-аукциониста, отвечающего за распределение контрактов, и выплачивают ему заработную плату в размере r . В модели предполагается, что аукционист может повлиять на процесс распределения контрактов. Фирмам-исполнителям известно, что аукционист коррумпирован. После подачи заявок ( p ,..., p_n ) у фирм есть возможность предложить взятку b l >  0 , где i = 1,..., n и b ij е B j , где B ij = [ b l 1 ,..., b^l_nn ]. Множество стратегий i -й фирмы предложенная взятка на l -м шаге игры. Взятка b ограничена сверху величиной B . На последнем этапе аукционист оглашает все заявки ( p ₁₁,..., p j ,..., p_nn ), где p j цена фирмы f по j -му контракту скорректировавшей свою заявку. Если p * = min( p j ) не больше, чем предельная цена p^ заказчика s j , то фирма f получает контракт по цене p * . Предлагается выполнение следующих условий: оценка w i -го контракта заказчиком sj- не меньше назначенной им цены pi. за контракт на l -м шаге игры; число заказчиков и фирм-исполнителей равны; предложение цены p ij фирмой f по i -му контракту ограничено издержками c _ij фирмы f .

В модели рассматривается два случая [7-22].

Случай 1. Если на один контракт j на первом шаге игры претендуют несколько фирм-исполнителей f и f с одинаковой ценой p l = P kji , где k * i ; j , i , k = 1,—, n , то между ними разыгрывается аукцион с одним заказчиком.

Случай 2. Если на каждый контракт j на i -м шаге игры имеется несколько фирм-исполнителей f с разными ценами pl = p‘kj, где k * i; j,i, k = 1,...,n (пусть для простоты pl < Ру), то контракт получает фирма f , назвавшая минимальную цену. Для случая 2 построим игру Г1 (l - количество шагов в игре, p - перестановка, в случае последовательной игры) в нормальной форме. В результате выбора заказчиками и фирмами-исполнителями       своих       стратегий pl е P,bl е Bl,pj е Pj, где i = 1,...,n и j = 1,...,n на 1-м шаге реализуется ситуация: z1 =(p^..., pj>-> p Пп ; bp-, bl,..., bnn; pj,..., p\) • Далее заказчики, исполнители и аукционист получают выигрыши H (z'), HXz'),HA (z 1), соответственно. Получаем следующую игру Гlp, где P - перестановка в случае последовательной игры; p показывает, какая игра из Р перестановок реализуется в данный момент на первом шаге.

Г p = I l ¹ = {1,..., n }, J ¹ = {1,..., n },{ P i ‘} U{ P j } ” = 1 ,{ B 1 } U C 1 } [ n _x m ] ,{W ' },{ H 1 } U{ H Xu H A }

P = и..., in, jp..., jn} pj - cj - b, если

H ¹ =<

0,

если

pj = min(pj),pj < pj,pj ^c1,где i = 1,—,n и j = !>...>n 1< k < n k * i pj = minepj),pili >pj,pj

wj

H1

0,

-pj, если  pj= mnfpkj),pj pj, pj < c где i = 1,..., n и j = 1,..., n J     1< k < n    j       j        j j       j

k * i

r + b_A+... + bn, если bi = max( bj), bij< B ^J     1< k< n ^{J     J}

HA U

0,

k * i если b1 * max(b1), b1 > B

J     1< k < n    J     J k * i

Таким образом, в ситуации z¹ фирма f заключает j-й контракт, если назначенная цена p является самой низкой среди всех предложений (p_n,...,pj,...,p_nn), где pj - цена фирмы f по j-му контракту скорректировавшей свою заявку, назначенных другими фирмами за этот контракт и не больше, цены p_}, назначенной заказчиком s _f.

На втором шаге процесс повторяется с меньшим количеством заказчиков и фирм-исполнителей (аукцион покидают заказчики и фирмы, заключившие контракты). Аукцион заканчивается, когда все контракты будут реализованы.

Рассмотрим l-й шаг игры Гlp (l - количество шагов в игре, р - перестановка, в случае последовательной игры). В результате выбора    заказчиками    и    фирмами- исполнителями       своих       стратегий pl е Pj,bl е Bl,pj е Pj, где i = 1,..., n - k и j = 1,..., n -k на l -м шаге (здесь k - количество заказчиков и исполнителей, которые заключили контракты), реализуется ситуация: l      l      l      ll      l     ll z =(pH,..., pj,-, pm; bn,..., bj,..., bnn; pj).

Далее заказчики, исполнители и аукционист       получают       выигрыши

H, (z^l),H(z^l), H_A (z^l) соответственно. Получаем следующую игру Г^l_p на первом шаге:

Г1 J Т^ Cl — J t т/ Cl —   1 1 ( n't n - k ( П n — - k (Din - k C/Т» l      (11711 (тип — k ( TT l\ p = \I = {I,---, n - k }, J = {I,---, n — k },{Pi} i=1 ,{P j } j=1,{ Bi} i=1 ,{C}[ nxm ],{W },{H} j=1,{ HA }/

Hi = 1

pl — c, — bi, еслиpltJ = mm(pj),pj < pj,pl > ci, ,где i = 1,...,n — k uj = 1,...,n — k, k * i если pJ * min( pj), pj > p , pJ < ci,, где i = 1,..., n — k uj = 1,..., n — k. J 1< k < n j j              J       J k * i

0,

Hj=1

Wj — p,-, если pJ = min( pkj), pJ < pj, pj> cj ,где i = 1,..., n — k uj = 1,..., n — k, k * i если pj * min( pj), pJ > pj, pJ < ci, ,где i = 1,---, n — k uj = 1,---, n — k -J     1< k < n     j      j        J J       J k * i

0,

H

r + bi 1 + --- + bn, если b1 = max(b,), b < B J     1< k < n    J     J k * i

0,              если bj * max(bj), bj > B k * i

Таким образом, в ситуации z¹ фирма f заключает j -й контракт, если назначенная цена p₄ является самой низкой среди всех предложений (p₁₁,...,pj,...,p_nn), где pj - цена фирмы f по j -му контракту скорректировавшей свою заявку, назначенных другими фирмами за этот контракт и не больше, цены p_}, назначенной заказчиком s . Аукцион заканчивается, когда все контракты будут реализованы.

Численный пример многошаговой игры аукциона с полной информацией, аукционистом, заказчиком и двумя фирмами

Приведём пример аукциона первой цены с возможным возникновением коррупции. В рассматриваемом примере заказчики (n = 2),      посредством      посредника- аукциониста, имея оценки по лотам W = 12, w2 = 11, выставляют на аукцион под ряды по ценам p, = 10, p2 = 10 соответственно. Фирмы для каждого лота имеют свои оценки по затратам на выполнение подрядов Сц = 4, с12 = 5, c21 = 6, c22 = 7-. Последовательно друг за другом указывают свои цены px = {10,9,8}, p2 = {10, 9, 8}.. После этого, у фирм есть возможность, учитывая собственные издержки, предложить аукционисту взятки b = {0,1} и b = {0,1}-

Взятка ограничена сверху величиной B = 1. Фирма, предложившая максимальную взятку, получает право на корректировку, не превышающую фиксированный шаг f = 1 приращения заявок.

Таким образом, реализуется ситуация z = (p11, Р12 , Р21, Р22’ b11, b12 , b21, b22’ P1, P 2) -

Далее заказчики, исполнители и аукционист получают выигрыши H, (z), H(z), H_A (z), со-²

ответственно. Получаем следующую игру Г :

Г2 = ji = {1,},j = {1,2},{р }2=,,{Pjь2=„{b,}2=„{C WW:,:Hi}  ,{h};=р{HA}), где p.,— ci,— b,, если

H. =1

p, = mintpjj),p,< p,,p, > cj^,где i =^1,2,3 и ^j =^1,2

J     1

0,

^еслиp,j = minipkj),p, > p,,p,j< Cj^,где ‘ =^1,2,3 и ^j =^{1,2 J}     1<k<n     ^{J       J        j} J       J

Wj — pi , если  p.

Hj

0,

если p

=mini pt), p, < p, p , >c , ,где ‘=1,2,3 иj=1,2 1< k < n             j               j       j k * i

,

* min(pt),p, > p,,p, < c.j,где i = 1,2,3 и j = 1,2 1

r + b_n + b,₂, если  bi, = max(b_k,),b,< B

^J     1< k< n    ^{J     J}

HA =1

0,

k * i если b,, * max(b.,), b > B j     1< k < n    kj      ,j k * i

Таким образом, в ситуации z1 фирма f заключает j-й контракт, если назначенная цена p , является самой низкой среди всех предложений (p ,..., p' ,..., p ) , где p' – цена фирмы f по j-му контракту скорректировавшей свою заявку, назначенных другими фирмами за этот контракт и не больше, цены p , назначенной заказчиком s . На втором шаге процесс повторяется с меньшим количеством заказчиков и фирм-исполнителей (аукцион покидают заказчики и фирмы, заключившие контракты). Процесс заканчивается, когда все контракты будут реализованы. В результате построения дерева игры и при использовании алгоритма поиска компромиссного решения найден компромисс для всех игроков, для фирм-исполнителей и для заказчиков.