Модель эффективности технологической системы комбикормового цеха как иерархической структуры

Комбикормовые цеха – сложные системы, которые довольно сложно сравнить между собой по определенным критериям. Отсюда и трудности при обосновании или выборе из существующих схем наиболее эффективной.

Рассмотрим метод, разработанный в Институте прикладной механики РАН коллективом авторитетных ученых в области синергетики во главе с Г.Г. Малинецким [1].

В качестве простейшей зависимости, не учитывающей детали структуры, для двухуровневой системы предлагается формула (запишем в обозначениях ее авторов)

S q,r = ( s 1 q + в 1 ) ( s 2 r + в 2 ) – в 1 в 2 ,                                  (1)

где S q,r – эффективность всей системы; s 1 , s 2 – эффективности элементов 1-го и 2-го уровня; q , r – количество элементов на 1-м и 2-м уровнях; в 1 , в 2 – коэффициенты.

Когда в системе нет элементов, q = r = 0, то S 0,0 = 0. Выполнение этого равенства и обеспечивает последнее слагаемое в формуле (1).

Смысл зависимости (1): взаимодействие элементов 1-го и 2-го уровня приводит, во-первых, к нелинейной зависимости, во-вторых, к синергетическому эффекту, отражаемому коэффициентами в 1 и в 2 .

К сожалению, в таком виде формула (1) неприменима для анализа технологических схем комбикормовых цехов по трем причинам:

• 1)    в комбикормовых цехах практически нет одинаковых элементов на всех уровнях;

• 2)    содержательный смысл коэффициентов в 1 и в 2 непонятен для экспертов, еще труднее прогнозировать их значения;

• 3)    по существу коэффициенты в 1 и в 2 являются подгоночными, что указывает на недостаточность наших знаний о процессе.

Цель исследования: разработка математической модели, позволяющей определить относительный показатель эффективности технологической системы комбикормового агрегата.

Материалы и методы

Мы попытаемся приспособить и изменить формулу (1) для решения наших задач вкупе с использованием метода экспертных оценок.

Экспертиза как способ получения информации давно используется при выработке решений. Результаты последних исследований позволяют сделать вывод о том, что в настоящее время экспертные оценки – в основном сформировавшийся научный метод анализа сложных неформализуемых проблем.

Сущность метода экспертных оценок заключается в рациональной организации проведения экспертами анализа проблемы с количественной оценкой суждений и обработкой их результатов [2]. Обобщенное мнение группы экспертов принимается как решение проблемы.

При проведении экспертиз важно выбрать уровень декомпозиции, а иногда и сужения пространства критериев, по которым эксперт оценивает ту или иную систему.

Если эксперту дать экспертное задание, начиная с оценивания каждой машины цеха и заканчивая системой в целом, это будет большой нагрузкой для него. При этом может быть утеряна информация о связях между элементами, подсистемами, системами.

Судя по рис. 1, в данном случае при оценке технологической системы комбикормового цеха нужно проводить снижение размерности критериев, т.е. переходить от большого числа исходных критериев к существенно меньшему. При этом не должен нарушаться принцип иерархичности и конкретизации технологической системы комбикормового цеха.

Это приводит к следующим условиям [3]:

• –    полноте, т.е. охвату всех важных сторон и аспектов проблемы;

• –    информативности, т.е. полезности полученной информации для анализа и принятия решения;

• –    декомпозиции, т.е. при потребности возможности упрощения процесса оценивания путем разложимости цели на подцели с их независимым рассмотрением;

• –    неизбыточности, т.е. отсутствию дублирования при учете целей.

Рис. 1. Иерархическая структура целей технологической системы комбикормового цеха: m – число технологических линий, за исключением линии смешивания;

n 1 , n 2 , …, n m – число машин в каждой из m технологических линий;

n в – число машин в ведущей технологической линии

Исследуя иерархическую систему управления комбикормовым цехом (рис. 1), следует признать, что указанным условиям отвечает рассмотрение подсистем 1-го и 2-го уровня, т.е. анализ уровней технологических линий.

В этом случае эксперт будет оценивать и сопряжение (согласование) технологических машин в каждой технологической линии. Это трудно формализуемая процедура, для сложных систем провести ее без участия человека – эксперта чаще всего не удается.

Отобразим технологическую систему комбикормового цеха, используя уровни 1-й и 2-й (рис. 1), т.е. выделяя технологические линии, в том числе ведущую, связанную с завершающими стадиями приготовления комбикормовой смеси. Изобразим это структурной схемой, отображающей потоки ингредиентов. Чаще всего это веерная структура. В этом можно убедиться, изучив технологическую схему современного комбикормового цеха или завода. На рис. 2 продемонстрирована такая структура.

Рис. 2. Веерная структурная схема движения потоков ингредиентов в комбикормовом цехе

Для упрощения примем обозначения:

• Х 1, Х 2, …, Хm – подсистемы 2-го уровня (технологические линии);

Y – подсистема 1-го уровня (технологическая система смешивания и выдачи готовой продукции).

Таким образом, для экспертного оценивания должна быть представлена технологическая схема, изображенная на рис. 2, и технологические системы конкретных цехов.

Оценивая каждую технологическую линию в целом, эксперт пользуется критерием

W = Э ф / Э т ,                                  (2)

который выражает степень соответствия эффективности Э ф реальной работы и эффективности Э т теоретической, т.е. возложенных на линию функций.

Показатель W изменяется от 0 до 1.

При оценке работы технологической линии по качеству выполнения технологического процесса эксперт руководствуется своим опытом, требованиями к идеальному технологическом потоку [4], руководствами по технологии комбикормов, белково-витаминно-минеральных концентратов и премиксов [5], методическими рекомендациями по технологическому проектированию предприятий по производству комбикормов РД – АПК 1.10.17.01 – 15 [6].

Рассмотрим сначала 2-й уровень нашей системы, т.е. подсистемы Х 1, Х 2, …, Хm. Пусть эффективность этих подсистем, поскольку они не взаимодействуют друг с другом, будет отражаться простой суммой показателей отдельных линий

W ( x ) = W ( x 1) + W ( x 2) + ... + W ( Xm ) = ]T W ( x . ) ,              (3)

i = 1

где m – число подсистем (технологических линий).

Если бы системы X и Y не взаимодействовали, их общая эффективность также была простой суммой

W ( X " Y ) = W( X ) + W ( Y ) .                         (4)

Однако взаимодействие подсистем разного уровня должно приводить к повышению эффективности целого, а следовательно, к нелинейной зависимости.

С учетом ранее приведенных замечаний по формуле (1) мы преобразовали ее следующим образом

W ( x ' ү ) = [W ( x ) + в]W ( ү ) + в ] - в ² ,                     (5)

где запись X , Y указывает на связанность систем.

Как видим, в формуле оставлен один коэффициент в, причем в качестве гипотезы его значение принимают в = W(x 1) • W(x2) х ... х W(xm) = П W(x.) .                   (6)

I = 1

Соотношение (6) постулирует, что чем больше эффективность систем нижнего уровня, тем больше синергетический эффект целого, т.е. технологической системы цеха.

Проведем контроль предложенной формулы для особых случаев:

• 1)    если W ( x ) = W ( Y) = 0 (нет систем), то W ( X , Y ) = 0 ;

• 2)    если W ( x) = 0, W ( Y) # 0, то W ( X " Y ) = W ( Y ) ;

• 3)    если W ( Y) = 0, W ( x ) ^ 0, то W ( X , Y ) = bW ( X ) , т.е. какая-то часть ценности линий X 1, X 2, …, Xm осталась.

Таким образом, первые прикидки показывают, что в крайних (экстремальных) случаях формула дает достаточно правдоподобные результаты.

Подвергнем формулу (5) еще одной проверке. Пусть все технологические линии у нас идеально (максимально) эффективны, т.е. W(X1) = W(X2) = …X(m) = 1; X(Y) = 1, тогда

W ( Х ү ) = ( m + в )(1 + в ) - в 2 .

Но в этом случае и в = 1, поэтому окончательно

W ( Х ^A ү ) = ( m + 1)(1 + 1) - 1 = m + 1 + m + 1 - 1 = 2 m + 1 .

A

Обычно в комбикормовых цехах m = 4, тогда W ( X , Y ) = 9 .

Если бы линии не взаимодействовали, то для m = 4 мы бы имели

W ( X , Y ) = 4 + 1 = 5.

Таким образом, эффективность связанных систем

W ( X ^A Y )/( X , Y ) = 9/5 = 1,8 выше, чем несвязанных (для данного частного случая).

Как видно, эффективность связанных и несвязанных линий зависит от их числа m . Это создает неудобства при сравнении технологических систем цехов, имеющих разное количество линий. Поэтому можно ввести относительный показатель

A

W ( Х , Y )

Е =---------,

W ( X , Y )

который свободен от этого недостатка.

Подставляя в выражение (7) значения W( Х , Y ) и W ( X , Y) из выражений (5) и (6), будем иметь расчетную формулу

Е ₍ X- _Y ) = [ W ( X ) + в ][ W ( Y ) + в ] - в в ^,           W ( X ) + W ( Y )

.

Сюда необходимо присоединить ограничения (3) и (6).

Упрощая выражение (8) и замечая, что величины W(X) и в – суть функции переменных X 1, X 2, …, Xm , математическую модель максимизации относительного показателя эффективности можно записать

Е [W ( X 1), W ( X 2),... W ( X i )] =

m

£ w ( X , .) • w ( y )

i = 1

m

£ W ( X i ) + W (Y ) i = 1

m

+ П W ( X_t ) ^ max ,

I = 1

при ограничениях

0 < W ( X 1) <  1 ; 0 < W ( X 2) <  1 ;..., 0 < W ( Y ) <  1.                     (10)

Результаты исследования

Оптимизационная задача (9) – (10) довольно трудная в связи со сложностью функции цели и наличием ограничений в виде неравенств. Хотя и существует аналитический метод решения таких задач в виде множителей Лагранжа и применения условий Куна–Такера, но здесь он малоэффективен, поскольку приводит к громоздким выражениям. Проще применить какой-либо численный метод, например, Minimize в программном продукте Mathcad. Эта программа выдает ожидаемый результат

W ∙ ( X i ) = idem = 1,0; W ( Y ) = 1, где idem (фр.) – одно и то же.

Это идеальный случай, отвечающий предельной эффективности всех технологических линий. Показатель Е составляет величину 1,8.

При реальных значениях W ( X i ) и W ( Y ) относительный показатель Е принимает значения, о которых можно судить по рис. 3.

Рис. 3. Зависимость показателя Е технологической системы приготовления комбикормов в зависимости от эффективности W ( Y ) ведущей технологической линии при эффективности других линий

На рис. 3 показатель технологической системы Е рассчитан при эффективности линий: 1 – W(X i ) = idem = 0,5; 2 – W ( X i ) = idem = 0,75; 3 – W ( X i ) = idem = 0,9; 4 – W ( X i ) = idem = 1,0.

Как видно, относительный показатель эффективности Е неуклонно повышается с ростом W ( Y ) и W ( X i ), достигая максимума при W ( Y ) = W ( X i ) = 1 . Это согласуется со здравым смыслом и этот факт можно было прогнозировать. Но ценность предложенной зависимости (9) состоит в том, что она позволяет сравнивать разные технологические системы комбикормовых цехов по показателям их относительной эффективности.

Пример . Имеем два комбикормовых цеха с 4 технологическими линиями в каждом цехе и одной ведущей. Эксперты дали следующие оценки показателей эффективности линий (таблица).

Результаты расчета Е(W ( X , Y )

№ технологической схемы	W ( X 1)	W ( X 2)	W ( X 3)	W ( X 4)	W ( Y )	Е
№ 1	0,73	0,89	0,91	0,85	0,95	1,245
№ 2	0,93	0,94	0,87	0,89	0,85	1,366

Подсчитываем относительные показатели технологических систем по формуле (9)

Е =

Е =

(0,73 + 0,89 + 0,91 + 0,85) ■ 0,95 (0,73 + 0,89 + 0,91 + 0,85) + 0,95

+ (0,73 ■ 0,89 ■ 0,91 ^ 0,85) = 1,245 ;

(0,93 + 0,94 + 0,87 + 0,89) ■ 0,85 (0,93 + 0,94 + 0,87 + 0,89) + 0,85

+ (0,93 ■ 0,94 ■ 0,87 ■ 0,89) = 1,366.

Таким образом, вторая технологическая система приготовления комбикормов оказалась по показателю относительной эффективности лучшей, чем первая.

Заключение

Способ экспертной оценки технологических схем комбикормовых цехов позволяет сравнить разные технологические системы по показателям их относительной эффек- тивности. Его можно определить, используя математическую модель максимизации. Относительный показатель эффективности Е неуклонно повышается с ростом W(Y) и W(Xi), достигая максимума при W(Y) = W(Xi) = 1. Технологическая схема комбикормового цеха, получившая больший показатель, более эффективна.

I.Ya. Fedorenko, V.V. Sadov

Altai State Agricultural University, Barnaul

Effectiveness model of the process system of a compound feed mill as a hierarchical structure