Моделирование и оптимизация межотраслевой экономики региона

Исследования в области моделирования межотраслевых связей в регионах достаточно широко распространены в отечественной и зарубежной науке. Основы изучения межотраслевых моделей в статической и динамической постановке заложил В. Леонтьев [11]. В дальнейшем существенный вклад в развитие направлений, связанных с построением межотраслевых моделей и моделированием динамических процессов в межотраслевой экономике регионов, внесли А. Г. Гранберг, В. И. Гурман, В. С. Дадаян, Н. П. Дементьев, А. О. Баранов, В. Н. Павлов, М. Мориши-ма, К. Миядзава, Р. Миллер и др. [2; 3; 4; 5; 13; 16; 18].

В последнее время в ряде регионов Российской Федерации возобновились работы по составлению межотраслевых балансов на основе составляемых статистическими органами региональных таблиц «затраты-выпуск». Разрабатываемые на их основе статические межотраслевые модели позволяют проводить анализ отраслевой структуры и межотраслевых связей на определенных территориях. Несмотря на ограниченность информационной базы, интенсивно развиваются исследования в области разработки в регионах динамических межотраслевых моделей [1; 6; 13]. Так, по Республике Бурятия на основе реальных показателей межотраслевой таблицы «затраты-выпуск» экспериментально рассчитаны коэффициенты прямых и полных затрат, нормативы инвестиционного блока и матрицы потребительских расходов, послужившие основой для разработки дискретной динамической межотраслевой модели по укрупненным секторам экономики [6]. С помощью выведенного характеристического уравнения матрицы замкнутого динамического межотраслевого баланса рассчитана траектория сбалансированного экономического роста региона на среднесрочную перспективу.

С уточнением управляющих параметров, технологических, инвестиционных и потребительских коэффициентов на основе разработанной динамической межотраслевой модели появляется возможность динамической постановки задачи оптимизации регионального межотраслевого баланса. В качестве критерия оптимизации естественным представляется максимизация потребительских расходов домашних хозяйств с учетом структур -ного соизмерения различных потребительских благ. Тем самым выявляются возможности максимального роста благосостояния жителей определенного региона в ближайшей перспективе с учетом имеющихся ресурсных, технологических и инвестиционных ограничений.

1 Модель оптимизации межотраслевого баланса

Задача оптимизации межотраслевого баланса производства и распределения продукции на основе известной динамической модели Леонтьева может быть представлена в следующей постановке, аналогичной работам [1-3]:

T j gg, c (t )^ dt ^ max,(1)

x(t) = Ax(t) + B x(^'t) + c(t), x(0) = x°,(2)

d^ > 0, c (t) > 0, t e[0, T ].(3)

dt в которой x(t) = (x1(t),...,xn(t)) — вектор отраслевых валовых выпусков в регионе, A > 0 — продуктивная матрица коэффициентов прямых производственных затрат, B > 0 — матрица затрат продукции i-ой отрасли на создание единицы производственной мощности в j-ой отрасли, c(t) = (c1(t),...,cn(t)) — вектор потребления домашних хозяйств. Заданный вектор g = (g 1,...,gn) характеризует соизмерение различных потребительских благ. Начальное состояние x0 > 0 и интервал [0, T] фиксированы.

Задачу (1)-(3) можно свести к задаче оптимального управления:

T jgg, x(t)- Ax(t) - Bu(t)^ dt ^ max ,

x ( t ) = ~~^= = u ( t ), x ( 0 ) = x ⁰, u ( t ) >  0 , x ( t ) - Ax ( t ) - Bu ( t ) >  0, t e [0, T ].

Рассматривая вектор конечного потребления y ( t ) = x ( t ) - Ax ( t ), эту задачу можно также представить в следующей форме:

T jgg, У (t)- Bu(t)^dt ^ max ,

y ( t ) = ( E - A ) u ( t ), y ( 0 ) = y ⁰ = x ⁰ - Ax ⁰, u ( t ) >  0 , y ( t ) - Bu ( t ) >  0, t e [0, T ].

Решение оптимизационных задач в указанной непрерывной постановке существенно осложняется характерным для большинства случаев свойством вырожденности матрицы B при практическом моделировании многопродуктового баланса ( n >  1) [4]:

det B = 0.

Учитывая случай вырожденности матрицы B , задачу оптимизации баланса рассмотрим в дискретной постановке на основе разностной динамической модели, аналогичной работе [4]:

]T( g , c ( t)^ max,                             (4)

t = 1

x ( t ) = Ax ( t ) + B ( x ( t ) - x ( t - 1)) + c ( t ) , x ( 0 ) = x °,               (5)

х ( t ) - х ( t - 1) >  0, c ( t ) >  0, t е {1,..., T }.                  (6)

Дискретная задача (4)-(6) может рассматриваться в качестве возможной аппроксимации непрерывной задачи (1)-(3) при поиске допустимого начального приближения для итерационных методов решения.

Матрицу В определим соотношением:

B = Kf, в котором K = (ku)nхm — матрица капитальных затрат, показывающая, сколько выпускаемой продукции i -го вида затрачивается для ввода в действие единицы капитала l -го вида (l = 1,....m), f = (fj)mxn — матрица фондоемкости валовых выпусков.

Начальное условие х ⁰ базового года определяется на основе баланса:

х (0) = Ах (0) + у (0), в котором вектор конечного потребления y(0) определяется заданными начальными показателями базового года:

у (0) = к (0) + c (0),

c (0) — потребление домашних хозяйств, к (0) — капитальные вложения (инвестиции).

Задавая различные траектории потребления домашних хозяйств c ( t ), t е {1,..., T } и решая систему (5), можно определить согласованные по векторам капитала и непроизводственного потребления объемы валовых выпусков х ( t ), t е {1,..., T }.

Цель оптимизации состоит в определении таких траекторий потребления c ( t ), которые дают не меньшую величину суммарного потребления

T

^ gg , c ( t )^ по сравнению с любой экзогенной траекторией потребления t = 1

(в частности, растущей с постоянным темпом). При этом определяется верхняя оценка достижения критерия оптимальности (так называемый «технологически достижимый» показатель суммарного потребления).

Принимая переменную c ( t ) в качестве управления:

и (t) = c (t) , задачу (4)-(6) можно представить в форме специальной дискретной задачи оптимального управления:

Е gg , и ( t )) ^ max,                            (7)

х ( t ) = ( E - А - В ) ^{- 1}( и ( t ) - Вх ( t - 1 ) ), х ( 0 ) = х ⁰, и ( t ) >  0, (8) х ( t ) - х ( t - 1) >  0, t е {1,..., T }.                              (9)

Оптимальное управление и * ( t ) = c * ( t ) задачи (7)-(9) дает непосредственное решение поставленной проблемы оптимизации.

• 2    Метод оптимизации

Для достижения цели оптимизации предлагается решить вспомогательную задачу:

T

E gg ,( E - A - B ) x ( t ) + Bx ( t - 1)^ ^ max,                (10)

t = 1

x ( t ) - x ( t - 1) >  0, ( E - A - B ) x ( t ) + Bx ( t - 1) >  0, t е {1,..., T }, (11) в которой x ( 0 ) = x ⁰ >  0 — заданный вектор. Очевидно, задача (10), (11) является эквивалентной задаче (4)-(6).

Пусть x* (t), t е {1,...,T} — решение задачи (10), (11). Тогда вектор c * (t) = (E - A - B) x * (t) + Bx * (t -1)

является опосредованным решением рассматриваемой проблемы оптимизации.

Поставим в соответствие каждому моменту времени t е{0,1,...,T} це лый индекс к е{0,1,...,N}. Введем обозначения xk = x(t), к е{0,1,...,N}. Тогда задача (10), (11) принимает вид:

N

E {g,(E - A - В)xk + Bxk-1} ^ max, к =1

xk - xk-1 > 0, (E - A - B)xk + Bxk-1 > 0, к е {1,...,N} с заданным вектором xk = x0 > 0 при к = 0 . Рассмотрим вспомогательный вектор:

^x 1 n ,..., x Nn ) .

^x = ^{( x} 11 ,..., x N 1 , ^x 12 ,..., x N 2 ,

Введем следующие обозначения x ₀ j = x 0 , j = 1, n .

Тогда задачу (10), (11) можно представить в форме эквивалентной задачи линейного программирования относительно вектора x :

Nnnn

EEg/E(ej -a-jxEj(к-ш) = к =1 i=1       j=1                                  j=1

Nnnn

= EE ⁽⁽ E g i ⁽ e j ^- a. , ^- b y )) ^xkj + ⁽ E gb j ) ^x ( к - 1) j ) ^ ^max , к = 1 j = 1 i = 1                                               i = 1

x k ^- x ( к - 1) i > ⁰ , El ⁽ e j ^{- a}u ^- b u ) x kj ⁺ E^ b j^x ( к - 1) j > ⁰ , ⁱ = 1, n , ^k = 1, N . ⁽¹³⁾ j = 1 j = 1

Неравенства (13) введением дополнительных неотрицательных переменных могут быть приведены к равенствам. Для решения полученной таким образом канонической задачи линейного программирования с ограничениями-равенствами можно использовать известный симплекс-метод [5]. При таком подходе отметим, что значения искомого вектора потребления не требуется вычислять отдельно после нахождения решения, так как они определяются соответствующими значениями дополнительных переменных решения канонической задачи.

Также отметим, что задача (10), (11), представляемая в форме задачи линейного программирования (12), (13), может рассматриваться как эффективное средство решения достаточно сложной задачи оптимального управления с фазовыми ограничениями (7)–(9) и характерным свойством вырожденности (det B = 0).

• 3    Модельный пример региональной экономики

В качестве иллюстрации предлагаемой методики оптимизации рассмотрим следующую модель по трем укрупненным отраслям (секторам) экономики на основе осредненных статистических данных по Республике Бурятия: добывающие отрасли, перерабатывающие отрасли и прочие отрасли (в основном сфера услуг): n = 3. Вектор капитала рассмотрим без разделения на отдельные виды: m = 1. Значения балансовых переменных указываются в миллионах рублей.

Технологическая матрица (матрица прямых затрат) имеет вид:

( 0,1454 0,2109 0,0297 '

A = ( a^ n х n = 0,2458 0,2890 0,2869 .

_v 0,0216 0,0411 0,1636 ,

Матрица фондоемкости:

f = ( f j ) m х n = (1,42 1,28 0,84).

Матрица капитальных затрат:

K = ( k i ) n х m = (1,24 1,35 1,08) T .

Таким образом, имеем матрицу капиталоемкости:

• < 1,7608 1,5872 1,0416 '

B = Kf = ( jn х n = 1,9170 1,7280 1,1340 .

^ 1,5336 1,3824 0,9072 ,

При этом матрица капиталоемкости является вырожденной, det B = 0. Вычислим вспомогательную матрицу:

т.е.

<- 0,9062 - 1,7981 - 1,0713 '

D = E - A - B = - 2,1628 - 1,0170 - 1,4209 _v- 1,5552 - 1,4235 - 0,0708 _v

Начальные показатели для базового года следующие.

Потребление домашних хозяйств:

( 12191 ^Л

c (0) = 75362 .

_v 23274 _v

Капитальные вложения (инвестиции):

' 9426 ^ U ( 0 ) = 13353 .

. 9267 ,

Конечное потребление:

' 21617 ^

у (0) = 88715 = U (0) + c (0).

_v 32541,

Решая матричное уравнение, получаем округленный до целого начальный валовой выпуск продуктов и услуг:

( 68506 ^

x (0) = 168207 = Ax (0) + у (0).

_v 48941 _v

Рассмотрим задачу вида (10), (11) на интервале T = 1 с округленным начальным значением x (0) :

x ⁰

' 68506 ' 168207

.

. 48941 , линейного программирования (12), (13) с

Соответствующая задача

N = 1 приводится к виду:

( g 1d 11 + g 2 d 21 + g 3 d31) x11 + (g 1d 12 + g 2 d 22 + g 3 d32) X12 + +(g 1d 13 + g2 d23 + g3 d33)x13 ^ max x11 - x0 > 0, x12 - x0 > 0, x13 - x30 > 0, d 11 x11 + d 12 x12 + d 13 x13 + b11 x1 + b12 x 2 + b13 x3 > 0, d21 xn + d22x12 + d23 x13 + b21 x1 + b22x2 + Ь23x3 > 0 , d31 x11 + d32x12 + d33x13 + b31 x1 + b32x2 + b33x3 > 0 , Округленное до целого решение этой задачи при g = (1,1,1), полученное симплекс методом, имеет вид:

x ^ = 68506, x*_u = 168207, x ; ₃ = 48941.

Таким образом, в задаче вида (10), (11) при T = 1 с заданным x ⁰ получаем округленный до целого оптимальный вектор валового выпуска отраслей:

' 68506 ^ x * (1) = 168207 = x °.

. 48941 ,

Отсюда по формуле:

c * ( t ) = ( E - A - B ) x * ( t ) + Bx * ( t - 1)

получаем округленный до целого оптимальный вектор потребления: (21617A с * (1) = 88715 = у (0).

( 32541 J

При других значениях g = (1,0,0), g = (0,1,0) и g = (0,0,1) оптимальный вектор потребления c * (1) также совпадает с у (0).

Рассмотрим задачу (10), (11) на интервале T = 2. Соответствующая задача (12), (13) с N = 2 приводится к виду:

^{( g} 1 ^d 11 ^{+ g} 2 ^d 21 ^{+ g} 3 ^d 31 ) x 11 ^{+ ( g} 1 ^d 12 ^{+ g} 2 ^d 22 ^{+ g} 3 ^d 32 ) ^X 12 ⁺

^{+ ( g} 1 ^d 13 ^{+ g} 2 ^d 23 ^{+ g} 3 ^d 33 ) x 13 ⁺

^{+ (} g 1 ^d 11 ⁺ g 2 ^d 21 ⁺ g 3 ^d 31 ) x 21 ^{+ (} g 1 ^d 12 ⁺ g 2 ^d 22 ⁺ g 3 ^d 32 ) x 22 ⁺

^{+ ( g} 1 ^d 13 ^{+ g} 2 ^d 23 ^{+ g} 3 ^d 33 ) x 23 ⁺

^{+ ( g} 1 ^b 11 ^{+ g} 2 ^b 21 ^{+ g} 3 ^b 31 ) x 11 ^{+ ( g} 1 ^b 12 ^{+ g} 2 ^b 22 ^{+ g} 3 ^b 32 ) ^X 12 ⁺

+(g 1 b13 + g2b23 + g3b33)x13 ^ max, x11 - x0 > 0, x12 - x0 > 0, x13 - x30 > 0, d 11 x11 + d 12 x12 + d 13 x13 + b11 X1 + b12 x 2 + b13 x3 > 0, d21 x11 + d22x12 + d23 x13 + b21X1 + b22x2 + b23x3 > 0 , d31X11 + d32X12 + d33X13 + b31 X1 + b32x2 + b33x3 > 0, x21 - x11 > 0, x22 - x12 > 0, x23 - x13 > 0, d 11 x 21 + d 12 x 22 + d 13 x23 d 21 x 21 + d22 x22 + d 23 x 23 d31 x 21 + d32 x22 + d33 x23

+ b_xxx ₁₁ + b ₁₂ x₁₂ + b₁₃x ₁₃ >  0, + b ₂₁ x ₁₁ + b ₂₂ x ₁₂ + b ₂₃ x ₁₃ >  0,

+ b ₃₁ x ₁₁ + b ₃₂ x ₁₂ + b ₃₃ x ₁₃ >  0,

Округленное до целого решение этой задачи при g = (1,1,1) имеет вид: x ^ = 68506, x* _{X 2} = 168207, x ⁰ ₃ = 48941, x 2 ₁ = 68506, x*₂₂ = 168207, x 23 = 48941.

Следовательно, получаем округленную до целого оптимальную траекторию вектора валового выпуска отраслей:

( 68506 a x * (1) = x * (2) = 168207 = x °.

_v 48941 _v

Таким образом, округленная до целого оптимальная траектория вектора потребления имеет вид:

(21617A с * (1) = c * (2) = 88715 = у (0).

При значениях g = (1,0,0), g = (0,1,0) получаем тот же самый ответ.

При значении g = (0,0,1) получаем другой ответ:

( 68506 )

( 68506 )

x * (1) = 168207 , x

. *

' 0

с * (1) = 60044 , c

*

(2) = 168207 _v 69119 ' 21018 '

(2) = 82926 49418 J

.

.

Рассмотрим задачу (10), (11) на интервале T = 5. Соответствующая задача (12), (13) с N = 5 приводится к виду:

^{( g} 1 ^d 11 + ^g 2 ^d 21 + ^g 3 ^d 31 ) x 11 + ^{( g} 1 ^d 12 + ^g 2 ^d 22 + ^g 3 ^d 32 ) ^X 12 +

^{+ ( g} 1 ^d 13 ^{+ g} 2 ^d 23 ^{+ g} 3 ^d 33 ) x 13 ⁺

^{+ (} g 1 ^d 11 ⁺ g 2 ^d 21 ⁺ g 3 ^d 31 ) x 21 ^{+ (} g 1 ^d 12 ⁺ g 2 ^d 22 ⁺ g 3 ^d 32 ) x 22 ⁺

^{+ ( g} 1 ^d 13 ^{+ g} 2 ^d 23 ^{+ g} 3 ^d 33 ) x 23 ⁺

^{+ ( g} 1 ^b 11 ^{+ g} 2 ^Ь 21 ^{+ g} 3 ^Ь 31 ) x 11 ^{+ ( g} 1 ^b 12 ^{+ g} 2 ^Ь 22 ^{+ g} 3 ^Ь 32 ) ^X 12 ⁺

^{+ ( g} 1 ^b 13 ^{+ g} 2 ^Ь 23 ^{+ g} 3 ^Ь 33 ) x 13 ⁺

^{+ (} g 1 ^d 11 ⁺ g 2 ^d 21 ⁺ g 3 ^d 31 ) x 31 ^{+ (} g 1 ^d 12 ⁺ g 2 ^d 22 ⁺ g 3 ^d 32 ) x 32 ⁺

^{+ ( g} 1 ^d 13 ^{+ g} 2 ^d 23 ^{+ g} 3 ^d 33 ) x 33 ⁺

^{+ ( g} 1 ^b 11 ^{+ g} 2 ^Ь 21 ^{+ g} 3 ^Ь 31 ) x 21 ^{+ ( g} 1 ^b 12 ^{+ g} 2 ^Ь 22 ^{+ g} 3 ^Ь 32 ) x 22 ⁺

^{+ ( g} 1 ^b 13 ^{+ g} 2 ^Ь 23 ^{+ g} 3 ^Ь 33 ) x 23 ⁺

^{+ (} g 1 ^d 11 ⁺ g 2 ^d 21 ⁺ g 3 ^d 31 ) x 41 ^{+ (} g 1 ^d 12 ⁺ g 2 ^d 22 ⁺ g 3 ^d 32 ) x 42 ⁺

^{+ ( g} 1 ^d 13 ^{+ g} 2 ^d 23 ^{+ g} 3 ^d 33 ) x 43 ⁺

^{+ ( g} 1 ^b 11 ^{+ g} 2 ^Ь 21 ^{+ g} 3 ^Ь 31 ) x 31 ^{+ ( g} 1 ^b 12 ^{+ g} 2 ^Ь 22 ^{+ g} 3 ^b 32 ) x 32 ⁺

^{+ ( g} 1 ^b 13 ^{+ g} 2 ^Ь 23 ^{+ g} 3 ^Ь 33 ) x 33 ⁺

^{+ (} g 1 ^d 11 ⁺ g 2 ^d 21 ⁺ g 3 ^d 31 ) x 51 ^{+ (} g 1 ^d 12 ⁺ g 2 ^d 22 ⁺ g 3 ^d 32 ) x 52 ⁺

^{+ ( g} 1 ^d 13 ^{+ g} 2 ^d 23 ^{+ g} 3 ^d 33 ) x 53 ⁺

^{+ (} g 1 ^b 11 ⁺ g 2 ^Ь 21 ⁺ g 3 ^Ь 31 ) x 41 ^{+ (} g 1 ^b 12 ⁺ g 2 ^Ь 22 ⁺ g 3 ^b 32 ) x 42 ⁺

+(g 1 b13 + g2Ь23 + g3Ь33 )x43 ^ max, x11 - x0 > 0, x12 - x0 > 0, x13 - x30 > 0 , d 11 x11 + d 12 x12 + d 13 x13 + b11 x1 + b12 x 2 + b13 x3 > 0, d21 xn + d22x12 + d23 x13 + b21 x1 + b22x2 + Ь23x3 > 0 , d31 x11 + d32x12 + d33x13 + b31 x0 + b32x0 + b33x30 > 0, x21 - x11 > 0, x22 - x12 > 0, x23 - x13 > 0, d 11x21 + d 12x22 + d 13x23 + b11 x11 + b12x12 + b13x13 > 0, d21 x21 + d22 x22 + d23 x23 + Ь21 x11 + Ь22 x12 + Ь23 x13 > 0, d31 x21 + d32x22 + d33x23 + b31 x11 + b32x12 + b33x13 > 0 , x^31    ^x21 ^— 0 , x'32    ^x22 ^~ 0 , x'33    ^x23 ^~ 0 ,

d 11 x 31 + d 12 x 32 ⁺ d 13 ^x 33 ^d 21 x 31 ^{+ d} 22 x 32 ^{+ d} 23 x 33

+ b₁₁ x ₂₁ + b ₁₂ x 22 + b ₁₃ x 23 >  0 ,

+ b ₂₁ x ₂₁ + b 22 x 22 + b ₂₃ x 23 >  0,

d 31 ^x 31 ⁺ d 32 ^x 32 ⁺ d 33 ^x 33 ^{+ b} 31 ^x 21 ^{+ b} 32 x 22 ^{+ b} 33 x 23 >  ⁰ , x ₄₁ - x ₃₁ >  0 , x ₄₂ - x ₃₂ >  0 , x ₄₃ - x ₃₃ >  0, ^d 11 x 41 ^{+ d} 12 x 42 ^{+ d} 13 x 43 ^{+ b} 11 x 31 ^{+ b} 12 x 32 ^{+ b} 13 x 33 >  ⁰ , ^d 21 x 41 ^{+ d} 22 x 42 ^{+ d} 23 x 43 ^{+ b} 21 x 31 ^{+ b} 22 x 32 ^{+ b} 23 x 33 >  ⁰ , ^d 31 x 41 ^{+ d} 32 x 42 ^{+ d} 33 x 43 ^{+ b} 31 x 31 ^{+ b} 32 x 32 ^{+ b} 33 x 33 >  ⁰ , x ₅₁ - x ₄₁ >  0 , x ₅₂ - x ₄₂ >  0 , x ₅₃ - x ₄₃ >  0,

^d 11 x 51 ^{+ d} 12 x 52 ^{+ d} 13 x 53 ^d 21 x 51 ^{+ d} 22 x 52 ^{+ d} 23 x 53 ^d 31 x 51 ^{+ d} 32 x 52 ^{+ d} 33 x 53

^{+ b} 11 x 41 ^{+ b} 12 x 42 ^{+ b} 13 x 43 >  ⁰ , + b ₂₁ x ₄₁ + b ₂₂ x ₄₂ + b ₂₃ x ₄₃ >  0 , + b ₃₁ x ₄₁ + b ₃₂ x ₄₂ + b ₃₃ x ₄₃ >  0 .

Решая эту задачу при g = (1,1,1), получаем оптимальную траекторию вектора валового выпуска отраслей:

<68506Л x * (1) = x * (2) = x * (3) = x * (4) = x * (5) = 168207 = x °.

_v 48941 _v

Тогда оптимальная траектория вектора потребления принимает вид:

< 21617 <

с * (1) = с * (2) = с * (3) = с * (4) = с * (5) = 88715 = у (0).

При g = (1,0,0) имеем:

< 89313 <

< 111334 <

< 133050 <

x * (1) = 168207 , x * (2) = 168207 , x * (3) = x * (4) = x * (5) = 168207 ,

< 51519 0 <

*

. *

< 51519

< 19366 )

*

. *

*

*

< 38463 <

51519 J

< 76700 )

с * (1) = 40051 , с * (2) = 35233 , с * (3) = 30482 , с * (4) = с * (5) = 72111

( 0 J (

При g = (0,1,0) имеем:

< 68506 <

*

*

.

*

< 68506 <

< 68506 <

x * (1) = 180229 , x * (2) = 190841 , x * (3) = x * (4) = x * (5) = 200208

*

*

*

.

*

*

0 )

*

0 )

с * (1) = 76489 , с * (2) = 86471 , с * (3) = 95281 ,

( 14868 )

с * (4) = с * (5) = 111468

( 31226 ^J

При g = (0,0,1) имеем:

( 68506 )

( 68506 )

( 68506 )

*

*

x * (1) = 168207 , x * (2) = 168207 , x * (3) = 168207 ,

( 68506 )

x * (4) = x * (5) = 168207

( 126359 J

0 )

0 )

с * (1) =

60044 , с * (2) =

( ³¹¹¹³ J

55050 , с * (3) =

( 48029 J

( 0 ^ 50194 ₍ 64477 ,

, с * (4) =

₍ 80468 ,

с * (5) =

' 19318 ^л 66504

₍ 97293 _v

Рассмотренные случаи иллюстрируют эффективность и простоту предлагаемой методики расчета траекторий оптимального потребления на основе построенной дискретной динамической модели межотраслевого баланса региональной экономики при используемых в экономической практике интервалах времени T <  5.

Полученные результаты расчетов не противоречат отчетным статистическим данным межотраслевой таблицы «затраты-выпуск» по Республике Бурятия. Варьируя структурными параметрами потребления домашних хозяйств, получаем возможность построения различных оптимальных сценариев и закономерностей развития межотраслевой экономики региона на среднесрочную перспективу и сравнения получаемых траекторий оптимального потребления в регионе с реальными данными.

Заключение

Представленная оптимизационная задача межотраслевого баланса на основе динамической межотраслевой модели Леонтьева позволяет максимизировать вектор потребления домашних хозяйств с учетом задаваемого вектора, характеризующего соизмерение различных потребительских благ. Сформированная модель оптимизации межотраслевого баланса 24

региона в принципе сводится к задаче оптимального управления, а с учетом вырожденности матрицы капиталоемкости B данную модель целесообразно рассматривать в дискретной постановке на основе разностной динамической модели. Полученная дискретная задача оптимизации представляет самостоятельный интерес. Кроме того, она может рассматриваться в качестве возможной аппроксимации непрерывной задачи при поиске допустимого начального приближения для итерационных методов решения. Рассматривая показатель потребления c ( t ) в качестве управляемой переменной, получаем специальную дискретную задачу оптимального управления, позволяющую определять «технологически достижимый» показатель суммарного потребления.

Формируемая в целях оптимизации вспомогательная задача в конечном счете представима в форме эквивалентной задачи линейного программирования относительно вспомогательного вектора отраслевых валовых выпусков в регионе. После введения дополнительных неотрицательных переменных получаемая каноническая задача линейного программирования с ограничениями-равенствами решается симплекс-методом. Таким образом, не требуется отдельно вычислять значения искомого вектора потребления домашних хозяйств после нахождения решения, поскольку координаты такого вектора определяются как соответствующие значения дополнительных переменных решения канонической задачи. По сути, формируемая вспомогательная задача в виде задачи линейного программирования предстает как эффективное средство решения достаточно сложной вырожденной задачи оптимального управления с фазовыми ограничениями, возникающей при моделировании межотраслевого баланса.

Предлагаемая методика оптимизации межотраслевого баланса апробирована на реальных данных трехсекторной экономики Республики Бурятия. Полученные расчетные результаты представляют собой несомненный практический интерес. Полученные путем оптимизационных расчетов результаты подтверждают эффективность предлагаемого подхода сведения задачи оптимального управления системой межотраслевой экономики региона к задаче линейного программирования.