Моделирование вероятностного конфликта технологических систем

На сегодняшний день не достаточно строго решены задачи формализации конфликта параметров. Существующие подходы к исследованию конфликта не учитывают стохастический характер систем, страдают концептуальной неполнотой. Возникает потребность в разработке моделей, алгоритмов и принципов, позволяющих оценивать конфликтные взаимодействия, выбирать конфликтные решения для обеспечения не худших условий функционирования. Отсюда возникает необходимость проведения анализа функционирования на основе исследования конфликта параметров с применением методов многомерной статистики. Такой анализ позволяет выявить истинные причины развития системы в том или ином направлении, перехода из стационарного состояния в нестационарное.

Математическое моделирование с привлечением современных средств вычислительной техники позволяет перейти от простого накопления и анализа фактов к прогнозированию и оценке событий в реальном масштабе времени их развития. Если методы наблюдения и анализа межгруппового конфликта позволяют получать единичное решение конфликтного события, то математическое моделирование конфликтных явлений с использованием ЭВМ позволяет просчитывать различные варианты их развития с прогнозированием вероятного исхода и влияния на результат.

Многие современные технологические системы являются сложными стохастическими системами. Задачи оптимизации, возникающие при их исследовании, как правило, носят векторный характер. Поэтому целесообразно строить модели, учитывающие вероятностную природу конфликта основных параметров оптимизации.

В соответствии с [1] будем считать, что некоторая система S₁ конфликтует с системой S₂, ( S 2 KS 1 ) , если:

q(S 1 ,S 2 )1,S2) , (1)

где q - функция полезности надсистемы S = {S1,S2}. Для стохастических технологических систем в качестве функции полезности будем рассматривать вероятность достижения заданной цели. При этом можно говорить о конфликте случайных событий, заключающихся в достижении некоторых целевых состояний. Тогда, если А и В - совместные зависимые случайные события (например, заключающиеся в достижении целевых состояний стохастическими системами S1 и S2 соответственно), то вероятностный конфликт между событиями (А К В) можно определить двумя способами [2, 3]:

Определение 1. Между А и В наблюдается вероятностный конфликт первого рода (А К 1 B), если:

P(A/B)

гдеP(A/B), P(A/B) - условные вероятности.

Определение 2. Между А и В наблюдается вероятностный конфликт второго рода (А К 2 B), если:

P(A/B)

Теорема 1. Из неравенства (2) следует неравенство (3).

Доказательство . По известной теореме о полной вероятности:

P(A) = P(A/B)P(B) +P(A/B)P(B)(4)

Тогда из (2) следует:

P(A) >P(A/B)P(B) +P(A/B)P(B) =

= P(A/B)[p(B) + P(B)].(5)

Согласно одной из аксиом теории вероятностей:

P(B)=P(B)=1.(6)

Из (4) и (5) следует P(A) > P(A/B), что и требовалось доказать.

Теорема 2 . Вероятностный конфликт второго рода является симметричным, то есть из А К 2 В следует, что В К 2 А.

Доказательство . Имеем неравенство (3).

Из формулы умножения для зависимых событий следует:

P(A n B) = P(A)P(B/A) = P(B)P(A/B)  (7)

Отсюда с учетом (3) получаем:

P(B/A) = [ P(B)P(A/B) ] /P(A) <  [ P(B)P(A) ] / (8) /P(A) =P(B)

Теорема 3 . Вероятностный конфликт первого рода является симметричным, то есть из А К 1 В следует, что В К 1 А.

Доказательство . Имеем неравенство (2). По теореме о полной вероятности можно записать:

P(B) =P(B/A)P(A) +P(B/A)P(A). (9)

Вестник ВГУИТ, №4, 2015

Тогда:

P(B/A) = [ P(B) - P(B/A)P(A) ] P(A) = = [ P(B /) - P(B / A) + P(B / A)P(A) ] / P(A) =

= { P(B) - P(B/A) + P(B/ A)[1 - P(A)] } / P(A) (10)

Согласно (6):

P(A) = 1 - p(A).            (11)

Из (10) и (11) следует:

P(B/A) = [ P(B) - P(B/A) ] / P(A) + P(B/A) .(12)

Из Т е оремы 1, нер ав енства (8) и неравенства P(A) > 0 (если P(A) = 0 , то события А и В являются независимыми, что противоречит принятым предположениям) следует, что:

[ P(B)P(B/A) ] /P(A)>0.        (13)

Из (12) и (13) имеем:

P(B/A)>P(B/A),           (14)

что и требовалось доказать.

Теоремы 1, 2 и 3 свидетельствуют о симметричности вероятностного конфликта.

Теорема 4 . А К 1 B тогда и только тогда, когда А К 2 B.

Доказательство . Необходимость утверждения теоремы следует из Теоремы 1, то есть из (2) следует (3). Докажем достаточность. Имеем неравенство (3). Из (6) можно записать

P(A/B) = [ P(A) - P(A/B)P(B) ] /P(B). (15)

Из (15), (3) и (11) следует:

P(A/B) >  [ P(A/B) - P(A/B)P(B) ] /P(B) = = { P(A/B)[1 - P(B)] } /P(B) =

= [ P(A/B)P(B) ] /P(B) = P(A/B), что и требовалось доказать.

Теорема 5 . Если А и B конфликтуют, то выполняется следующее соотношение:

P(A/B)

Доказательство . По условию теоремы выполняются неравенства (2) и (3), откуда следует левое неравенст в о в (16). Докажем, что при этом P(A) < P(A/B) .

Из (5), (2) и (6) следует:

P(A) =P(A/B)P(B) +P(A/B)P(B) <

P(A/B)P(B) +P(A/B)P(B) =

=P(A/B)[P(B) +P(B)] =P(A/B), что и требовалось доказать.

Кроме конфликта между случайными событиями А и В может наблюдается отношение вероятностного сотрудничества (A B) , если выполняется условие:

P(A/B) >P(A)            (17)

Следует отметить, что между вероятностями P(A) и P(A/B) кроме (3) и (17) может также наблюдаться соотношение:

P(A/B)=P(A).            (18)

В этом случае события А и В являются независимыми.

Элементарные свойства отношений вероятностного конфликта и сотрудничества изложим в следующих теоремах [4, 5].

Теорема 6 . Отношение вероятностного конфликта является антирефлексивным, то есть неверно, что А К А.

Доказательство . Так как, то условие (3) не выполняется.

Теорема 7 . Отношения вероятностного конфликта и сотрудничества являются симметричными, то есть:

• а) . из А К B следует, что В К А;

• б) . из А B следует, что В А.

Доказательство .

• а) . Следует из теоремы 2.

• б) . Имеем неравенство (10). Из формулы умножения для зависимых событий (6) следует:

P(B/A) = [ P(B)P(A/B) ] /P(A) [ P(B)P(A) ] /P(A) = P(B), что и требовалось доказать.

Теорема 6 . Из А К B следует, что К .

Доказательство . По условию теоремы имеем неравенство (3). По теореме о полной вероятности можно записать формулу (6), откуда, учитывая (3) имеем:

P(A) < P(A)P(B) + P(A / B)P(B), или

• P( A) [ 1 - P(B) ]

Согласно одной из аксиом теории вероятности выполняется равенство (6). Из (6) и (19) следует:

P(A)P(B) < P(A/B)P(B).

Так как P(B) > 0 , то:

P(A) < P(A/B).            (20)

Учитывая (6), неравенство (20) можно преобразовать:

• 1    - P(A)<1 - P(A/B),

откуда P(A / B) < P(A) или A К B , что и требовалось доказать.

Теорема 8 . Из А К B следует, что а) A КB, б) А К B.

Доказательство . а) Из (3) и (6) имеем

• 1    - P(A/B) < 1 - P(A) ,откуда

P(A/B) > P(A) или B. Утверждение в) является прямым следствием неравенства (13).

Следствие . Из А К B следует, что а) B К A , б) B К A, в). В К A .

Доказательство следует из теорем 6, 7 и 8.

Теорема 9 . Отношение вероятностного конфликта нетранзитивно.

Доказательство . Достаточно найти такие события А,В и С, что А К B, В К С, а А К С.

Пусть P(A) = 0.4;P(B)=0.5;P(C)= 0.08;

P(A/B)=0.2;P(C/B)=0.02;P(C/A)=0.2.