Momentlar yaqinlashish masalalari

Annotatsiya: Maqolada r_k{f} ni o’sish tartibiga qarab belgilangan tengsizliklar asosida A_k ni baholash mumkin ekan. Biz dastlab ikkita lemmani isbotlaymiz, so’ng ulardan foydalanibX E^ = 0 va D^ = 1 bo’lganda £ tasodifiy miqdor uchun (5_y) tengsizlik H = 1 bo’lganda bahosini aniqlaymiz.

Kalit so’zlar: £ tasodifiy miqdor, M_k — к - tartibli absalyut moment, F_k{^} £ tasodifiy miqdorni к —tartibli semiinvarianti,

F ^ (x) ixtiyoriy £ tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasi bo’lsin, Ф(x) — ^(0; 1) - normal taqsimot. Quyidagi belgilashlarni kiritamiz:

Q = suplF^(x) — Ф(х)|,

M_k — к - tartibli absalyut momentga ega bo’lgan taqsimot funksiyalar to‘plami.

Ma’lumki 0 < Q < 4 va F ^ (x) e M_k sharti ostida quyidagi baho topilgan.

Barcha x lar uchun ckQ (lo9Tj}2 +4

|Ff(x) —Ф(х)|<---^^---'  (D

Bu yerda ck - faqat к ga bog’liq o'zgarmas, от от

4 =

/^|x|kdF < ^{(x) —} Jkiw^.

-от

-от

(1) bahoni amaliy yoki nazariy masalalarni tahlil qilishda ishlatish uchun (2) ni baholash kerak bo'ladi. Shu nuqtai nazardan biz ba’zi shartlar asosida uni baholash masalalarini xal qilamiz.

^^ = 0 va ^^ = 1 bo’lgan £ tasodifiy miqdorni к —tartibli semiinvariantini Г_кЮ kabi belgilaymiz.

Fk{f} ni o’sish tartibiga qarab belgilangan tengsizliklar asosida dk ni baholash mumkin ekan. Biz dastlab ikkita yordamchi teoremani isbotlaymiz, so‘ng ulardan foydalanib (2) ni bahosini aniqlaymiz

1 - lemma  E^ = 0 va D^ = 1 bo’lgan £ tasodifiy miqdorning k - tartibli semiinvarianti quyidagi tengsizlikni qanoatlantirsin:

H(k — 2)!

\Гк{е)\ <   дk-2   , k = 3,4,5, . ,s + 2

bu yerda s juft va s< 2Д² tengsizlikni qanoatlantiradi, H > 0 va Д > 0 o‘zgarmas miqdor. U holda quyidagi tengsizlik o‘rinli bo‘ladi:

k! eH

к k!H 2

|mt|

—f=--+ ~г~

Тед   (г)!

, agar k = 2n;

(M)

k! eH i тед

, agar к = 2n + 1.

bu yerda тк = Efk , ^k = E\f\k , = 1,2,3,...

Isbot:    Momentlarni

semiinvariantlar bilan bog’lanish formulasidan foydalanamiz:

mk = k!Xj!   Z

j=1 ki+k2+—+kj=k

ГкЖГкЖ-^к7.Ю

k1!k2! ... kj!

k;=2,3,.,S 2

Bu yerda [e] — e ni butun qismi.

(5) dan foydalanib \mk\ ni baholaymiz.

s

Im^gZn j=1  2

Hj

—:------ • —:—rr

i(i —1) Дk-2j

[2]             .

k! v 1 Hj

j=1

Faraz qilamiz к = 2n bo’lsin. U holda (3) dan

(2п)! 11 Н 1 Н2           1 Нп-1\  (2п)! Нп т2п1 < Те ^ (1! ^ Д2п-2 + 2! ^ Х2^ + "' + (п- 1)! ^ A2 ) + “VT ^ пТ

(2п)! НН²      Н^п    \  (2п)!Н^п

<ТёА2 (Т;⁺^⁺"'⁺^^?+"J ⁺ П

(2п)!ен  (2п)!Нп

• < Тё VA ⁺ П

k = 2п + 1 bo’lganda esa

(2n + 1)!eH

^|т2П+1| <    V^A

Ham shu kabi hosil bo‘ladi.

т2п = ^2п va &п+2 = f™²^¹’ * >0 bo’lgani uchun tengsizlik ^k

I ^т2п+1 , * < ⁰

uchun ham to‘g’ri bo‘ladi.

• 1-    lemma isbotlandi.

2 - lemma: Agar Ef = 0 va Df = 1 bo’lgan £ tasodifiy miqdorni k - tartibli semiinvarianti uchun quyidagi tengsizlik o‘rinli bo‘lsin:

(Л)

ГкЮ<  дк-2 ,k = 3,4,5,-

Bu yerda Н>0,Д>0, y>0.

U holda

\т_к\< <

2У_

6 • 22yeH/V2\1+2y k!

е

6^2²Уе^н/Т2\¹⁺²У k!

е

к k!Н2

---^--1—^— , agar k = 2п; ^A1T27  (2)^!

2У

---z— , agar k = 2n + 1.

A rr

1 + 2y

Isbot: Quyidagi tengsizliklardan foydalanamiz

^(k-W^F.^»4 + 2^4,

Дк 2                  Д

V2 ¹⁺²У

A:

Bulardan foydalanib (Sy) ni baholaymiz

ir mi .          (6(S + 2>ZV’2  H(k - 2)!

^|rkR^}|<^{H(k —2)!(}-------)   =^_Й-2^_'

△

Bu yerda Дс= ——— .

J       ⁵   6(5+2)У

U holda (M) ni ko’rinishi quyidagicha bo’ladi.

k! eH

к k!H2

|mj <0k<<

~r=--+ ~7TT~

^ (2)!

, agar к = 2n;

(Ms)

k!eH

I 4e-s

, agar к = 2n + 1.

va

2-

V2   1+2

(s + 2)- < 22-(—△)

yuqoridagilardan foydalanib (M_s) ni baholaymiz. Agar к = 2n bo‘lsa

(2n)! eH lm2nl<---r=—

ve

■

6(S + 2)-  (2n)!H

-   +

n!

n

к = 2n + 1 da esa

6 • 2²-e^H

<--—— ve

2-

/V2 1+2- (2n)!

\6/     — +

-1+2-

(2n)!Hn n! '

^|m2n^|<

(2n + 1)!eH 6(S + 2)

----=-------<

6-22-eH

e

e

2-

V2 1+2-(2n+1)!

Д1+2-

2 – lemma isbot bo‘ldi.

Teorema Ef = 0

va Df = 1

bo‘lganda £ tasodifiy miqdor uchun (S-)

tengsizlik H =1 bo’lganda o’rinli bo’lsin. U holda

2-

V2 1+2- k! l4l<6-22-( —)   —

'   ^/     Д1+2-

.

(Mx)

Isbot: Ф(х) — ^(0,1) - momentlari uchun quyidagilar ma’lum|

^m2n

= Mn =

(2п)\ 2nn\

^,m2n+1 = ^0.

u holda m2n+1 — |m2n+1| — ^2n+1 , |^2n -^nn| = |m2n -^nn| ,

^2п+1 - &2n+1\ = ^2п+1^{— |m}2n+1|| = |^2n+1| .

munosabatlardan va 2 - lemmadan (M^) kelib chiqadi.

Teorema isbot bo‘ldi.

FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR

• 1.    В.И. Гмурман “Эҳтимоллар назарияси ва математик статистика” Т.

• 2.    В.И. Гмурман “Эҳтимоллар назарияси ва математик статистика

  масалаларини ечишга доир қўлланма” Т. “Ўқитувчи” 1980 й.

• 3.    С.А. Аҳмедов “Жараёнларни статистик бошқариш” Андижон, АДУ.

• 4.    Сифат менежменти тизимини яратиш – иқтисодий ўсишнинг хал қилувчи омили. Республика илмий амалий анжумани. Тезислар тўплами. Т “Иқтисодиёт” – 2011.

• 5.    З Запаров, Б Эгамбердиева, АДАПТИВНАЯ СИСТЕМА ОБУЧЕНИЯ // Перспективы развития науки и образования в современных экологических условиях, стр. 1054-1056, 2017.

• 6.    У Мирхамидов, Б Эгамбердиева, КОРРЕЛЯЦИОННЫЙ АНАЛИЗ КОЛИЧЕСТВЕННЫХ ПЕРЕМЕННЫХ ПРИ ОЦЕНИВАНИИ ЗНАНИЯ СТУДЕНТОВ // Актуальная наука, №12, стр 29-31, 2019.

“Ўқитувчи” 1977 й.

2005 й.

"Экономика и социум" №6(85) 2021