Некоторые простые классические свойства и примеры эргодической теории динамических систем

Эргодическая гипотеза в статистической физике — предположение о том, что средние по времени значения физических величин, характеризующих систему, равны их средним статистическим значениям, что и служит для обоснования статистической физики.

В физике и термодинамике эргодическая гипотеза утверждает, что за длительные периоды наблюдения время, проведенное частицей в некоторой области фазового пространства микросостояний с той же самой энергией, пропорционально объему этой области, т. е. все доступные микросостояния равновероятны за длительный период времени. В 2012 году физики впервые смогли экспериментально подтвердить положения эргодической теории, объясняющей свойства динамических систем. Исследование сразу двух коллективов ученых появилось в журнале Angewandte Chemie [1]. Коротко о нем пишет портал Physics World. Иными словами, последовательные и усредненные измерения состояний отдельной частицы дают тот же результат, что и измерения состояния всей системы в целом.

Авторы новой работы создали систему, которая позволяет удовлетворить оба этих требования. Экспериментальные частицы, параметры кото-3

рых измеряли специалисты, находились не в жидкой среде, а в пористом материале, пронизанном каналами диаметром в несколько нанометров. В качестве изучаемых частиц использовались молекулы флуоресцентного красителя, а вся система была погружена в спиртовой раствор. Благодаря яркому излучению красителя исследователи могли следить за отдельными молекулами и с высокой точностью определять их положение. Параметры всей совокупности молекул исследователи определяли, используя метод ядерного магнитного резонанса. В итоге ученые показали, что измерения, выполненные для отдельных молекул и для системы в целом, дают идентичные результаты [1].

• 1.    Постановка задачи

Динамическая система — множество элементов, для которых задана функциональная зависимость между временем и положением в фазовом пространстве каждого элемента системы. Эргодическая теория динамических систем изучает движения в пространствах с мерой. Пусть задано абстрактное пространство X , точки которого обозначаются буквами x , y , z . В дальнейшем это пространство будет служить фазовым пространством динамических систем. Мы предполагаем, что выделена некоторая с -алгебра G подмножеств пространства X , на которой определена ц . Предполагается, что мера ц является нормированной ц(X ) = 1 и полной, т. е. все подмножества множества меры нуль принадлежат G . Пространство с мерой обозначим ( X , G , ц ) и ц ( X ) = 1. Для удобства в понимании изложения дальнейшего материала введем некоторые определения.

Определение 1 . Динамическая система называется эргодической, если для любого инвариантного множества A его мера ц ( A ) равна 0 или 1 [2].

Определение 2 . Преобразование T 1 изоморфно с Т ₂, если T на X , и Т ₂ на X ₂ определены, и существует изоморфизм ф : X 1 —— X ₂ такое, что Т ₂ ф = ф T . Если теперь умножить слева на ф^{- 1}, получим ф^{- 1} т ₂ ф = ф^{- 1} т ф ^ ф^{- 1} т ₂ ф = T .

Определение 3 . Пусть в пространстве ( X , G , ц ) задано T — сохраняющее меру эргодическое обратимое преобразование, т. е.: T : X ^ X , ц ( T ^{- 1}) = ц ( T ). Преобразование T называется измеримым, если

• V M е G , T ^{- 1} M е G , где G есть о -алгебра измеримых подмножеств в X .

• 2.    Важные теоремы

Теорема 1. Поворот окружности с длиной 1 на любой иррациональный угол a - есть эргодическое преобразование.

Доказательство. Пусть T — неэргодическое преобразование, a — иррациональный угол. Это значит, что a и 1 несоизмеримые. Окружность имеет длину 1. Пусть C — есть инвариантное множество относительно преобразования T и C *0 , X , тогда TC - C и для V x е C , X c ( x + a ) -X c . Покажем, что индикатор х c этого множества из L ₂:

[ 1, x е C

X c(x) = L    г

[ 0, x £ C

• а)    |"х _c ( x )" | <  C очевидно,

• б)    X 2 ( x ) - X _c ( x ) - 1 или 0 в квадрате суммируемая.

Таким образом, х c ( x ) из L ₂ значит, что ее можно разложить в ряд Фурье. X c ( x ) - Z n . z ( a n e ²"” ).

X c ( x + a ) = Z n . z ( "-e ² ” ' ' *" n ) - Z . . z ( a n e 2 " " n e ) ⁼ Z . . z ( " . e ² "” ) - здесь a n_e ^{2 n} i a n _ a n 1, e 2 я,a n _ 1. Обозначим 2 na n -ф , тогда e ^ф - 1, cos ф + i sin ф- 1, sin ф- 0 >ф- 0, ± 2 п , ± 4 п ,...; х _c - 1, но всюду это невозможно; 2 п in a - 2 п ki , n a - k , отсюда a - k/n — рациональное. Это противоречит условию, что a — иррациональное. Отсюда следует, что T есть эргодическое преобразование (другое, более длинное доказательство этого утверждения — в книге [3]). Теорема доказана.

Определение 4. Всякое измеримое отображание T измеримого пространства ( M , G ) в себя порождает оператор U_T , действующий в пространстве измеримых комплексных функций на M по формуле (U_Tf )( x ) - f ( Tx ), U_T называется сопряженным с отображением T .

Определение 5 . Сохраняющее меру преобразование T : ( X , р ) ^ ( X , р ) называется перемешиванием или, проще, перемешивает, если для любых двух измеримых множеств A и B из G : lim n ^ _x p ( T - ⁿA n B ) - p ( A ) -p ( B ). Это означает, что если взять любое множество B положительной меры, то всякое множество положительной меры A при своем движении, начиная с некоторого момента, все время будет пересекать множество B , причем мера той части A , которая в момент n попала в B , асимптотически пропорциональна мере B [2]. Именно это свойство объясняет происхождение выражения «множество A положительной меры при своем движении равномерно размешивается по фазовому пространству».

Теорема 2. Из перемешивания преобразования T следует его эргодичность.

Доказательство. Если дано перемешивающее преобразование T , т. е. для ∀ A , B ∈ G , µ ( T ⁿA ) ⋅ µ ( B ) →µ ( A ) ⋅ µ ( B ) и пусть C инвариантное множество, т. е. TC = C , тогда lim _{n → x} µ ( T ⁿC ∩ C ) = µ ( C )² ⇒ TⁿC = C значит, µ ( C ) = µ ( C )² . Это возможно только в случаях, когда µ ( C ) = 0 или µ ( C ) = 1 что и означает эргодичность преобразования T . Теорема доказана .

Обратное утверждение неверно, т. е. из эргодичности преобразования T не следует его перемешивание.

Теорема 3. Пусть в пространстве ( X , G , µ ) задано T — сохраняющее меру обратимое преобразование. Если T и T - ¹ изоморфны, то унитарные операторы U T , U T - 1 — спектрально изоморфны, т. е.: U T □ U T - 1 .

Доказательство. Если задана функция f ∈ L ₂( X , µ ) и преобразование такое, что U_T : f → fT , f ( x ) → f ( Tx ). Из свойства сохранения меры следует U_T –изометрия: Uh = h . Если T — обратимое преобразование, то U_T – унитарный оператор, т. е. U_T - ¹ = U_T - 1 : f → fT - ¹ , T - ¹ сохраняющее меру преобразование. Если T и S обратимые сохраняющие меру µ преобразования в ( X , µ ), то из этого следует, что U_T изоморфно с U_S ; другими словами: U T □ U S , значит, существует унитарный оператор V такой, что U_T = VU_SV - ¹ . Если T и S изоморфны, тогда существует обратимое преобразование σ такое, что T = σ S σ - ¹ и существует U σ такое, что U_T = U σ U_SU σ- ¹ , то U_T и U_S — спектрально изоморфны. Значит, в нашем случае: U T □ U T - 1 — спектрально-изоморфны. Теорема доказана. Обратное неверно.

Существует эргодическое обратимое преобразование T такое, что T и T - ¹ не изоморфны. Пример такого преобразования построил японский ученый Г. Анзай [4]. Этот результат в дальнейшем так же может быть оформлен как теорема.

Заключение

Таким образом, в работе получено обобщение таких свойств как эргодичность, перемешивание и изоморфность. Найдена их взаимосвязь, а также улучшены доказательства отдельных теорий.