Некоторые свойства аналитического функционального элемента

Будем обозначать через Cn арифметическое пространство n независимых комплексных переменных z1,...,zn . Точками этого пространства яв- ляются всевозможные

наборы   (z1,..., zn)   комплексных чисел z1 = Xj + yj,,.,,zn = xn + iyn.   Расстояние   p(W,Z)    между точками

Z = ( z j ,..., Z n ) и W = ( W j образом

, w_n ) пространства C n определяется следующим

p( W, Z ) =

n

. i = J

Множество точек Z пространства C ⁿ , удовлетворяющих условию p ( W,Z ) < s , назовем s -окрестностью точки W пространства C ⁿ . При помощи понятия s -окрестности теперь стандартным образом введем по-22

нятие открытого множества в С ” , а затем и замкнутого множества. Всякое связное открытое множество D пространства С ” называется областью, т. е. область — это связное множество, которое вместе с каждой своей точкой Z содержит и некоторую ее £ -окрестность. Пространство С ” можно отождествить с евклидовым арифметическим пространством R ² ” , точками которого являются всевозможные наборы ( х₁,y ₁,..., х „ , y_n ) вещественных чисел. Точку ( z₁,..., z_n ) пространства С ” ниже часто будем обозначать одной буквой z.

Однозначная в области D пространства Cn функция f (z) = u (zi,..., z”) + iv (z 1,-, z”)

называется аналитическим в D функциональным элементом, если она непрерывна в D и во всех точках D имеет производные f = ''m J [f (z1,..., zk-1, zk + Az^, zk+1’"'’ z” ) f (z1,..., z” )] , k = 1’'"’ ”. (1) dzk Azk>0 Azk

Функция f ( z ) называется аналитической в точке Z = ( Z ^-., Z ” ) , если она является аналитическим функциональным элементом в некоторой £ -окрестности этой точки. Условие (1) означает, что функция f ( z ) аналитична по комплексному переменному z k , поэтому для того чтобы f ( z ) была аналитическим функциональным элементом в области D , необходимо выполнение в этой области следующих условий Коши — Римана [1]

5 и   6 v 5 и     6 v

----=----,----=-- , k = 1,..., ” .                   (2) 5 x   5 y_k 5 y_k    5 x

• 1    Постановка задачи

В теории функций многих комплексных переменных интегральную формулу Коши можно записать не для произвольной области, а только для специального класса полицилиндрических областей. Полицилиндри-ческая область D является прямым произведением D ₁ х ... х D” п плоских областей D ₁,..., D „ , причем плоская область D_k лежит в плоскости переменного z_k , k = 1,..., ” .

Пусть Гk — граница плоской области Dk, k = 1,...,п. Положим, D(k) = D1 х...хDk-1 хГk хDk+1...хD„, k = 1,...,”. Множество D(k) — часть границы области D, причем граница B области D является объединением всех D(k). Часть Г границы B области D, которая состоит из точек, принадлежащих всем D(k) одновременно, называется остовом границы поли-цилиндрической области D. Очевидно, что Г — прямое произведение границ всех областей Dk, т. е. Г = Г1 х...хГп. В случае, когда все Гk, к = 1,...,n — кусочно-гладкие линии, D(к) будут кусками (2n -1) -мерных поверхностей, а Г — совокупностью n-мерных поверхностей их пересечения. В этом случае полицилиндрическая область D называется регулярной или обыкновенной. Если все области Dk, к = 1,...,п — круги, то полицилиндрическую область D1 х... х Dn будем называть цилиндром [5].

Докажем несколько теорем в полицилиндрической области для аналитического функционального элемента.

• 2    Важные теоремы

Теорема 1. Если f (z^...,zn) представляет собой аналитический функциональный элемент в ограниченной, регулярной полицилиндрической области D и непрерывна в замкнутой области D, то f (z) = —1— f 7—f(t1’".’ tn)—di... dtn. (3) (2ni)" г (t - z )•••(tn - zn)

Доказательство. Рассмотрим случай двух независимых переменных w, z. Точки множеств D(1) и D(2) являются предельными точками для внутренних точек области D. Пусть (w, z) — точка D, (t1, z) — точка D(1), (w,t2) — точка D(2). В силу условий теоремы f (w,z) равномерно непрерывна в D , поэтому пределы lim f (w, z ) = f (t1, z), lim f (w, z ) = f (w, t2) w ^ t                        z ^ t2

достигаются равномерно, первый — относительно z, а второй — относительно w. Из теоремы Вейерштрасса для функции одной комплексной переменной следует, что функция f (t1, z) является аналитической функцией переменной z в области D1, а f (w, t2) — аналитической функцией пе- ременной w в D2 . Применяя к этим функциям интегральную формулу Коши для одного переменного, получим

f ( w , z ) =    f f M dt 1 , f ( t 1 , z ) =    J ft M t 2 .

^{2 n i} Г ( t 1 ^{- w} )                ^{2 m} Г ₂ t 2 ^{- z}

Из этих двух равенств найдем

z ) = -^-2-f d^ fy¹^^dt ₂ = ( 2 П ) Г/ 1 ^{- w} r^f₂ ( t 2 ^{- z} )

= — f -— ^{f (} t ¹’ t ²) —-dt ₁ dt ₂ ( 2 n i ) r ⁽ t 1 ^{- w )(} t 2 ^{- z} )

В случае многих независимых переменных теорема доказывается индукцией по числу переменных. Теорема доказана.

k. ! k !

Теорема 2. Если ряд ^ f k ( z ) равномерно сходится в каждой замкнутой области, лежащей вместе с границей в области D , а все f k ( z ) являются аналитическими функциональными элементами в D , то сумма f ( z ) этого ряда также будет аналитическим функциональным элементом в D , а ряд можно почленно дифференцировать любое количество раз.

Доказательство. Это утверждение представляет собой теорему Вей-ерштрасса для функций многих комплексных переменных и доказывается точно так же, как аналогичная теорема теории функций одной комплексной переменной.

Пусть a — произвольная точка области D, рассмотрим ее г -окрестность

B ( a ) : {| ^z , ^{- a} ,| <  ^{г ,}...,| ^z n ^{- a} n\ < ^г } , лежащую целиком в области D , и для B ( a ) напишем интегральную формулу Коши (3) для функции f ( z ). Далее доказательство ведется дословно, как в случае одной комплексной переменной [2]. Теорема доказана.

Таким же способом, как в теории функций одной комплексной переменной, можно получить следующее обобщение теоремы 2.

Теорема 3. Пусть f (z,,...,zn,a) — аналитический функциональный элемент в области D по переменным z,,...,zn для всех значений ком плексного параметра a, лежащих в окрестности значения a0, и предел lim f (z, a ) = ф( z) a ^ a о достигается равномерно в каждой замкнутой области, лежащей в D вместе со своей границей. Тогда ф(z) будет аналитическим функциональным элементом в D.

Теорема 4. Если f (z) — аналитический функциональный элемент в полицилиндре

D:{|z, -a,|

Го

f(z) =  Е akv^n. (z 1 - al ) '•••(zn - an ) “ ,                    ⁽⁷⁾

ki,.., k„ =0

где

a

^ki ...k„

1 k,!... k_n!

^z 1 = ai,..., zn = an

Ряд (7) сходится абсолютно и равномерно во всякой области E, лежащей вместе со своей границей внутри полицилиндра D. Представление f (z) рядом (7) единственно [4].

Доказательство. Доказательство ведется по такой же схеме, как и для функции одной комплексной переменной. Для произвольной точки z е D построим два полицилиндра

Di: {|z, - aJ < PvAzn - an\ < Pn }

и

D2: {|zi -ail < ^1,•••,|zn -an\< ^n}, Pk <^k < rk, k =1,...,n, содержащих эту точку. В полицилиндре D2 напишем интегральную фор мулу Коши (3) для функции f (z) =

(2ni)” r₂⁽ti ^{- z}i)...⁽t„^-zn)

но

(ti -ziГ-Сtn -zn)

у    (z, - ai)^k1...(zn - an)kn

(           \ki +1    /            \k„ +1

^k1...-,^k„ =^{0 (}ti ^{- a}i )     ...⁽tn - an )

Имеем оценку

(zi ^-ai )^k1...(zn — an )^k"

<

(ti - ai)^k1+1...(tn - an)^kn+1

из которой следует равномерная сходимость ряда (9). Отсюда справедливо первое утверждение теоремы и равенство (8). Единственность разложения (7) доказывается точно так же, как для функций одной комплексной переменной, поскольку, согласно теореме 2, равномерно сходящийся ряд аналитических функций можно любое число раз почленно дифференцировать. Теорема доказана.

Из единственности представления аналитического функционального элемента степенным рядом точно так же, как для функций одной комплексной переменной, справедлива следующая теорема об аналитическом продолжении.

Теорема 5. Пусть f (z), i = 1, 2 — аналитический функциональный элемент в полицилиндре

E^: {Izk - ak‘)I < r‘),^k =!,-,n}, i = ^{1 2};

пусть пересечение H = E₁1E₂ имеет внутренние точки, причем во всех внутренних точках пересечения f (z) - f,(z). Тогда существует единственный аналитический в E₁ U E₂ функциональный элемент f (z), такой, что f (z) - f (z) в E,, z = 1, 2 [5].

Теорема 6. Если функция f (z) ограничена по модулю постоянным числом M и является аналитическим функциональным элементом во всех точках пространства С”, то эта функция постоянна.

Доказательство. Эта теорема — обобщение теоремы Лиувилля из теории многих переменных. В силу теоремы 4 функцию f (z) можно представить степенным рядом to

в любом полицилиндре E(R): {|z, | < R, z = 1,...,n}.

Из выражения для коэффициентов этого ряда и оценок (6) имеем | ak_v.k\< CR"^(kn).

Так как R может быть сколь угодно большим, то f (z) = a_{0 0}. Теорема доказана.

Наибольший полицилиндр

S (^a)^:{| z- ^a,\< ^R, z = ^1,...^,n}, в котором сходится ряд (7), в дальнейшем будем называть элементарной окрестностью точки a = (a₁,..., an), а число R — граничным расстоянием точки а [3].

Теорема 7. Модуль аналитического в элементарной окрестности S (a) точки а функционального элемента f (z) не может достигать максимума в точке а, если f (z) X const.

Доказательство. Рассмотрим полицилиндр

Si (a): {|z, -a,|< R_p z = 1,...,n}, R< R .

Для S1 (a) имеем f (a) =

f /   ^{f (}\’7tn)   dt1₁-^dt.

(2m')” p'(a)⁽t1 ^-a1)...⁽tn^{- a}n)

Если f (z) X const, то найдется хотя бы одна точка Z еГ (a), такая, что |f (z )|<|f (a)|. В силу непрерывности |f (z)| на Г1(a) существует открытая в Г1 (a) окрестность 5 (Z) точки Z , такая, что |f(z)|<|f(а)| всюду на 5 (Z). Из (10) теперь имеем

I ^f(а )<

1     f (^а) f f ,

= |^{f (}a )| .

nn

^{( 2П})     R 5 (Z)        Г,( а )-5 (Z)

Это ведет к противоречию, если f (z) X const. Индукцией по числу не зависимых переменных покажем, что из равенства f((z)| ^ const следует f (z) = const.

Положим ф1 (z 2,..., zn ) = f (a1,z 2,..., zn )

и

^2 (z1»•••» zn-1 ) = ^f (z P-, zn-1,bn ) .

Пусть из |^.| = const следует ф. = const, i = 1, 2. Имеем f ( Яр-, an ) = Ф1 ( a 2»-» an )= Ф1 (b 2,..., bn ) = f ( ар b2,..., bn ) , f ( Op b 2,..., bn ) = Ф2 ( ар b 2,..., bn-1 ) = Ф2 (b1,..., bn-1 ) = f (b1,..., bn ) , откуда следует, что f (а) = f (b) для любых а и b. Теорема доказана. Теорема 8. Пусть f (z, а) — непрерывная функция переменных а, z1,..., zn, когда z пробегает область D с Cn, а а меняется на кусочногладкой кривой L. f (z, а) является аналитическим функциональным элементом в D для всех таких а.

Тогда

ф( z ) = J f (z, а) dа

L будет аналитическим функциональным элементом в D.

Доказательство. В силу компактности L функция f (z, а) равномерно непрерывна по а, поэтому для

n

Z^z.Г <5²

i=1

имеем

|f (z1 +Az„...,zn +Azn,а)-f (z,а)|< s , следовательно, где X — длина кривой L.

Таким образом, ф( z) непрерывна. Рассмотрим выражение

⁼ Ju [^f ( ^Z1,..., Z-1, Z^+Az - ,z‘+1,..., z", a )^-f ( ^Z, a )]^-4 ( ^Z, a )\da .

В плоскости переменного z, выберем окружность Cr: {|z, - z,⁽⁰⁾| = r} так, чтобы f была аналитической в полицилиндре

|^zi ^{- z(0)}| < P,..., z-i ^{- z}(-1)1 < P, IZ^{- z}(0) I < ^2r , \^Z141 ^{- z}"" I < P , ... , |^z„^{- z}T I < P.

Применяя в круге z, - z,(0) < r интегральную формулу Коши по пере- менной z , получим

|1 Т" ^{[ f} ( ^Z1,..., ^Z,-1, ^Z,^+Az,, ^Z,+1,..., ^Zn , a )^-f ( ^Z, a )]^-fz‘( ^Z, a )fda =

=      r_da r f⁽z¹,...,z^-1,w,z^¹,...,zn,a) dw,

2m L Cr (w - Z, -Az, )(w - Z, )

откуда следует

А™Г" ^[^( ^Z1,..., Z-1, Z^+AZ ‘, z,+1,..., z" )-^ф( z )- = f^df(Z, a)^da .

^Az'^° ^AZ,                                                    L^dz,

Теорема доказана.

Заключение

Таким образом, в данной работе для функций многих комплексных переменных с помощью введения аналитического функционального элемента в полицилиндрической области доказано несколько теорем о свойствах аналитической функции.

Для доказательства теорем используется интегральная формула Коши, а также равномерно сходящиеся в замкнутой области ряды.