Нелинейная термическая задача для системы сопряженных элементов. Результаты решения

В работе [1] приведена математическая постановка задачи о теплофизическом состоянии составных катодных узлов сильноточных плазменных систем (рис. 1).

Удельный тепловой поток из плазмы q 0 и его эффективный радиус r 0 определяются из эксперимента или же из совместного решения замкнутой системы уравнений катодных и прикатодных процессов [2].

Температурное поле в осесимметричном катодном узле находится совместным решением уравнения нестационарной теплопроводности d T   1 d

P k^T = d t   r о r

r'- ( ^T ) " Г о r

d

+ — dz

X k ( t ) - T + j 2 / ^ k ( t ) 6 z

и нелинейного уравнения непрерывности тока

1 _d r d r

r ^ k (T ) '/

9 r

+ —

9 z

" - ^{( T} ) U = 0

для вставки ( k = 1) и обоймы ( k = 2).

Рис. 1. Схема составного катодного узла плазменных устройств. I – катод (вставка), II – корпус узла (обойма), III – плазма разряда, IV – плазмообразующий газ, V – теплоотвод (жидкость)

Для решения уравнений применялся метод конечных разностей [3]. Сформулированная разностная задача решалась методом установления. При прогонке по локально-одномерной схеме вся область интегрирования I – II разбивалась на несколько простых областей и смежные области «сшивались» едиными граничными условиями [4]. Составленный численный алгоритм позволяет рассчитать стационарные температурные поля T 1,2 ( r, z ) во всей электродной системе «вставка – обойма».

Результаты решения и обсуждение

Рассмотрим температурное поле в составном осесимметричном катодном узле (рис. 1), состоящем из системы лантанированный вольфрам (I) – медь (II): L h = 1 см, L 2 = 1,5 см, радиусы катода и обоймы соответственно R i = 0,5 см и R 2 = 1,5 см, давление аргона p = 1,01 • 10⁵ Па, рабочий ток I = 600 А, кондуктивный тепловой поток Q T = 2050 Вт [5].

Рис. 2. Температурное поле в катодном узле. 0 – 8 – изотермы 3400, 2900, 2500, 1900, 1300, 950, 700, 400, 350 K соответственно. а) L c = 0, r 0 = 0,15 см б) L c = 1 см, r 0 = 0,31см

На рисунке 2 представлены изотермы в симметричной половине осевого сечения катодного узла при L с = 0 и L с = 1 см. Уровень температур в катоде, запрессованном заподлицо с обоймой (рис. 2а), значительно выше, чем в катоде с вылетом (рис. 2б), так как вследствие интенсивного охлаждения происходит контрагирование привязки дугового разряда. При этом существенно возрастают плотности теплового потока и тока, что приводит к резкому увеличению уровня и градиента температуры в опорном пятне и его окрестности. Анализ изотерм катодного узла показал, что тепловой поток, поступающий в электрод, большей частью отводится через боковую поверхность, контактирующую с обоймой. Увеличение диаметра обоймы d 2 значительно снижает уровень всего поля температур вставки, за исключением температуры в пятне. Увеличение же длины обоймы L 2 при L h = const ведет к росту интегральной температуры катода, особенно на поверхности контакта двух металлов. Кроме геометрии корпуса обоймы, на тепловой режим катодного узла оказывает сильное влияние диаметр самой вставки d 1 . Показано, что варьированием геометрических размеров, прежде всего отношением d 1 / d 2 , можно найти оптимальный температурный режим электрода.

Рис. 3. Зависимость температуры рабочего торца от длины вылета катода. R 1 = 0,3 см, I = 400 А, 1 – L c = 0,2 см, 2 – L c = 1,2 см, 3 – L c = 6 см

Кривые, представленные на рисунке 3, наглядно иллюстрируют термическое состояние рабочей поверхности электрода в зависимости от длины вылета L c . Увеличение L c в пределах 0-6 см приводит к нелинейному изменению температуры горячего торца. Температура в пятне сначала уменьшается от 3 659 К ( L c = 0) до ~ 2700 К, затем, начиная с L c ≥ 2 см, плавно повышается до 3 164 К ( L c = 6 см). Одновременно с этим уровень температур в других точках торца монотонно возрастает. Это приводит, как и в случае увеличения токовой нагрузки, к выравниванию температурного профиля торца и увеличению среднего уровня температуры катода. Как уже отмечалось, такой характер изменения профиля температуры связан с действием джоулева тепловыделения в объеме вставки. При малых значениях L c его вклад в энергобаланс катода не значителен, но с увеличением длины вставки доля объемного источника тепла возрастает. По характеру распределения изотерм можно предположить, что тепловой поток, поступающий в электрод, большей частью отводится через боковую поверхность вставки. Этот вывод подтверждается результатами расчетов. Увеличение диаметра медной обоймы d 2 значительно снижает уровень всего поля температур вставки, за исключением температуры в пятне. Увеличение длины обоймы L 2 при L h = const ведет к росту уровня температурного поля катода, особенно на поверхностях контакта двух метал-96

лов. Это сопровождается большим нагревом меди, что может привести к прогоранию конструкции.

Представляет большой интерес изучение влияния джоулева источника тепла и радиационного излучения с поверхности электрода на термическое состояние катодного узла. Расчет проведен для составного катодного узла со следующими геометрическими размерами и тепло-и электрофизическими свойствами:

• L 1 = 3 см, L h = 1 см, L c = 2 см, R 1 = 0,25 см, L 2 = 1,5 см, R 2 = 1,5 см;

λ 1 = 118 Вт/м∙К; λ 2 = 352 Вт/м∙К; c 1 = 130 Дж/кг∙К;

c 2 = 380 Дж/кг∙К; ε 1 = 0,3; α g = 370 Вт/м²∙К; σ = 5,67∙10^–8 Вт/м²∙К⁴.

Плотности материалов электрода и обоймы равны соответственно: 1,9∙10⁴ кг∙м^–3 и 8,93∙10³ кг∙м^–3. Данные остальных параметров в численных расчетах учитывались в виде их температурных зависимостей [6]. Дуговой разряд горит в атмосфере аргона при p = 10⁵ Па и токовой нагрузке I = 300 A, интегральный тепловой поток Q = 340 Вт [7].

Графики на рисунке 4 наглядно иллюстрируют роль объемного источника и нелинейных граничных условий на цилиндрической и рабочей поверхностях электрода в тепловой задаче. Осевые распределения температуры позволяют выявить вклад этих составляющих (при различном их сочетании) в энергообмен термоэмиссионного катода. Они получены варьированием тепло- и электрофизических коэффициентов в уравнениях и граничных условиях задачи. Температурное поле, рассчитанное с учетом джоулева тепловыделения и теплообмена путем конвекции и излучения (в уравнениях (1), (2) и соответствующих граничных условиях задачи [4] удельное сопротивление ρ 1 ≠ 0, степень черноты ε 1 ≠ 0 и коэффициент теплоотдачи газу α g ≠ 0), согласуется с экспериментальным распределением T 1 ( R 1 , z ) [7–9] (кривая 1 ), что свидетельствует о правильной постановке задачи. При упрощенной постановке задачи без учета всех рассматриваемых составляющих энергобаланса катода (ρ 1 = 0, ε 1 = 0, α g = 0) появляются значительные погрешности в определении термического режима катода (кривая 2 ). Температура горячего торца в этих вариантах различается на 716 K. Однако учет по отдельности только объемного источника тепла (ρ 1 ≠ 0, ε 1 = 0, α g = 0; кривая 3 ), или же конвективного и лучистого теплообменов с поверхности электрода (ρ 1 = 0, ε 1 ≠ 0, α g ≠ 0; кривая 4 ), приводит к еще большим ошибкам в расчете температурного поля. Например, разность максимальной температуры T 1 (0, 0) на кривых 1 и 3 достигает 1 704 K. Графики 3 и 4 отражают противоположный характер влияния джоулева нагрева в объеме и комбинированного теплообмена с боковой поверхности на тепловое состояние термоэмиссионного катода. Установлено, что роль этих тепловых процессов в энергобалансе зависит от геометрии электрода и величины разрядного тока. Вклад теплообмена на границах для рассматриваемой геометрии катодного узла при токовой нагрузке I <  300 A и плотности тока j <  1.5 ⋅ 10³ A/см² заметно больше 97

влияния джоулева тепловыделения. С увеличением тока доля последнего фактора в энергобалансе катода повышается, и при I >  500 A джоулево тепловыделение существенно превышает конвективную и лучистую составляющие теплоотдачи с поверхности.

Рис. 4. Осевые распределения температур катода

Заключение

Исследовано влияние геометрических размеров и условия теплообмена катодного узла, параметров дугового разряда на тепловое состояние термоэмиссионных катодов. Установлено, что основными факторами, определяющими уровень и характер распределения температурного поля в электродном узле, являются джоулев нагрев и геометрические размеры составных элементов конструкции. Показано, что варьированием геометрией и токовой нагрузкой катодного узла можно найти его оптимальный тепловой режим. Результаты проведенных расчетов находятся в согласии с экспериментальными данными, что свидетельствует о корректности постановки и решения задачи.