Неравенство Йенсена как критерий выпуклости непрерывной функции

Автор: Клячин В.А.

Журнал: Математическая физика и компьютерное моделирование @mpcm-jvolsu

Статья в выпуске: 1 т.28, 2025 года.

Бесплатный доступ

Многие неравенства математики могут быть выведены из нескольких базовых неравенств. К таким неравенствам относится классическое интегральное неравенство Йенсена, применяемое для получения разнообразных оценок интегралов функций, принадлежащих различным классам. Например, частный случай интегрального неравенства Гельдера для функций класса L p , p ≥ 1 может быть получен как следствие неравенства Йенсена, откуда легко выводится вложение пространств L q ⊂ L p , 1 ≤ q ≤ p. В терминах вероятностной меры неравенство Йенсена утверждает, что значение выпуклой вниз функции в точке математического ожидания векторной случайной величины ξ не превосходит математического ожидания этой выпуклой функции от случайной величины ξ: f(Eξ) ≤ Ef(ξ). В настоящей статье доказывается, что если неравенство Йенсена выполняется для непрерывной функции f для любого симплекса, то функция f является выпуклой вниз. В статье вводится понятие дефекта выпуклости непрерывной функции, так, что он является отрицательным для выпуклых функций. Используя линейные свойства дефекта выпуклости, доказан интегральный признак δ-выпуклости непрерывной функции. Он утверждает, что если дефект выпуклости не превосходит квадратичной функции от диаметра симплекса, то функция δ-выпукла. Из этого признака получается интегральное условие дважды почти всюду дифференцируемости непрерывной функции.

Еще

Выпуклые функции, неравенство Йенсена, геометрический центр, весовой центр масс, δ-выпуклые функции

Короткий адрес: https://sciup.org/149148924

IDR: 149148924 | DOI: 10.15688/mpcm.jvolsu.2025.1.1

Текст научной статьи Неравенство Йенсена как критерий выпуклости непрерывной функции

DOI:

Доктор физико-математических наук, заведующий кафедрой компьютерных наук и экспериментальной математики, Волгоградский государственный университет ,

Пусть в R ” ,п < 1 определена локально суммируемая функция w(x) > 0 , причем множество { x : w(x) = 0 } нигде не плотно. Для измеримого множества А С R ”

определим величину

| А | _Ш = У w(x)dx.

Функцию w можно рассматривать как плотность распределения массы. Соответственно можно определить весовой центр масс множества А х

У xw(x)dx.

В случае w(x) = const точка x ^A представляет собой обычный геометрический центр множества А .

Классическое интегральное неравенство Йенсена утверждает, что для выпуклой вниз функции f : D С R” выполнено f (xA) = f ( А J xw(x)dx j < А J f (x)w(x)dx. \ W A / W A

Мы доказываем, что если это неравенство для непрерывной функции выполняется для всякого симплекса А = S С D , то функция f - выпукла вниз. Заметим, что дискретный аналог неравенства Йенсена [5] эквивалентен определению выпуклости функции. В случае интегрального неравенства этот факт не является очевидным, по крайней мере в одну сторону. Также отметим ряд работ [2; 3; 6], которые посвящены тем или иным вопросам, связанным с исследованием выпуклых функций и неравенств с ними. Стоит также отметить, что неравенство (1) было положено в основу определения классов ква-зивыпуклых и поливыпуклых функций, имеющих важное значение для разрешимости краевых задач о равновесном состоянии гиперупругого тела [4; 7; 8].

Лемма 1. Для функции вида f (x) = (a,x) + b имеет место равенство f Ю =

У f (x)w(x)dx.

Доказательство. Нужное получается прямым вычислением f (xW) = (a,

У xw(x)dx)

+ b =

Pq— У ( ( a,x ) + b)w(x)dx =

1^ У f (x)w(x)dx.

^W A

Лемма доказана.

Предположим, что для всякого отрезка I С [a, b] задана непрерывная функция w i (x) > 0,x Е I . Мы предполагаем, что функция w i (x) непрерывно зависит от концов отрезка I .

Лемма 2. Непрерывная функция f (х), заданная на отрезке [a,b] С R, является выпуклой вниз тогда и только тогда, когда для всякого отрезка I = [х, у] С [a, b] выполнено

У f (х1^) < [ f (t)wI(tjdt.

¹¹| w

Доказательство. Пусть функция f (х) выпукла вниз на отрезке [a,b]. Тогда найдется такое число А, что всюду на [a, b] будет выполнено неравенство f (t) > f (х^) + A(t -^У

Умножая обе части этого неравенства на w _I (t) , интегрируя его по отрезку I и применяя лемму 1, получаем требуемое.

Докажем обратное утверждение. Напомним, что функция f (х) будет выпуклой на отрезке [a,b] тогда и только тогда, когда для произвольных [х,у] С [a,b], z G [х,у] будет выполнено неравенство f (z)

у -х

Предположим противное. Именно, найдется точка z0 G [х,у] такая, что f (zo) > f (х) + z0—х(f (У) - f (хУУ у - х

Положим f — 'Г

h(t) = f (t) -f (х) - — (f (у) -f (х)). у - х

Заметим, что в силу леммы 1 для функции h(t) также выполнено условие доказываемой леммы. Поскольку h(z₀) > 0, h(x) = 0, h(у) =0 и функция h(t) непрерывна, то в некоторой точке z* она достигает своего положительного максимума.

Пусть 5 > 0, 51, 52 > 0 такие, что 51 + 52 = 5 и h(t) > 0, t G (z* - 51, z* + 52).

Пусть I = [z* - 51, z* + 52] и zi =

11 |w

У tw_I(t)dt. i

Из соображений непрерывности ясно, что для каждого 5 найдется такое 51, что zI = z*. Действительно, при 51 =0 точка zI лежит справа от z*, а при 52 = 0 точка zI лежит слева от z*. Точка zI непрерывно зависит от концов отрезка I. Поэтому при заданном 5 найдется требуемое δ1. В силу условия леммы j h(t)wI(t)dt < h(z*).

^h⁽^z⁾= ^h⁽^zI⁾<

Это возможно только если h(t) = h(z*) на [z* - 51, z* + 52]. Увеличивая значение 5 > 0, можно подобрать такое 5, что h(z* - 51) = 0 или h(z* + 52) = 0. Откуда будет следовать h(z*) = 0. Полученное противоречие доказывает лемму окончательно.

Будем предполагать, что для всякого n-мерного симплекса S С D задана непрерывная функция ws(х) > 0, х G S, непрерывно зависящая от вершин симплекса S.

Теорема 1. Непрерывная функция f (х), заданная в области D С Rn,n > 1, выпукла вниз тогда и только тогда, когда для любого п-мерного симплекса S С D выполнено f (х^5) < [ f (t)ws(t)dt. (2)

^|S |»S s

Доказательство. Пусть функция f (х) выпукла вниз в D. Рассмотрим произвольный п-мерный симплекс S С D. Из выпуклости функции f (х) следует, что найдется такой вектор a Е R”, что для каждой точки х Е D будет выполнено неравенство (см., например, [5])

f (х) > f (xs) + (a,x - х^>.

Умножая обе части этого неравенства на весовую функцию ws (х) и применяя лемму 1, получим (2).

Докажем обратное. Пусть для всякого симплекса S С D выполнено (2). Сперва мы покажем, что аналогичное неравенство будет выполнено для любого (п — 1)-мерного симплекса Л С D. Пусть е - вектор нормали гиперплоскости симплекса Л. Выберем Н > 0 так, чтобы симплекс S с вершиной в точке v = х^д_з + Н • е и основанием Л лежал в области D.

Точки х Е S будем записывать парой (x‘,t), где t равно расстоянию от точки х до гиперплоскости симплекса Л. Введем функцию фн(х‘), являющуюся кусочно-линейной в Л, принимающую нулевое значение в вершинах симплекса Л и такую, что фн (х^5) = Н.

Легко заметить, что по построению имеет место равенство ф_н(х) = Нф1(х). По формуле Кронрода — Федерера имеем

У f (x)w_s(x)dx = У dx'

фн (^')

У f ^'^ws (x',t)dt = о

= Н

ф1(х')

у dx' j f(х',Нt)ws(х',НT)d

т.

Поступая аналогично, вычислим следующие интегралы:

ф1(^')

|^Su = l^wsw. о X^х I ^ws^x^

„ ^ws ^xs

s д

[ ( Н xws (x)dx =

|S U

о ф1(^')

У d^ У xw_s(х, НT)dT. до

Из этих соотношений и из условий теоремы, полагая Н ^ 0, будем иметь

х* = lim //-‘о

х^⁵ = ( / w_s(х, 0)ф1(х')х^х' I I У w_s(х, 0)ф1(х')dx' I ,

f (^*) < I У ws(x', G)^1(S)f (S , G)dx'I I У ws(x', G)^1(x')dx'I .

Таким образом, для всякого (п — 1)-мерного симплекса Л G D выполнено условие теоремы 1 с функцией w^(x‘) = w(x', 0)^1(x').

Понижая размерность симплексов и используя лемму 2, мы покажем, что функция f (x) будет выпуклой вниз на произвольном отрезке I G D. Это и будет означать, что функция f (x) выпукла в D. Теорема доказана.

Определение. Величину df(S) = f (xSs) — J I f (x)ws(x)dx

|»s

s назовем дефектом выпуклости непрерывной функции f.

Из доказанной теоремы следует, что непрерывная функция f (x) будет выпуклой тогда и только тогда, когда ее дефект выпуклости df (S) < 0 на любом симплексе S' G D.

Ясно, что для любых двух непрерывных функций f1,f2 и любых чисел Л1, Л2 имеет место равенство d^1f1+^2f2 (S) = ^1df1 (S) + ^2df2 (S).

Отсюда получаем следующий факт. Если для непрерывной функции f : D ^ R и выпуклой вниз функции g : D ^ R имеет место неравенство df (S) < —dg(S)

для любого симплекса S G D, то функция f + g выпукла вниз, а функция f имеет почти всюду полный дифференциал. В качестве g рассмотрим квадратичную функцию вида

g(x) = (Bx, x), где B - симметричная, положительно определенная матрица.

Следствие 1. Пусть непрерывная функция f : D G R” ^ R для любого симплекса S G D удовлетворяет неравенству

f(xS^s) <

У f (x)ws(x)dx + s

|S|

j (B (x — xS^s),x — xS^s)ws (x)dx, s

Тогда функция f (x) + (Bx, x)

выпукла вниз.

Доказательство. Вычислим дефект выпуклости функции g(x) = {Bx,x}. Имеем dg(S) = g(xss)— гУ" I g(x)ws(x)dx = (Bxss,xss)— |S Us’ f (Bx,x)ws(x)dx = |S Us

= (Bx^ ,xS^S) -

|s S

У [B (x — x^^s),x — x^^s)ws (x)dx — s

^{2 |S}|s_s

j [Bx,xS^s}ws (x)dx + [BxS^s ,xS^s)• s

Функция [Bx,xSs) линейна, поэтому, используя лемму 1, получаем окончательно dg (S) =

|S |

S_S

У [B(x — xS), x — xS^S)ws (x)dx. s

Таким образом, в силу условия следствия, имеем df₊_д(S) < 0 и из теоремы 1 получаем требуемое свойство выпуклости.

Как и выше, предполагаем, что для каждого симплекса S С D задана неотрицательная функция ws(x), x Е S. Пусть ei,i = 1,...,п — стандартный базис в Rⁿ. Построим аффинное отображение А : Rⁿ^ Rⁿтакое, что

A(0) = ро, A(ei) = pi,i = 1, 2, ...,п.

Обозначим через G матрицу этого отображения. Положим и* Е Rⁿтакое, что A(u*) = = xS. Обозначим через Л симплекс с вершинами в точках 0, e1,..., е_п. Ясно, что S =

= А(Л). Обозначим через mij величины тц =

( ^ (и — U* )j (и

^—^и-),^w^s(^Au)^du] Uw_s⁽^Au⁾^du

Ясно, что эти величины являются элементами симметричной, положительно определенной матрицы М. Пусть ^(S) - минимальное собственное число этой матрицы. Положим

И = inf p(S).

scd

Легко заметить, что если найдутся положительные числа 0 < w0 < w1 такие, что w0 < ws (x) < w1, Vx Е S, то имеет место оценка

. wo

И > Ип— wi с постоянной рп > 0, зависящей только от п.

Лемма 3. Предположим, что и > 0. Тогда для любого симплекса S С D будет выполнено

—— f lx — xS^S|²w_s(x)dx > p.(diam(S))². ^|S |ss

Доказательство. Выполним замену x = Au в интеграле

У |x — xS^S|²w_s(x)dx = detG У |G(u — u*)|²w_s(Au)du. s Д

Положим

|A|w_s= У w_s(Au)du.

Поскольку |S|_W_s= detG • |A|_W_s, то получаем

[ I^х— x^w_s^sI2^ws(x)dx = 7x1— [ IG(u — u*)l²w_s(Au)du. ^|S Us PI^s

S △

Положим Q = G^TG. Тогда

J |G(«

Имеем

u*)I2w_S(Au) du = У (Q(u — u*),u — u*)ws (Au) du.

Заметим, что по

J (Q(u — u*),u — u* )ws (Au) du = tr(QM) ——• △ Ws построению отображения A имеют место равенства

G(ei) = р_{ — po, г = 1, 2,...,n.

Следовательно, г-й столбец матрицы G - это в точности координаты вектора p_i — р₀. Но тогда элементами q_ij симметричной матрицы G^TG являются скалярные произведения

Qij = (Pi^—Po^,Pj^—Po).

Пусть вектор p_i — р₀ имеет координаты р^ — рк. Тогда

У Ix — xSs 2WS(x)dx = s n n n

= tr(^QM) = S qijmij = S S^^—р^к₀)(р^к^—р^к₀)mij = i,j=1 i,j=1 k=1

n n

= S S ^ — рк^(рк3 — рк0 )mij - k=1 i,j=1 n n n

^-^(s) SS^^—р^к⁾²= ^⁽^s) S ^|Pi^—po^|²^-^ • ^diam2⁽^s)•

Лемма доказана.

Напомним, непрерывная функция f : D ^ R называется 5-выпуклой, если она является разностью двух выпуклых функций.

Теорема 2. Предположим, что найдется постоянная Л — 0, такая, что для всякого симплекса S С D выполнено неравенство f (xmss) <

IS I

I^f^(x>_s⁽^x⁾^dx⁺^Л • ^diam2⁽^s)• s

Тогда функция f является 5-выпуклой.

Доказательство. Положим (Bx,x) = A^^-1IxI2. Тогда, согласно лемме 3, будут выполнены условия следствия теоремы 1. Из этого следствия заключаем, что функция f (x) + Л^^-1|xI2 является выпуклой вниз, а, значит, функция f является 5-выпуклой.

Статья научная