О числе периодических решений некоторых полиномиальных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами
Автор: Ройтенберг Владимир Шлеймович
Журнал: Вестник Бурятского государственного университета. Математика, информатика @vestnik-bsu-maths
Рубрика: Функциональный анализ и дифференциальные уравнения
Статья в выпуске: 1, 2020 года.
Бесплатный доступ
Рассматриваются дифференциальные уравнения (обобщенные уравнения Абеля), правые части которых являются полиномами степени n большей двух с непрерывными коэффициентами, периодически зависящими от аргумента. Оценками числа периодических решений таких уравнений занимались многие авторы. В настоящей работе предполагается, что коэффициент при старшей степени полинома либо неотрицателен, либо неположителен, а часть коэффициентов равна нулю. В случае нечетного n доказано, что уравнение имеет не более трех периодических решений и анализируется их кратность. В случае четного n и нулевого свободного члена правой части установлено, что уравнение имеет не более четырех периодических решений, и также анализируется кратность этих решений.
Полиномиальное дифференциальное уравнение с периодическими коэффициентами, уравнение абеля, число периодических решений
Короткий адрес: https://sciup.org/148308954
IDR: 148308954 | DOI: 10.18101/2304-5728-2020-1-28-34
Текст научной статьи О числе периодических решений некоторых полиномиальных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами
Оценке числа периодических решений полиномиального дифференциального уравнения (обобщенного уравнения Абеля)
x = a n ( t ) x n + ... + a 2 ( t ) x 2 + a 1 ( t ) x + a 0 ( t )
с непрерывными периодическими коэффициентами a k ( t ), k = 0,1,..., n посвящено большое число работ, например [1–4]. В. А. Плисс [1] показал, что при n > 4 и a n ( t ) = 1 уравнение может иметь больше, чем n изолированных периодических решений. А. Л. Нето [2] доказал, что при n = 3 уравнение может иметь сколь угодно большое число изолированных периодических решений. В его примере коэффициент a 3 ( t ) меняет знак.
В статье [4] рассматривались уравнения вида x = an(t)xn + a2(t)x2 + a1(t)x + a0(t), (1)
где n > 2. В предположении, что коэффициенты ak ( t ), k = 0,1,2, n — непрерывно дифференцируемые 1-периодические функции, а коэффици-28
ент a n ( t ) не меняет знак, доказано, что такое уравнение при нечетном n может иметь не более трех изолированных 1-периодических решений, а при четном n может иметь любое число изолированных 1-периодических решений.
Мы покажем, что при нечетном n требование на коэффициенты уравнения (1) можно ослабить до их непрерывности. Кроме того, мы оценим число и кратность 1-периодических решений в случае четного n и непрерывных коэффициентов при дополнительном условии a 0 ( t ) ^ 0.
Постановка задачи и результаты
Пусть ф ( § , t ) — решение уравнения (1), удовлетворяющее начальному условию ф ( ^ ,0) = ^ . Решение ф ( x 0, t ) является 1-периодическим тогда и только тогда, когда x 0 — нуль функции расхождения
d ( ^ ): = ф ( ^ ,1) - ^ .
Для уравнения (1) функция расхождения является аналитической. Кратность ее нуля x 0 называется кратностью периодического решения ф ( x 0 , t ). Периодические решения кратности 1 будем называть простыми.
Теорема. Пусть коэффициенты ak ( t ) , k = 0,1, 2, n, уравнения (1) — непрерывные 1-периодические функции на R , V t an ( t ) < 0 или V t an ( t ) > 0 , an ( 1 0) ^ 0 для некоторого 1 0 . Тогда справедливы следующие утверждения:
А) При нечетном n уравнение (1) может иметь не более трех 1-периодических решений. Существуют уравнения, имеющие одно, два и три 1-периодические решения. Если уравнение имеет ровно три 1-периодических решения, то они простые. Если уравнение имеет ровно два 1-периодических решения, то сумма их кратностей не больше трех.
Пусть V t an ( t ) ^ 0 . Тогда уравнение имеет хотя бы одно 1-периодическое решение; если уравнение имеет ровно два 1-периодических решения, то одно из них простое, а второе двукратное; если уравнение имеет ровно одно 1-периодическое решение, то оно нечетной кратности.
Б) При четном n и a 0( t ) ^ 0 уравнение (1) может иметь не более четырех 1-периодических решений. Для любого k е {1,2,3,4} существует уравнение, имеющее ровно k 1-периодических решений. Если уравнение имеет ровно четыре 1-периодических решения, то они простые.
Пусть V t an ( t ) ^ 0 . Тогда если уравнение имеет ровно три 1-периодических решения, то решение x = 0 двукратное, а остальные решения простые; если уравнение имеет ровно два 1-периодических решения, то они простые; если уравнение имеет ровно одно 1-периодическое решение, то оно нечетной кратности.
Доказательство. Используем утверждение и метод доказательства следующей теоремы из работы [5].
Пусть 1) функция f ( t , x ) и ее производная f x ( t , x ) непрерывны на RxR , 2) f ( t , x ) 1-периодическая по t , 3) V t f x (t , x ) выпуклая функция от x , а при некотором t = t 0 и строго выпуклая функция. Тогда дифференциальное уравнение x = f ( t , x ) имеет не более трех изолированных 1-периодических решений.
Ее доказательство основано на следующих соображениях. Из 1)-3) вытекает, что функция
h ( x ) • = J o f ( t , Ф ( x , t )) dt = ln Ф х ( x , 1)
строго выпукла. Из существования более трех 1-периодических решений следует по теореме Ролля, что h ( x ) имеет, по крайней мере, три нуля, что противоречит строгой выпуклости.
Пусть в уравнении (1) n = 2 m + 1 и V ta n ( t ) > 0 . Для правой части f ( t , x ) = a n ( t ) x n + a 2 ( t ) x 2 + a 1 ( t ) x + a 0 ( t ) уравнения получаем, что
V t fL ( t , x ) = 2 m (4 m 2 - 1) a „ ( t ) x 2 m - 2 > 0,
V x * 0 f :x ( 1 0 , x ) = 2 m (4 m 2 - 1) a n ( 1 0 ) x 2 m - 2 > 0.
Тем самым условия 1)-3) выполнены, и потому уравнение имеет не более трех 1-периодических решений. Выясним, сколько их может быть и какой кратности.
Пусть уравнение имеет три 1-периодических решения: ф (xk , t ), к = 1,2,3, где x 1 < x 2 < x 3, и хотя бы одно из них, для определенности, ф (xs , t ) кратное. Функция расхождения d определена на отрезке [ x 1 , x 3]. Так как V к = 1,2,3 d ( xk ) = 0, то по теореме Ролля получаем d ' ( 5 1 ) = d ' ( 5 2) = 0, где x 1 < 5 1 < x 2 < 5 2 < x 3. Кроме того, d '( xs ) = 0. Но тогда ф х ( ^ 1 ,1) = ф х ( 5 2 ,1) = Ф x ( xs ,1) = 1, а h ( 5 1 ) = h ( 5 2 ) = h ( xs ) = 0, что противоречит строгой выпуклости функции h . Таким образом, если имеются три 1-периодических решения, то они простые.
Пусть уравнение имеет два 1-периодических решения: ф ( x 1 , t ) и ф ( x 2, t ), с кратностями, соответственно, s 1 и s 2.
Если s 1 > 1 и s 2 > 1, то V к = 1,2 d ( xk ) = d '( xk ) = 0 . По теореме Ролля d '( 5 ) = 0, где число 5 находится между числами x 1 и x 2, но не совпадает ни с одним из них. Тогда h ( x 1 ) = h ( x 2) = h ( 5 ) = 0, в противоречие со строгой выпуклостью функции h . Таким образом, одно из чисел s 1 или s 2 равно единице; для определенности пусть s 2 = 1.
Предположим, что s 1 = s > 3. Тогда ф ( x ,1) = x + a ( x - x 1 ) s + r ( x ), где a * 0, а r ( x ) — аналитическая функция, r ( x ) = o (( x - x 1 ) s ),
Ф^ (x,1) = 1 + as(x - x1)s 1 + r'(x), ф^ (x,1) = as(s -1)(x - x1)s 2 + r"(x), r'(x) = o ((x - x1)s-1), r"(x) = o ((x - x1)s-2), h‘(x) = ф” (x,1) = as(s -1)(x - x1)s-2 + R(x), (2)
^ x ( x ,1)
где R ( x ) — аналитическая функция, R ( x ) = o (( x - x 1 ) s - 2), h "( x ) = as ( s - 1)( s - 2)( x - x 1 ) s - 3 + o (( x - x 1 ) s - 3). (3)
Если s 1 = s > 4 и четно, то из (3) следует, что h "( x ) меняет знак в окрестности точки x 1 , что противоречит выпуклости h . Таким образом, если s 1 четно, то s 1 = 2.
Если s1 = s > 3 и нечетно, то из (2) следует, что существует такое число 8 > 0, что sgn h'(x) = sgn a(x - xj, если | x - xt | < 8 . (4)
Так как для всех x из достаточно малой проколотой окрестности точки x1 sgn d‘(x) = sgn(^x (x,1) -1) = sgn a, то sgn d‘(x2) = sgn(^x (x2,1) -1) = - sgn a, и потому sgnh(x2) = -sgna . (5)
Из (4) и (5) следует, что h имеет локальный максимум в некоторой точке xM между x1 и x2. Так как h(x)— аналитическая функция, то h (x) = c (x - xM )2 1 + o ((x -xM )21), где c < 0, l > 1. Но тогда при достаточно малом 5 > 0 для всех x е (xM, xM + 5)
h "( x ) = 2 1 (2 1 - 1) c ( x - xM )2 l - 2 + o (( x - xM )2 l - 2) < 0, в противоречие с выпуклостью функции h .
Таким образом, если уравнение имеет два 1-периодических решения, то сумма их кратностей < 3. Если дополнительно предположить, что V ta n ( t ) > 0 , то одно из этих решений простое, а второе двукратное. Предположим на время, что оба периодических решения простые. В рассматриваемой ситуации при достаточно большом R > 0
sgn™" ^ ( x , t ) = sgn x , если | x | > R .
Перейдем от уравнения (1) к автономной системе ,& = 1, :x = f ( s , x ) на цилиндрическом фазовом пространстве R / Z х R . Эта система имеет ровно две гиперболические замкнутые траектории, задаваемые 1-периодическими решениями. Ввиду равенства (4) они лежат в кольце K = R / Z х ( - R , R ), а в точках границы K траектории выходят из K . Но это невозможно. Поэтому сделанное предположение не верно, и одно из двух 1-периодических решений простое, а второе двукратное.
Такая ситуация может быть уже для уравнений с постоянными коэффициентами. Уравнение x = x 2 m + 1 - x имеет два 1-периодических решения, x = 0 кратности 2 и x = 1 кратности 1.
Если уравнение (1) имеет одно 1-периодическое решение ф (x 1 , t ) кратности и V ta n ( t ) > 0, то из (6) следует, что s нечетно. Например, для уравнения x = x 2 m + 1 единственное 1-периодическое решение имеет кратность s = 2 m + 1.
Таким образом, для случая n = 2 m + 1 и a n ( t ) > 0 теорема доказана. Если V t a n ( t ) < 0 , то доказательство аналогично; в этом случае функция h ( x ) строго вогнутая.
Рассмотрим случай, когда n = 2 m четно, a 0( t ) ^ 0 и a n ( t ) > 0 . Тогда f xxx ( t , x ) = 2 m (2 m - 1)(2 m - 2) a n ( t ) x 2 m 3 и потому V x xf^ ( t , x ) > 0 и V x * 0 xf^ ( t 0 , x ) > 0.
Таким образом, при x < 0 ( x > 0) f x (t , x ) вогнутая (выпуклая) функция от x , а при некотором t = t 0 и строго вогнутая (выпуклая) функция. Соответственно, при x < 0 ( x > 0) h ( x ) строго вогнутая (выпуклая) функция. Так как x = 0 является 1-периодическим решением, то решения ф ( x 0, t ) с x 0 < 0 ( x 0 > 0) не выходят из полуплоскости x < 0 ( x > 0). Поэтому в каждой полуплоскости x < 0 и x > 0 может быть не более трех 1-периодических решений. Так как x = 0 — решение, лежащее в каждой из этих полуплоскостей, то всего уравнение имеет не более пяти 1-периодических решений.
Предположим, что уравнение имеет ровно пять 1-периодических решений. Тогда, как показано выше, все они простые. Поскольку в рассматриваемом случае при достаточно большом R > 0
dj -ф (x , t ) > 0, если | x | > R ,
то в кольце K находится ровно 5 гиперболических замкнутых траекторий; на граничной окружности R / Z х { - R } ( R / Z х { R }) траектории входят в K (выходят из K ). Но это невозможно. Поэтому сделанное предположение неверно и 1-периодических решений не более четырех. Уравнение x = x 2 m - x 2 - a x при достаточно малом a > 0 имеет ровно 4 постоянных решения. Поэтому максимальное число 1-периодических решений уравнения (1) равно 4 .
Пусть в полуплоскости x > 0 ( x < 0) три 1-периодических решения, а в полуплоскости x < 0 ( x > 0) — одно. Тогда решения, лежащие в полуплоскости x > 0 ( x < 0), простые, а решение, лежащее в полуплоскости x < 0( x > 0), либо а) простое, либо б) двукратное. Так как б) противоречит (7), то получаем, что в случае, когда уравнение (1) имеет четыре 1-периодических решения, все они простые.
Пусть уравнение (1) имеет кроме решения x = 0 еще два 1-периодических решения, по одному в полуплоскостях x < 0 и x > 0 . Тогда либо (i) x = 0 имеет кратность 2, а остальные решения — кратность 1, либо (ii) x = 0 имеет кратность 1, а остальные решения — кратность 2. Случай (ii) противоречит (7), а случай (i) имеет место, например, для уравнения x = x 2 m - x 2 .
Пусть уравнение (1) имеет кроме решения x = 0 еще одно 1-периодическое решение, лежащее в полуплоскости x < 0 ( x > 0). Тогда либо ( a ) они оба простые, либо ( в ) одно из них простое, а второе двукратно. Случай ( в ) противоречит (5), а случай ( a ) имеет место, например, для уравнения x = x 2 m + x ( x = x 2 m - x ).
В случае, когда x = 0 — единственное 1-периодическое решение, из (7) следует, что оно должно иметь четную кратность. Примером является уравнение x = x 2 m .
Случай a n ( t ) < 0 сводится к случаю a n ( t ) > 0 заменой x a - x .
Теорема доказана.
Заключение
Начиная со статьи В. А. Плисса [1] регулярно появляются работы, посвященные оценкам числа периодических решений дифференциальных уравнений, правые части которых являются полиномами с коэффициентами, периодически зависящими от аргумента. Основным методом исследования в этих работах является анализ функции последования, продолженной в комплексную область. В нашей работе используется метод [5], использующий выпуклость правой части уравнения. Эта техника позволила рассматривать уравнения с непрерывными коэффициентами и полностью описать возможное число периодических решений в случаях четной и нечетной степени полинома в предположении, что часть коэффициентов равна нулю, а коэффициент при старшей степени не меняет знак.
Список литературы О числе периодических решений некоторых полиномиальных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами
- Плисс В. А. О числе периодических решений уравнения с полиномиальной правой частью // ДАН СССР. 1959. Т. 127, № 5. С. 965-968.
- Neto A. L. On the number of solutions of the equation for which x(0)=x(1) // Invent. Math. 1980. V. 59, no. 2. P. 67-76.
- Ylyashenko Ju. Hilbert-type number for Abel equations, growth and zeros of holomorfic functions // Nonlinearity. 2000. V. 13. P. 1337-1342.
- Casull A., Guillamon A. Limit cycles for generalized Abel equations // J. Bifurcation Chaos. 2006. V. 16. P. 3737-3745.
- Периодические решения дифференциальных уравнений / Г. Г. Иванов [и др.] // Вестник Пермского университета. Математика. Механика. Информатика. 2019. Вып. 3 (46). С. 5-15.