О числе периодических решений некоторых полиномиальных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами

Оценке числа периодических решений полиномиального дифференциального уравнения (обобщенного уравнения Абеля)

x = a n ( t ) x n + ... + a 2 ( t ) x ² + a 1 ( t ) x + a 0 ( t )

с непрерывными периодическими коэффициентами a k ( t ), k = 0,1,..., n посвящено большое число работ, например [1–4]. В. А. Плисс [1] показал, что при n >  4 и a n ( t ) = 1 уравнение может иметь больше, чем n изолированных периодических решений. А. Л. Нето [2] доказал, что при n = 3 уравнение может иметь сколь угодно большое число изолированных периодических решений. В его примере коэффициент a ₃ ( t ) меняет знак.

В статье [4] рассматривались уравнения вида x = an(t)xn + a2(t)x2 + a1(t)x + a0(t),                     (1)

где n >  2. В предположении, что коэффициенты a_k ( t ), k = 0,1,2, n — непрерывно дифференцируемые 1-периодические функции, а коэффици-28

ент a n ( t ) не меняет знак, доказано, что такое уравнение при нечетном n может иметь не более трех изолированных 1-периодических решений, а при четном n может иметь любое число изолированных 1-периодических решений.

Мы покажем, что при нечетном n требование на коэффициенты уравнения (1) можно ослабить до их непрерывности. Кроме того, мы оценим число и кратность 1-периодических решений в случае четного n и непрерывных коэффициентов при дополнительном условии a ₀ ( t ) ^ 0.

Постановка задачи и результаты

Пусть ф ( § , t ) — решение уравнения (1), удовлетворяющее начальному условию ф ( ^ ,0) = ^ . Решение ф ( x ₀, t ) является 1-периодическим тогда и только тогда, когда x ₀ — нуль функции расхождения

d ( ^ ): = ф ( ^ ,1) - ^ .

Для уравнения (1) функция расхождения является аналитической. Кратность ее нуля x ₀ называется кратностью периодического решения ф ( x 0 , t ). Периодические решения кратности 1 будем называть простыми.

Теорема. Пусть коэффициенты a_k ( t ) , k = 0,1, 2, n, уравнения (1) — непрерывные 1-периодические функции на R , V t a_n ( t ) <  0 или V t a_n ( t ) >  0 , a_n ( 1 ₀) ^ 0 для некоторого 1 ₀ . Тогда справедливы следующие утверждения:

А) При нечетном n уравнение (1) может иметь не более трех 1-периодических решений. Существуют уравнения, имеющие одно, два и три 1-периодические решения. Если уравнение имеет ровно три 1-периодических решения, то они простые. Если уравнение имеет ровно два 1-периодических решения, то сумма их кратностей не больше трех.

Пусть V t a_n ( t ) ^ 0 . Тогда уравнение имеет хотя бы одно 1-периодическое решение; если уравнение имеет ровно два 1-периодических решения, то одно из них простое, а второе двукратное; если уравнение имеет ровно одно 1-периодическое решение, то оно нечетной кратности.

Б) При четном n и a ₀( t ) ^ 0 уравнение (1) может иметь не более четырех 1-периодических решений. Для любого k е {1,2,3,4} существует уравнение, имеющее ровно k 1-периодических решений. Если уравнение имеет ровно четыре 1-периодических решения, то они простые.

Пусть V t a_n ( t ) ^ 0 . Тогда если уравнение имеет ровно три 1-периодических решения, то решение x = 0 двукратное, а остальные решения простые; если уравнение имеет ровно два 1-периодических решения, то они простые; если уравнение имеет ровно одно 1-периодическое решение, то оно нечетной кратности.

Доказательство. Используем утверждение и метод доказательства следующей теоремы из работы [5].

Пусть 1) функция f ( t , x ) и ее производная f x ( t , x ) непрерывны на RxR , 2) f ( t , x ) 1-периодическая по t , 3) V t f x (t , x ) выпуклая функция от x , а при некотором t = t ₀ и строго выпуклая функция. Тогда дифференциальное уравнение x = f ( t , x ) имеет не более трех изолированных 1-периодических решений.

Ее доказательство основано на следующих соображениях. Из 1)-3) вытекает, что функция

h ^{( x} ) • = J o f ⁽ t ^, Ф ⁽ x ^, t )) ^dt = ^{ln Ф х (} x ^, 1)

строго выпукла. Из существования более трех 1-периодических решений следует по теореме Ролля, что h ( x ) имеет, по крайней мере, три нуля, что противоречит строгой выпуклости.

Пусть в уравнении (1) n = 2 m + 1 и V ta n ( t ) > 0 . Для правой части f ( t , x ) = a n ( t ) x n + a ₂ ( t ) x ² + a 1 ( t ) x + a ₀ ( t ) уравнения получаем, что

V t fL ( t , x ) = 2 m (4 m ² - 1) a „ ( t ) x ² m ^{- 2} >  0,

V x * 0 f :_x ( 1 0 , x ) = 2 m (4 m ² - 1) a _n ( 1 0 ) x ^{2 m - 2} >  0.

Тем самым условия 1)-3) выполнены, и потому уравнение имеет не более трех 1-периодических решений. Выясним, сколько их может быть и какой кратности.

Пусть уравнение имеет три 1-периодических решения: ф (xk , t ), к = 1,2,3, где x 1 <  x ₂ <  x ₃, и хотя бы одно из них, для определенности, ф (xs , t ) кратное. Функция расхождения d определена на отрезке [ x 1 , x ₃]. Так как V к = 1,2,3 d ( x_k ) = 0, то по теореме Ролля получаем d ' ( 5 1 ) = d ' ( 5 ₂) = 0, где x 1 <  5 1 <  x ₂ <  5 2 < x ₃. Кроме того, d '( xs ) = 0. Но тогда ф _х ( ^ 1 ,1) = ф _х ( 5 2 ,1) = Ф x ( xs ,1) = 1, а h ( 5 1 ) = h ( 5 2 ) = h ( xs ) = 0, что противоречит строгой выпуклости функции h . Таким образом, если имеются три 1-периодических решения, то они простые.

Пусть уравнение имеет два 1-периодических решения: ф ( x 1 , t ) и ф ( x ₂, t ), с кратностями, соответственно, s 1 и s ₂.

Если s 1 >  1 и s ₂ >  1, то V к = 1,2 d ( xk ) = d '( xk ) = 0 . По теореме Ролля d '( 5 ) = 0, где число 5 находится между числами x 1 и x ₂, но не совпадает ни с одним из них. Тогда h ( x 1 ) = h ( x ₂) = h ( 5 ) = 0, в противоречие со строгой выпуклостью функции h . Таким образом, одно из чисел s ₁ или s ₂ равно единице; для определенности пусть s ₂ = 1.

Предположим, что s 1 = s >  3. Тогда ф ( x ,1) = x + a ( x - x 1 ) ^s + r ( x ), где a * 0, а r ( x ) — аналитическая функция, r ( x ) = o (( x - x 1 ) ^s ),

Ф^ (x,1) = 1 + as(x - x1)s 1 + r'(x), ф^ (x,1) = as(s -1)(x - x1)s 2 + r"(x), r'(x) = o ((x - x1)s-1), r"(x) = o ((x - x1)s-2), h‘(x) = ф” (x,1) = as(s -1)(x - x1)s-2 + R(x),               (2)

^ x ^{( x} ,1)

где R ( x ) — аналитическая функция, R ( x ) = o (( x - x 1 ) ^{s - 2}), h "( x ) = as ( s - 1)( s - 2)( x - x 1 ) ^{s - 3} + o (( x - x 1 ) ^{s - 3}).               (3)

Если s 1 = s >  4 и четно, то из (3) следует, что h "( x ) меняет знак в окрестности точки x 1 , что противоречит выпуклости h . Таким образом, если s 1 четно, то s 1 = 2.

Если s1 = s > 3 и нечетно, то из (2) следует, что существует такое число 8 > 0, что sgn h'(x) = sgn a(x - xj, если | x - xt | < 8 .               (4)

Так как для всех x из достаточно малой проколотой окрестности точки x1 sgn d‘(x) = sgn(^x (x,1) -1) = sgn a, то sgn d‘(x2) = sgn(^x (x2,1) -1) = - sgn a, и потому sgnh(x2) = -sgna .                               (5)

Из (4) и (5) следует, что h имеет локальный максимум в некоторой точке xM между x1 и x2. Так как h(x)— аналитическая функция, то h (x) = c (x - xM )2 1 + o ((x -xM )21), где c < 0, l > 1. Но тогда при достаточно малом 5 > 0 для всех x е (xM, xM + 5)

h "( x ) = 2 1 (2 1 - 1) c ( x - x_M )² l ^{- 2} + o (( x - x_M )² l ^{- 2}) <  0, в противоречие с выпуклостью функции h .

Таким образом, если уравнение имеет два 1-периодических решения, то сумма их кратностей <  3. Если дополнительно предположить, что V ta n ( t ) > 0 , то одно из этих решений простое, а второе двукратное. Предположим на время, что оба периодических решения простые. В рассматриваемой ситуации при достаточно большом R >  0

sgn™" ^ ( x , t ) = sgn x , если | x | >  R .

Перейдем от уравнения (1) к автономной системе ,& = 1, :x = f ( s , x ) на цилиндрическом фазовом пространстве R / Z х R . Эта система имеет ровно две гиперболические замкнутые траектории, задаваемые 1-периодическими решениями. Ввиду равенства (4) они лежат в кольце K = R / Z х ( - R , R ), а в точках границы K траектории выходят из K . Но это невозможно. Поэтому сделанное предположение не верно, и одно из двух 1-периодических решений простое, а второе двукратное.

Такая ситуация может быть уже для уравнений с постоянными коэффициентами. Уравнение x = x ² m ^{+ 1} - x имеет два 1-периодических решения, x = 0 кратности 2 и x = 1 кратности 1.

Если уравнение (1) имеет одно 1-периодическое решение ф (x 1 , t ) кратности и V ta n ( t ) > 0, то из (6) следует, что s нечетно. Например, для уравнения x = x ² m ^{+ 1} единственное 1-периодическое решение имеет кратность s = 2 m + 1.

Таким образом, для случая n = 2 m + 1 и a n ( t ) >  0 теорема доказана. Если V t a n ( t ) <  0 , то доказательство аналогично; в этом случае функция h ( x ) строго вогнутая.

Рассмотрим случай, когда n = 2 m четно, a ₀( t ) ^ 0 и a n ( t ) >  0 . Тогда f xxx ⁽ t , ^x ) = ^{2 m (2 m - 1)(2 m - 2)} a n ⁽ t ) ^{x 2 m} 3 ^и потому V x xf^ ⁽ t , x ) >  ⁰ и V x * 0 xf^ ( t 0 , x ) >  0.

Таким образом, при x <  0 ( x >  0) f x (t , x ) вогнутая (выпуклая) функция от x , а при некотором t = t ₀ и строго вогнутая (выпуклая) функция. Соответственно, при x <  0 ( x >  0) h ( x ) строго вогнутая (выпуклая) функция. Так как x = 0 является 1-периодическим решением, то решения ф ( x ₀, t ) с x 0 <  0 ( x 0 >  0) не выходят из полуплоскости x <  0 ( x >  0). Поэтому в каждой полуплоскости x <  0 и x >  0 может быть не более трех 1-периодических решений. Так как x = 0 — решение, лежащее в каждой из этих полуплоскостей, то всего уравнение имеет не более пяти 1-периодических решений.

Предположим, что уравнение имеет ровно пять 1-периодических решений. Тогда, как показано выше, все они простые. Поскольку в рассматриваемом случае при достаточно большом R >  0

dj -ф (x , t ) >  0, если | x | >  R ,

то в кольце K находится ровно 5 гиперболических замкнутых траекторий; на граничной окружности R / Z х { - R } ( R / Z х { R }) траектории входят в K (выходят из K ). Но это невозможно. Поэтому сделанное предположение неверно и 1-периодических решений не более четырех. Уравнение x = x ^{2 m} - x ² - a x при достаточно малом a >  0 имеет ровно 4 постоянных решения. Поэтому максимальное число 1-периодических решений уравнения (1) равно 4 .

Пусть в полуплоскости x >  0 ( x <  0) три 1-периодических решения, а в полуплоскости x <  0 ( x >  0) — одно. Тогда решения, лежащие в полуплоскости x >  0 ( x <  0), простые, а решение, лежащее в полуплоскости x <  0( x >  0), либо а) простое, либо б) двукратное. Так как б) противоречит (7), то получаем, что в случае, когда уравнение (1) имеет четыре 1-периодических решения, все они простые.

Пусть уравнение (1) имеет кроме решения x = 0 еще два 1-периодических решения, по одному в полуплоскостях x <  0 и x >  0 . Тогда либо (i) x = 0 имеет кратность 2, а остальные решения — кратность 1, либо (ii) x = 0 имеет кратность 1, а остальные решения — кратность 2. Случай (ii) противоречит (7), а случай (i) имеет место, например, для уравнения x = x ² m - x ² .

Пусть уравнение (1) имеет кроме решения x = 0 еще одно 1-периодическое решение, лежащее в полуплоскости x <  0 ( x >  0). Тогда либо ( a ) они оба простые, либо ( в ) одно из них простое, а второе двукратно. Случай ( в ) противоречит (5), а случай ( a ) имеет место, например, для уравнения x = x ² m + x ( x = x ² m - x ).

В случае, когда x = 0 — единственное 1-периодическое решение, из (7) следует, что оно должно иметь четную кратность. Примером является уравнение x = x ² m .

Случай a n ( t ) <  0 сводится к случаю a n ( t ) >  0 заменой x a - x .

Теорема доказана.

Заключение

Начиная со статьи В. А. Плисса [1] регулярно появляются работы, посвященные оценкам числа периодических решений дифференциальных уравнений, правые части которых являются полиномами с коэффициентами, периодически зависящими от аргумента. Основным методом исследования в этих работах является анализ функции последования, продолженной в комплексную область. В нашей работе используется метод [5], использующий выпуклость правой части уравнения. Эта техника позволила рассматривать уравнения с непрерывными коэффициентами и полностью описать возможное число периодических решений в случаях четной и нечетной степени полинома в предположении, что часть коэффициентов равна нулю, а коэффициент при старшей степени не меняет знак.