О формировании критического мышления у студентов средствами математических дисциплин

целенаправленность, контроли руемость, обоснованность, нали чие оценочного компонента и др. На наш взгляд, более конструк тивным является определение, предложенное О.И. Андреевой, А.И. Николаевой, Т.С. Лесняковой: «Критическое мышление означа ет мышление оценочное, рефлек сивное. Это открытое мышление, не принимающее догм, развива ющееся путем наложения новой информации на личный жизнен ный опыт» [1, с. 6]. Таким образом, критическое мышление представ ляет собой тип мышления, позво ляющий получать новые знания на основе субъектного опыта обуча ющегося, предполагающий оцен ку как изучаемого материала, так и собственного мыслительного процесса.

Технология развития критиче ского мышления была разработа

О ФОРМИРОВАНИИ КРИТИЧЕСКОГО МЫШЛЕНИЯ У СТУДЕНТОВ СРЕДСТВАМИ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ДИСЦИПЛИН на в конце ХХ века американски ми учеными К. Мередит, Д. Стил, Ч. Темпл, С. Уолтер (см., напри мер, [4; 5]). В России она стала применяться с 1997 года. Наибо лее значимые результаты в данном направлении получены А.В. Бу тенко, И.О. Загашевым, С.И. Заир Бек, М.В. Клариным, И.В. Мушта винской, Д. Халперн и др. Под тех нологией развития критического мышления понимают «систему учебных стратегий, методов и при емов, направленных на развитие критического мышления у уча щихся» [1, с. 9]. Общим для всех учебных стратегий является по строение образовательного про цесса на основе трех фаз (см., на пример, [1, с. 9]):

• •    первая фаза: фаза вызова;

• •    вторая фаза: фаза реализации смысла (осмысление);

• •    третья фаза: фаза рефлексии.

В Брянском государственном университете имени академика И.Г. Петровского (далее – БГУ) тех нология развития критического мышления у студентов бакалаври ата по направлению 44.03.01 «Педа гогическое образование» (профиль «Математика») эффективно реали зуется средствами учебных дисци плин алгебраического цикла «Ос новы общей алгебры» (1 семестр), «Теория многочленов» (2 семестр), «Линейная алгебра» (3 семестр), от носящихся к предметно содержа тельному модулю основной про фессиональной образовательной программы подготовки бакалав ров указанного направления. На кафедре математического анали за, алгебры и геометрии БГУ раз работаны специальные материа лы, с использованием которых осу ществляется реализация данной технологии (см., например, [2; 3]). В учебном пособии Ю.А. Еловико вой, М.М. Сорокиной «Основы об щей алгебры» представлен опыт авторов по применению техноло гии развития критического мыш ления при работе с математиче ским доказательствами [2; 8].

Для формирования у студентов стройного понятийного аппарата, составляющего основу математи ческих компетенций, необходимо не только изложить учебный ма териал, но и провести его анализ в различных учебниках и учебных пособиях. Для обеспечения эффек тивности такого анализа целесоо бразно использовать прием сопро вождения изучаемого материала выработкой так называемых ком петентностных замечаний.

Мы предлагаем следующий под ход к введению определений ма тематических объектов (на при мере определения алгебраической операции на множестве), основан ный на использовании технологии развития критического мышле ния. Данный подход включает не сколько этапов, охватывающих три фазы построения учебного процес са с помощью технологии развития критического мышления.

• 1.    Фаза вызова. Состоит из одно го этапа.

  • 1.1.    Актуализация имеющихся знаний пробуждение заинтересованности в получении новой информации. Проводится аудиторно на лекционном или семинарском за нятии. Заключается в обсуждении всех понятий, которые потребуют ся для выделения существенных

признаков бинарной алгебраиче ской операции на множестве.

Напоминаем определения:

• •    прямого произведения мно жеств;

• •    бинарного отношения между множествами;

• •    функционального отношения;

• •    функции.

Вспоминаем из школьного курса математики:

• •    интуитивное понятие опера ции на множестве;

• •    примеры унарных операций на множестве;

• •    примеры бинарных операций на множестве.

• 2.    Фаза реализации смысла (осмысление содержания). Состоит из трех этапов.

  • 2.1.    Формулировка определения. Проводится на лекционном заня тии и заключается в записи фор мулировки двух определений би нарной алгебраической операции на множестве:

• 2.2.    Анализ литературы. Выпол няется студентами самостоятель но (аудиторно или внеаудиторно). Обучающиеся рассматривают опре деление алгебраической операции в различных учебниках и учебных пособиях, а также определения (1) и (2), предложенные в аудитории, проводят сравнительную характери

• 2.3.    Формирование итоговых замечаний. Выполняется аудиторно на семинарском занятии. Заклю чается в обсуждении материала таблиц, полученных на предыду щем этапе,и совместной записи замечаний, уточняющих содержа ние понятия алгебраической опе рации (см. Таблицу 3).

• 3.    Фаза рефлексии. Состоит из од ного этапа.

  • 3.1.    Осмысление . Этап заключает ся в анализе проведенной деятель ности с целью выделения факторов, обогащающих субъектный опыт

Определение (1) – на основе субъектного опыта обучающихся с использованием знаний школь ной математики;

Определение (2) – на основе ана лиза взаимосвязи понятий «функ ция» и «бинарная алгебраическая операция на множестве», опреде ленного в (1) (см. Таблицу 1).

Таблица 1

Определение (1) Определение (2) Бинарной алгебраической операцией на множестве M на зывается правило или закон, по которому любым двум элементам из M, необязательно различным, взятым в ука занном порядке, ставится в соответствие единственный элемент из M Бинарной алгебраической операцией на множестве M назы вается отображение M × M в M стику определений, результаты за писывают в тетради (см. Таблицу 2).

обучающихся. Студенты в пись менной форме (аудиторно или вне аудиторно) отвечают на вопросы и выполняют задание.

Вопросы:

• •    Какое новое знание получено?

• •    Что послужило отправным пун ктом для получения нового зна ния?

• •    Каким образом получено новое знание?

• •    Какое место занимает новое зна ние в исходной системе знаний (обучающегося)?

• •    Какие направления дальнейше го изучения предполагает новое знание?

• •    Какой опыт деятельности при обретен?

• •    Какие приемы в процессе полу чения нового знания оказались эф фективными?

Задание: Представьте, что Ваш товарищ отсутствовал на заня тии. Продумайте и составьте та кой план объяснения новой темы, чтобы и Ваш товарищ был успеш ным.

Выводы. Рассмотренный метод введения математических опре делений позволяет:

• •    на основе субъектного опыта студентов выявлять взаимосвязь между математическими поня

Таблица 2

Анализ формулировок определений

Название учебника (учебного пособия)	Определение алгебраической операции в учебнике (учебном пособии)	Сходство с определением, записанным в лекционной тетради	Отличие от определения, записанного в лекционной тетради

Таблица 3

Обсуждаем и записываем

Замечание 1. «Правило» и «закон» изначально не являются строго математически определенными поня тиями. Только благодаря последующим уточнениям в определении (1) оно приобретает характер строго го математического определения.

Замечание 2. Согласно определению (2), бинарная алгебраическая операция φ на множестве M являет ся отображением множества M × M в M . Следовательно, его областью определения является все множе ство M × M . Это множество состоит из всех возможных упорядоченных пар вида ( a , b ), где a , b – элемен ты из M. В определении (1) этот факт выражается словами «… любым двум элементам a , b из M , необяза тельно различным, взятым в указанном порядке, ставится в соответствие…».

Замечание 3. Поскольку, согласно определению (2), φ является отображением, то M × M и M представляет собой функциональное отношение между множествами . Согласно определению функционального отно шения, с различными элементами множества M × M сопоставлены различные элементы из M . Это требова ние выражено в определении (1) фразой «… ставится в соответствие единственный элемент φ ( a , b ) из M ». Замечание 4. Определения (1) и (2) равносильны, то есть выражают одни и те же требования с помощью различных формулировок.

Замечание 5. Определение (1) удобно для восприятия и применения благодаря подробному описанию свойств отображения. При этом определение содержит термины «правило», «закон», не имеющие стро гого математического толкования.

Замечание 6. Преимуществом определения (2) является его лаконичность, использование только стро го определенных математических терминов и символьного языка. Однако для лучшего его понимания в процессе изучения темы бинарных алгебраических операций и для удобства применения при решении задач требуется детализация входящих в него понятий.

Замечание 7. В учебниках по математике для средней школы термин «операция на множестве», в основном, заменяется термином «действие над числами» и используется как известный, без каких либо уточнений.

О ФОРМИРОВАНИИ КРИТИЧЕСКОГО МЫШЛЕНИЯ У СТУДЕНТОВ СРЕДСТВАМИ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ДИСЦИПЛИН тиями,видеть единство в подхо дах к введению определений ма тематических объектов (этапы 1.1 и 2.1);

• •    развивать навыки работы с мате матическими текстами (этап 2.2);

• •    развивать навыки логико мате матического анализа (этапы 2.2 и 2.3);

• •    осознавать в себе черты лично сти, которая умеет «познавать, де лать, жить, жить вместе» (этап 3.1).

Организация учебного процесса с си стематическим использованием опи санного в статье метода введения опре делений изучаемых понятий способ ствует формированию компетенции критического мышления у студентов.