О колебаниях нескольких твердых тел, закрепленных на упругом стержне, с учетом начальных условий

Ставится начально-краевая задача о механических движениях нескольких твердых тел, упруго закрепленных продольно на упругом стержне. Решение описывающих эти колебания системы дифференциальных уравнений, включающей в себя как обычные дифференциальные уравнения, так и уравнения в частных производных, понимается в обобщенном смысле. Использование обобщенного решения объясняется наличием в уравнениях этой системы дельта- функции, сосредоточенной в местах крепления тел к балке. Производится известная подстановка, сводящая гибридную систему дифференциальных уравнений к системе амплитудных уравнений для твердых тел и стержня. Путем преобразований этих уравнений получается условие типа ортогональности. Приводится разложение решений в ряды Фурье по постоянным амплитудам твердых тел и собственным формам стержня с переменным коэффициентом, зависящим от времени. Описана методика определения этих переменных коэффициентов, которые зависят от собственных частот механической системы и форм колебаний стержня, амплитуд твердых тел и начальных смещений твердых тел и стержня. Введено гильбертово пространство с заданной системой ортогональных единичных векторов, которое позволило выразить неизвестные амплитуды твердых тел через начальные смещения твердых тел и стержня. Результатом работы явилось решение поставленной задачи в виде разложений в ряды Фурье в замкнутой форме, что позволяет произвести численные расчеты, если решена задача на собственные частоты и формы колебаний рассматриваемой механической системы.