О колебаниях нескольких твердых тел, закрепленных на упругом стержне, с учетом начальных условий

Для полученной в [1] по принципу Гамильтона исследуемой системы строится обобщенное решение в рядах Фурье по некоторым постоянным амплитудам и собственным формам колебаний этой системы с зависящими от времени коэффициентами. Вводится гильбертово пространство с заданной ортогональной системой единичных векторов, позволяющей разложить начальные смещения твердых тел и стержня в ряды Фурье. Это позволяет выразить указанные постоянные амплитуды через заданные значения начальных смещений твердых тел и стержня.

Выводится условие ортогональности для форм колебаний путем анализа амплитудных уравнений, вытекающих из этой гибридной системы дифференциальных уравнений, а затем, используя начальные и краевые условия, находится решение поставленной задачи. Предполагается, что собственные частоты и формы колебаний представленной механической системы известны. Отметим существенную особенность данной смешанной задачи, когда несколько твердых тел закреплены продольно на стержне с помощью упругих связей. Так как эти твердые тела взаимодействуют упруго со стержнем и между собой, имеем качественное изменение колебательного процесса в отличие от исследованных ранее случаев.

Можно также ставить задачу о гашении колебаний части твердых тел, оказывая влияние на перераспределение энергии между ними путем изменения начального условия.

1 Постановка задачи

Опишем систему из однородного упругого стержня длиной l , удельной плотности р с модулем упругости E и моментом инерции J для его поперечного сечения относительно нейтральной оси, перпендикулярной плоскости колебаний, с закрепленными упруго на нем в точках с абсциссами a k твердыми телами массами m k посредством упругих пружин с жесткостями c k , к = 1,2,..., n . Стержень жестко закреплен в его концах. Тела с массами m k могут перемещаться вертикально в направлении осей z k . Колебания масс характеризуются функциями z k ( t ), изгибные перемещения точек стержня задаются функцией u ( x , t ).

Для исследования движения приведенной системы тел получаем следующий набор дифференциальных уравнений [1]:

d ² z,

-k- + Pk(zk -u(a,t)) = 0, du   d4411

+ b^ = L e k ⁽ z k ^{- u ( x} , t^{)) 5 ( x - a}k ^), d t d x     k = 1

k = 1,2,..., n, ck pF ’

_ 2 ck , EJ где Pk =—, b=—, e mk    PF zk = zk (t)— смещение твердых тел; u = u(x, t)— поперечные сдвиги стержневых точек; x — абсциссы точек стержня; t — временная координата; mk — масса k -го тела; ck — пружинные жесткости; p — удельная стержневая плотность; F — поперечное стержневое сечение (площадь); E — модуль упругости; J — момент стержневой инерции относительно нейтральной оси, ak — точка закрепления k -го твердого тела;

A ( x - a_k ) — Дираковская дельта-функция.

На концах стержня длины l краевые условия обращаются в нуль для допустимых четырех комбинаций из множества:

u ^(0, t ), u ⁽ l , t ), u x ^(0, t ), u x ⁽ l , t ), u xx ^(0, t X u xx ⁽ l , t X u xxx ^(0, t X u xx ⁽ l , t ) .

Приведенная система (1) дает изгибные колебания упругого стержня с закрепленными на нем продольно твердыми телами с помощью пружинных связей.

Ищем решение системы (1) в виде рядов:

^zk = Ё V -⁽ t ) A ki , к = ^1, ... ^, п ,

i = 1

u (x, t) = Ё Vi( t )Vi(x)> i=1

c заданными начальными условиями zk (0) = zk0, k = 1,2,..., n, zk (0) = zk 0, k = 1,2,..., n , u (x, 0) = v( x), ut (x ,0) = t/Д x), где в формулах (2-5) Vi(t) — числовая функция от переменной t, Aki — амплитудное значение колебания k -го тела по i -й частоте,

V i ( x ) — это i -я собственная форма стержня.

2 Определение коэффициентов Aki

Пусть в гильбертовом пространстве H j с нормой

IIf\l = < 4(A1)2 + - + eT(An)2 + (V,V), \ Px             Рп где (V, V) = J V2(x)dx , и скалярным произведением

D

(A1 )

( f , g ) = -V A¹ B ¹ +... + -^ A n B n + (V , G ), f = PxP

I V ( x) )

Bn

. G ( X ) ;

A,B g R,V(x),G(x) g C”[0,l], система векторов {e.},i = 1,2,..., где f,                Ai)

\ e . ( A j )² + ... + e W A n )² + ( V , V )

Y Px

A i ⁿ

\ e AA j )² + ... + e H A n )² + ( V , V )

V Px

V . ( x )

f Z 1 (0) '

...

Z n (0)

^ u ( x ,0) _?

ю

=E aj(0) e и j=1

'z 1 1 (0) '

...

z_nt (0)

, u t ^{( x ,0)} j

TO

= E a И0) e .

j = i

A j )² + ... + e r ( A n )² + ( V, V )

U Pi         Pn образует ортонормированный базис.

fZ1(0) ' f Z1t (0) ' Разложим векторы ... Zn (0) 4 u (x ,0) j и ... znt (0) 4 ut(x,0) j в ряды Фурье по указанному ортонормированному базису

Коэффициенты Фурье а . (0) и а ’ (0) имеют вид:

4 Z 1 (0) A ' +... + 4 Z n (0) A + ( u ( x ,0), V ( x ))

a ₁ (0) = p                     p                                    ,

4( a )² + ... + 4 ( A nn )² + V, V )

V Pi              pn

4 Z 1 1 (0) A ] + ... + 4 Z nt (0) A + ( U t ( x ,0), V ( x ))

a ‘ (0) = ^ p-----           p                       ------ .                      (7)

\4( A ' )² + ... + 4 ( A n )² + ( V , V )

V P 1               p_n

Определим величины A],Aj,...,An по заданным начальным значениям zk(0),zkt(0),k = 1,2,...,n, следующим образом:

Из (1) и (2) получим

4 Z 1 (0) A ] + ... + 4 Z n (0) A n + ( u ( x ,0), V ( x ))

Zk (0) = ^P   _c--------—_e-------------------Aj ,

4( A ’ )² + ... + - n , ( A n )² + ( V , V ) P i              P_n

4 Z 1 t (0) A ] + ... + 4 z_M (0) A + ( u_t ( x ,0), V ( x ))

Z kt (0) = ^P-------------p --------------------A

4( a ;.)² + ... + 4 ( A n )² + ( V , V ) P i             p„

Поделив первое на второе, получим

4 Z i (0) A ] + ... + e z (0) A n + ( u ( x ,0), V ( x ))

^Zk ⁽⁰⁾ = Pl                Pn _____________

^{Z kt (0)}    4 Z 1 1 (0) A ] + ... + e^z* (0) A n + ( U t ( x ,0), V ( x ))

Pl                Pn

Отсюда, используя (6-8), получаем систему линейных уравнений относительно неизвестных A ] , A j ,..., A j , полагая k = 1,2,..., n .

3 Вывод условий ортогональности

Приведенная выше система тел описывается системой дифференциальных уравнений [1]:

d ^{2 z}k dt ²

+ Pk(zk - u (ak, t)) = 0, du, d4 u nr                       A

-ZT ⁺ b^ = L ^ek ^{( z}k - ^{u ( x} , t ^Ш'^{( x} - a k )’ d t      d x     k “]

k = 1,2,..., n .

Краевые условия на концах стержня:

u (0, t) = u (l, t) = 0, du     . du        „

— (0, t ) = —( l , t ) = 0. d x       d x

Представив zk (t), u(x, t) в виде zk (t) = Ak sin(mt + ak), u(x, t) = V(x)sin( mt + в)

и подставив в (1), после преобразований получаем:

• —m ² A k + p ²( A k — V ( a k )) = 0,

• ^{—m 2} V ⁽ x ) + b d V ⁽ 4 ^X ) = £ ^ek ⁽ A k ^— V ⁽ x)) 8 ⁽ x ^— a ).

dxk с краевыми условиями для задачи (9-10) на концах стержня:

V (0) = V (l) = 0, dVdV

—(0) = — ( l ) = 0.

dxdx

Запишем (11) для частот m i и ю j :

— m i ² A    p ²( A ki — V ( a k )) = 0,

2           d ⁴ V ( x ) ⁿ

• -^ V ⁽ X ) + b 4 = £ e k ⁽ A ki ^dx       k = 1

• —m2^+ p 2 ( A j — V ( a k )) = 0,

-

V ⁽ X )Ж X - a k ),

d ⁴ V_j ( x )     ⁿ

^—m V V j ^{( x} ) + b — = £ e k ⁽ A kj ^dx       k = 1

^— V j ^{( x} )Ж ^{x —} a k ).

Из (12-14) получаем выражения A_ki , A _kj вида

A ki = 2 p_k ²

p k ²

—

V i ( a k ), ^m i

A kj =      ’-      V j ( a k ).

Pk — mj

Перемножая их левые и правые части, получим

A ki A kj =

p_k ²        p_k ²

2       2    2       2

Pk — mi pk — m J

V i ( a k ) V j ( a k ).

Проинтегрируем вторые уравнения в (13) и (14) по длине стержня. Тогда эти уравнения приобретут вид:

₂r_w z w J dV ( x ) d ² V/x L

-ю1 I V(x) V(x)dx + bl---i-^--——dx = i 0 j          0 dx2 dx2                                 (18)

n

= E e k (A ki - V i ( a k ))V( a k ).

k = 1

₂L_r w   Jd^d2V j ( x) d ² V ( x ь

-ю \ V (x)V (x)dx + b ---—i-^-dx = jJ0 j'                 J dx2 dx2

n

= E e k ( A kj - V j (a k ))V. ( a k ).

k = 1

Подставим (15), (16) в правые части (18) и (19), получая:

-ю j V i ( x )V_} ( x ) dx + b J 0                            0

dV(x) d2Vj(x) , i              dx dx dx

n^     »²

= E ek        V (ak V (ak) - ekV (ak V (ak), t1  P- Ю

2 t„<           J d²V j (x ) d ² V ( x ),

-ю, V (x) V (x) dx + b ---—--^dx = jj'                J dx2 dx2

n        n²

= E e k         V( a k V ( a k ) - eV j (a k )) V ( a k ).

• k = 1 P_k ^{- ю} j

Умножим на (-1) уравнение (20) и сложим с уравнением (21):

• ¹                  n       -«2        „2

  -ю j ² )f V i ( x )V j ( x ) dx = E e k ( -Лт +        V, ( a k )V( a k ) =

0                k = 1    Pk ^- ю    Pk ^{- ю}J

n

= -E ek k =1

⁽ p k

(ю, - юJ) - ю2)(pk -

К V , ( a k )V j ( a k ).

J )

Перенося правую часть влево и вынося за скобки ( ю ² - ю J ), получим:

1                            n                      2

( ю ² - ю ² )([ V ( x )V j ( x ) dx + £ ek —₂--------^-V ( a k ) j a k )) = 0.

0                  k = 1 ( Pk ^{- ю} , )( Pk ^- ю )

Отсюда при i ^ j получим, что ln j v, (x )vj (x)dx+E ek

0                           k = 1

⁽ P k ' - ® ²⁾⁽ P k ^{- ю} j ²⁾

V i ( a_k )V j ( a_k ) = 0, или, используя

(9) и (17),

ln jVi(x)Vj(x)dx + E '- AkA = 0.

0                     k = 1 ^P k

Таким образом, с учетом (22) условие ортогональности имеет вид:

l0,oj, ln f V (x )V( x) dx+X ЛAk,Akj={

0                      k = 1 P k

l                  n e

J V ²( ^x ) ^dx + E ^A^ i = j .

I ,                  k = 1 P_k

4 Решение начально-краевой задачи

Обобщенное решение системы (1) будем получать разложением в ряды Фурье:

z k = E P i ⁽ t ) A ki , u ⁽ x, t ) = E ^ i ⁽ t V ⁽ x ) • i = 1                                          I = 1

Подставляя в (1), получим:

(P i ⁽ t ) Au ⁺ p l ⁽P, ⁽ t ) A ki, - P i ⁽ tV ⁽ a k )) = ⁰ ,

• ••                      d⁴

P i ⁽ t V ^{( x} ) ⁺ b p ⁽ t ) -vr V ^{( x} ) = dx ⁴

• = f> k ( P i ( t ) A_fc P tV ( x )M x - a k )• k = 1

Разделяя эти два уравнения в (25) на p i ( t ), получим

••

^ T t ) A ki + P k ²( A ki - V i ( a k )) = 0,

P i ⁽ t )

_P ( t )           d ⁴           n

V i ⁽ x ) + b-TTV i ⁽ x ) = E e k ⁽ An -Vi ⁽ x ж ⁽ x — ^a k )•

P i(t )          dx         ы

Обозначив

••

PA)

P i ⁽ t )

= -®l

получим, учитывая (24-27):

P A_b+ p 2 ( A_b- V ( a k )) = 0,

d4         N aV(x) + b-7TVi(x) = Eek(Aki -Vi(xЖ(x - ak)• dx           k=1

Таким образом, парциальное движение является синусоидальным с частотой Pi со смещением pi (t) = Ai sin pit + Bi cos ait,                        (29)

которое получается в результате решения дифференциального уравнения

••

Pi( t) + Op t) = 0, вытекающим из (19).

Запишем начальное условие для задачи (28) с учетом (29):

И(XI zk(0)=Х^(0) Ак- = zko, u(x,0) =£ p,(0)V(x)=fi( x), i=1

dz                 d uД

—0 (0) = £Pt, (0)AU = zko, T(0) =£% (0)V (x) = f 2(x) или dt     01              dt

X

X

X p , (0) V ( x ) = f(x ).

i = 1

X

Y p ⁽⁰⁾ Au = zt ko ,

= 1

X

^ ^ „(0) V ( x ) = f X x ).

i = 1

ek Akj

Умножим справа (30) на —и просуммируем по k : Рк

X      NN

Y p (0) Y e-k AA j = £ .

,= 1         k = 1 p_k        k = 1 p_k

Умножим (31) на V j ( x ) и проинтегрируем по длине стержня

£p,(0)fV,(x)Vj(x)dx = f f(x)Vj(x)dx .(33)

i=1           00

Сложив левые и правые части уравнений (32) и (33), получим

Al         eAA

£р (0)( / V(x V(x) dx+£ —2-^) = ‘=1          0                        k =1 pk l          NezA

= f f 1⁽ x V ⁽ x ) dx + £— т-j 0                      k = 1 pk

Вследствие ортогональных условий (23) слева останется только слагаемое при i = j .

В итоге получаем:

f ^{f (} x V ⁽ x ) ^dx + £

l

N

P , (0) =

k = 1

e k z ko A ki p²k

N

f V ²⁽ x ) dx + £

k = 1

e k A ki A ki p k

.

Аналогично для коэффициентов p ti (0) получим:

Фи ⁽⁰⁾ =

N-ez A. f ^f 2 ⁽ x^{) V}i ^{( Х} ) ^{dX +} E ^k 2 ^ki 0 k = 1 p k

l              N f V 2( x ) dx + E

0                   k = 1

e k A ki A ki

_ 2

Из начальных условий p i (0) = p io , p ti (0) = p _tio и (29), получим:

A=    , b,= p

® i

i 0 *

В результате p,( t) = ^ti^ sin ®it + pi0 cos ait. ®,

Подставляя (34) в (24), получаем решение системы (1).

nZ^Te

Примечание. V i ( x ) = 5 V ki ( x ) A ki , где V k ( x ) = —jk —2 V^ ( x - a k ), ^a k = 1                           ® - p k

V ki ( x ) — решения краевых задач:

2-, , d4V(x), .

-a V (x) + b    4 = 5 (x), dx

V (-ak ) = V (l - ak ) = 0, dVdV

(-ak ) = vr(l - ak ) = 0, dxdx k = 1,2,..., n.

Заключение

В данной работе удалось разрешить основную проблему, с которой пришлось столкнуться С. Г. Баргуеву в статье [2]: путем введения гильбертова пространства с заданной системой ортогональных единичных векторов выразить явно неизвестные коэффициенты A^k_j при разложении в ряд Фурье смещений твердых тел. Аналогичная методика применена в работе [3] в случае одного твердого тела.