О корнях характеристического уравнения Рэлея при рациональных значениях параметра
Автор: Гуревич Сергей Юрьевич, Кожевников Дмитрий Григорьевич, Голубев Евгений Валерьевич
Рубрика: Краткие сообщения
Статья в выпуске: 1 т.16, 2024 года.
Бесплатный доступ
Получен ряд корней характеристического уравнения для поверхностных волн в предположении, что квадрат отношения скоростей объемных волн представляет собой рациональное число. Точные формулы для найденных корней содержат минимум радикалов и рациональных чисел.
Поверхностные волны, скорость волны рэлея, корни характеристического уравнения, точные формулы
Короткий адрес: https://sciup.org/147242116
IDR: 147242116 | DOI: 10.14529/mmph240107
Текст краткого сообщения О корнях характеристического уравнения Рэлея при рациональных значениях параметра
Скорость волны Рэлея в задачах акустики однородных упругих сред может быть найдена с помощью выражения c r = ctJx, где x - единственный действительный корень, принадлежащий интервалу [0,1), уравнения [1, с. 136]:
x 3 - 8 x 2 + 8 x ( 3 - 2 и 2 ) - 16 ( 1 - и 2 ) = 0, (1)
где сделана замена x = <2 и введены обозначения: и2 = (ct/сг)2, cr, ct,c - скорости поверхност ных, поперечных и продольных волн соответственно.
Аналитическое выражение для вычисления корня уравнения (1) в общем случае, полученное в [2, см. (10) и (6))], дает довольно громоздкую конечную формулу. Однако в работе [3] представлены значения корней для некоторых значений и2 в виде простых дробей. В нашей работе мы продолжим поиск значений u2 , которым соответствуют корни, допускающие простую за- пись.
При решении акустической задачи для скоростей акустических волн берут экспериментальные значения, которые содержат конечное число знаков. Следовательно, параметр и2 является рациональным числом. Поставим простую обратную задачу нахождения рациональных значений параметра и2 , которым соответствуют корни, формулы для вычисления которых содержат ми- нимум радикалов и рациональных чисел.
Будем искать решения в виде x jjk = ( i - -J J )/ k , где i , j , k - целые числа, что продиктовано формой записи некоторых случайно найденных ранее корней (например, 3 - V5 для и 2 = 1/2).
Для этого выразим и 2 из (1):
2 x 3 - 8 x 2 + 24 x - 16
и =--------------- 16( x - 1)
и, подставляя x ijk , будем искать значения и 2, представимые в виде отношения целых чисел l и m . Корни в количестве 19 шт., найденные простым перебором i , j , k , l и m , значения которых не превышает 1000, помечены звездочкой (*) и представлены в таблице, где введено обозначение с т = (2 и 2 - 1)/2( и 2 - 1) для коэффициента Пуассона. Поскольку ст е [ - 1,1/2], то рассматриваются x ijk такие, что и 2 < 0,75. В таблице приведены только простейшие формулы для корней, остальные легко получить по значениям i , j , k .
Таблица корней характеристического уравнения (1)
|
σ |
u 2 |
i |
j |
k |
x jk = ( i - 47 ) Ik |
|||
|
114/235 [3] |
0,4851064 |
7/242* |
0,0289256 |
10 |
0 |
11 |
10/11 |
0,9090909 |
|
55/136 [3] |
0,4044118 |
13/81* |
0,1604938 |
8 |
0 |
9 |
8/9 |
0,8888889 |
|
20/69 [3] |
0,2898551 |
29/98* |
0,2959184 1) |
6 |
0 |
7 |
6/7 |
0,8571429 |
|
116/441 |
0,2630385 |
209/650 |
0,3215385 |
11 |
593/13 |
5 |
0,8492168 |
|
|
57/217 |
0,2626728 |
103/320 |
0,321875 |
9 |
157/5 |
4 |
0,8491074 |
|
|
205/781 |
0,2624840 |
371/1152 |
0,3220486 |
13 |
125/2 |
6 |
0,849051 |
|
|
22/85 |
0,2588235 |
41/126 |
0,3253968 |
7 |
139/7 |
3 |
0,8479549 |
|
|
93/368 |
0,2527173 |
91/275 |
0,3309091 |
12 |
664/11 |
5 |
0,8461192 |
|
|
1/4 [4] |
0,25 |
1/3* |
0,3333333 2) |
6 |
12 |
3 |
2(3 - ^)/3 |
0,8452995 |
|
5/21 |
0,2380952 |
11/32* |
0,34375 |
5 |
11 |
2 |
(5 - VH)/2 |
0,8416876 |
|
328/1455 |
0,2254296 |
799/2254 |
0,3544809 |
13 |
1171/23 |
7 |
0,8378089 |
|
|
203/923 |
0,2199350 |
517/1440 |
0,3590278 |
11 |
179/5 |
6 |
0,836115 |
|
|
62/287 |
0,2160278 |
163/450 |
0,3622222 |
13 |
701/9 |
5 |
0,8349064 |
|
|
114/539 |
0,2115028 |
311/850 |
0,3658824 |
9 |
397/17 |
5 |
0,8335024 |
|
|
77/365 [3] |
0,2109589 |
211/576* |
0,3663194 |
5 |
0 |
6 |
5/6 |
0,8333333 |
|
55/279 |
0,1971326 |
169/448 |
0,3772321 |
7 |
95/7 |
4 |
0,8290145 |
|
|
11/56 |
0,1964286 |
17/45* |
0,3777778 |
40 |
760 |
15 |
(40 - 2лД90)/15 |
0,8287935 |
|
279/1504 |
0,1855053 |
473/1225 |
0,3861224 |
12 |
968/25 |
7 |
0,8253515 |
|
|
20/119 |
0,1680672 |
79/198 |
0,3989899 |
5 |
71/11 |
3 |
0,8198068 |
|
|
19/115 |
0,1652174 |
77/192 |
0,4010417 |
11 |
179/3 |
4 |
0,818895 |
|
|
341/2261 |
0,1508182 |
1579/3840 |
0,4111979 |
13 |
631/15 |
8 |
0,8142647 |
|
|
29/204 |
0,1421569 |
73/175 |
0,4171429 |
14 |
692/7 |
5 |
0,8114614 |
|
|
77/552 |
0,1394928 |
199/475 |
0,4189474 |
8 |
296/19 |
5 |
0,8105965 |
|
|
190/1513 |
0,1255783 |
1133/2646 |
0,4281935 |
11 |
775/27 |
7 |
0,8060595 |
|
|
377/3212 |
0,1173724 |
1229/2835 |
0,4335097 3) |
14 |
1604/35 |
9 |
0,8033689 |
|
|
3/28 [3] |
0,1071429 |
11/25* |
0,44 |
4 |
0 |
5 |
4/5 |
0,8 |
|
3/35 |
0,0857143 |
29/64* |
0,453125 |
3 |
2 |
2 |
(3 — V2)/2 |
0,7928932 |
|
154/3151 |
0,0488734 |
2843/5994 |
0,4743076 |
13 |
1321/37 |
9 |
0,7805362 |
|
|
55/1476 |
0,0372629 |
683/1421 |
0,4806474 |
10 |
604/29 |
7 |
0,7766107 |
|
|
8/533 |
0,0150094 |
517/1050 |
0,492381 4) |
7 |
209/21 |
5 |
0,7690521 |
|
|
0 |
0 |
1/2* |
0,5 |
3 |
5 |
1 |
3 - 5s |
0,7639320 |
|
–13/2163 |
–0,0060102 |
2189/4352 |
0,5029871 |
11 |
409/17 |
8 |
0,7618776 |
|
|
–5/123 [3] |
–0,0406504 |
133/256* |
0,5195313 |
3 |
0 |
4 |
3/4 |
0,75 |
|
–5/112 |
–0,0446429 |
61/117 |
0,5213675 |
4 |
40/13 |
3 |
0,748628 |
|
|
–323/4077 |
–0,0792249 |
4723/8800 |
0,5367045 |
13 |
349/11 |
10 |
0,7367303 |
|
|
–132/1387 |
–0,0951694 |
1651/3038 |
0,5434496 |
9 |
467/31 |
7 |
0,7312424 |
|
|
–35/328 |
–0,1067073 |
199/363* |
0,5482094 |
8 |
0 |
11 |
8/11 |
0,7272727 |
|
–589/5340 |
–0,1102996 |
3259/5929 |
0,5496711 |
14 |
1772/49 |
11 |
0,7260373 |
|
|
–35/253 |
–0,1383399 |
323/576 |
0,5607639 |
5 |
41/9 |
4 |
0,7164063 |
|
|
–496/2825 |
–0,1755752 |
3817/6642 |
0,5746763 |
11 |
893/41 |
9 |
0,7036714 |
|
|
–99/476 |
–0,2079832 |
337/575 |
0,586087 |
6 |
148/23 |
5 |
0,6926625 |
|
|
–209/799 |
–0,2615770 |
1217/2016 |
0,6036706 |
7 |
61/7 |
6 |
0,6746672 |
|
|
–2/7 [3] |
–0,2857143 |
11/18* |
0,6111111 |
2 |
0 |
3 |
2/3 |
0,6666667 |
|
–377/1240 |
–0,3040323 |
997/1617 |
0,6165739 |
8 |
376/33 |
7 |
0,6606441 |
|
|
–615/1817 |
–0,3384700 |
3047/4864 |
0,6264391 |
9 |
275/19 |
8 |
0,6494463 |
|
|
–935/2548 |
–0,3669545 |
2209/3483 |
0,6342234 |
10 |
772/43 |
9 |
0,640316 |
|
|
–1349/3451 |
–0,3909012 |
6149/9600 |
0,6405208 |
11 |
131/6 |
10 |
0,6327385 |
|
|
–1869/4544 |
–0,4113116 |
4141/6413 |
0,6457196 |
12 |
1384/53 |
11 |
0,6263538 |
|
|
–261/584 |
–0,4469178 |
553/845* |
0,6544379 |
8 |
0 |
13 |
8/13 |
0,6153846 |
|
–133/267 |
–0,4981273 |
533/800* |
0,66625 |
3 |
0 |
5 |
3/5 |
0,6 |
|
–11/21 |
–0,5238095 |
43/64* |
0,671875 |
13 |
113 |
4 |
(13 - Л13)/4 |
0,5924635 |
|
–55/92 |
–0,5978261 |
101/147* |
0,6870748 |
4 |
0 |
7 |
4/7 |
0,5714286 |
|
–2/3 |
–0,6666667 |
7/10* |
0,7 |
5 |
5 |
5 |
(5 - V5)/5 |
0,5527864 |
|
–15/17 [3] |
–0,8823529 |
47/64* |
0,734375 |
1 |
0 |
2 |
1/2 |
0,5 |
Значения u 2 для реальных веществ, рассчитанные по данным [6]: 1) олово (кристалл) – 0,298091, железо – 0,304855; 2) цинк – 0,334012; 3) германий (кристалл) – 0,431349; 4) бериллий – 0,494211.
Краткие сообщения
В целях оптимизации несложной, но длительной процедуры поиска, установим связь между i , j и k , подставив в (1) вид искомых корней x jk = ( i - Jj ) Д :
и 2 = — x 2 - 7 x + 17 + —
16 x - 1
' - k 3 - 7 ik 2 + (8 j + 8i 2 )k - 3ij - i 3 + 7 j (7 k 2 - 1 6ik + j + 3 i 2 )
k 2( k - i + Jj )
Очевидно, что результат будет рациональным числом, если выполнено условие
-k3 -7ik2 + (8j + 8i2)k-3ij -i3 „.2 . -,.2
------------—---------------= 7k2 - 16ik + j + 3i2.
k - i
Для j и u 2 в этом случае получаем выражения
. 8 k 3 - 16 ik 2 + 11i 2 k - 2 i 3 2 22 k 3 - 22 ik 2 + 8i 2 k - i 3
j =---------------------------- , и =---------5---------------- . (3)
7 k - 2 i 2 k 2 (7 k - 2i )
Для увеличения списка возможных корней мы ослабим первоначальное требование и будем считать, что j – неотрицательное рациональное число. Задавая произвольные положительные числа i и k , с помощью (3) мы находим корень x jk = ( i - Jj ) Д и соответствующее ему и 2. Например, для i = 5, k = 5 находим j = 5, что соответствует уже найденному перебором значению
(см. таблицу). Для i = 12 и k = 5 находим j = 664/11, что дает новый корень для и 2 = 91/275 ~ 0,331. Таким образом мы дополнили таблицу корнями с i , k < 25 и l , m < 10000.
Есть еще один корень, содержащий другую степень в выражении x = 2(4 - 3^9)/3 = (8 - 3 152)/3 « 0,888 [4, 5], который соответствует рациональному значению и 2 = 1,6 . Обозначив x j k = ( i - Д / ) jk , мы провели аналогичное исследование и получили, что рациональные значения для и 2 можно получить только при 3i = 8 k и j = 152 k 3/27, что означает его единственность ( k = 1), поскольку при k > 1 значение и 2 > 3(4 .
Полученные результаты могут использоваться на практике для приближенных вычислений. Так, многие горные породы в сейсмологии характеризуются значениями u2 в диапазоне примерно от 0,16 (песчаник, мел) до 0,37 (гранит, метаморфические породы). Также среди ряда полученных значений, есть близкие к расчетным данным для олова, железа, цинка, германия и бериллия (см. сноски к таблице). К сожалению, точных корней, соответствующих и2 < 0,3 и удовле- творяющих условиям, принятым в постановке задачи, немного, а именно такие значения получаются для многих металлов [6]. Мы можем предположить, что корни в этом диапазоне имеют другую простую форму записи, отличную от предполагаемой в работе. Лучшим будет для таких значений u2 использовать точное значение корня [2].
Список литературы О корнях характеристического уравнения Рэлея при рациональных значениях параметра
- Ландау, Л.Д. Теоретичеcкая физика. Т. VII. Теория упругости / Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц. - М.: Наука, 1987. - 248 с.
- Malischewsky, P.G. A Note on Rayleigh-Wave Velocities as a Function of the Material Parameters / P.G. Malischewsky // Geofísica Internacional. - 2004. - Vol. 43, no. 3. - P. 507-509.
- Pichugin, A. Approximation of the Rayleigh Wave Speed / A. Pichugin // People.Brunel.Ac.Uk (Unpublished draft). - 2008. http://people.brunel.ac.uk/~mastaap/draft06rayleigh.pdf.
- Malischewsky, P.G. Comment to “A New Formula for the Velocity of Rayleigh Waves” by D. Nkemzi [Wave Motion 26 (1997) 199-205] / P.G. Malischewsky // Wave Motion. - 2000. - Vol. 31. - P. 93-96.
- Mechkour, H. The Exact Expressions for the Roots of Rayleigh Wave Equation / H. Mechkour // Proceedings of the 2-nd International Colloquium of Mathematics in Engineering and Numerical Physics (MENP-2) April 22-27, 2002, Bucharest, ROMANIA. - P. 96-104.
- Кикоин, И.К. Таблицы физических величин. Справочник / И.К. Кикоин. - М.: Атомиздат, 1976. - 1005 с.
