О линейной связности регулярной части множества Гахова

DOI:

1.    Классы Гахова © Казанцев А.В., 2016

Исследование экстремумов конформных радиусов плоских областей было инициировано Д. Полиа и Г. Сеге в связи с изопериметрическими неравенствами [10; 12] и Ф.Д. Гаховым в целях построения классов корректности внешней обратной краевой задачи [4; 5]. Обе традиции были объединены в работах Л.А. Аксентьева и его учеников [1–4]. С этих же работ началось систематическое накопление условий единственности критической точки конформного радиуса (одно из недавних см. в [8]). Процесс такого накопления привел к введению максимального класса единственности — множества Гахова [9], определение которого сейчас напомним.

В классе Н всех функций, голоморфных в единичном круге D = { Z G C : | С | < 1 } , выделим подкласс Н ₀ , состоящий из локально однолистных в D функций / (то есть / ‘ ( Z ) = 0 при Z G D) с нормировками /(0) = / ‘ (0) — 1 = 0 . Обозначим через М ^ множество всех критических точек гиперболической производной

N ( Z ) = (1 — | Z | ² ) | / ‘ ( Z ) |                                        (1)

функции / G Н 0 . В классической постановке Полиа — Сеге — Хиги, когда функция / однолистна, величина (1) представляет собой выражение для внутреннего конформного радиуса области D = /( D ) в точке w = /( Z ) .

Геометрия поверхности h = h j над элементами a G M j определяется значениями индекса Y j (a) векторного поля V h j ( Z ) . Таких значений может быть только три: равенство Y j (a) = +1 означает, что Z = a — локальный максимум указанной поверхности, случай Y j (a) = — 1 соответствует наличию у нее седловой точки Z = a , а возможность Y j (a) = 0 отвечает ситуации, когда в точке Z = a рассматриваемая поверхность имеет полуседло.

Пусть k j обозначает число элементов множества M j . Рассмотрим класс 5 = { / G G Н 0 : k j <  1 } и его разложение в дизъюнктное объединение 5 = 5 1 И 5 s И 5 0 подклассов 5 1 = { / G Н о : k j = 1, Y j (M j ) = +1 } , 5 _S = { / G Н о : k j = 1, Y j (M j ) = +1 } и 5 0 = { / G Н 0 : k j = 0 } . Класс 5 будем называть классом, или множеством Гахова, а подкласс 5 1 — его регулярной частью, или регулярным классом Гахова.

В свое время на Казанском семинаре по геометрической теории функций Ф.Г. Ав-хадиев поставил перед автором вопрос о линейной связности множества 5 1 . В настоящей заметке дан вариант ответа на этот вопрос. А именно, справедлива следующая теорема. Теорема 1. Класс 5 1 есть линейно связное подмножество класса Н в топологии равномерной сходимости на компактах в D .

2.    Линейная связность класса 51

Вначале докажем следующее утверждение.

Теорема 2. Для любой функции / G 5 1 существует семейство / _t G 5 1 , t G [0,1] , такое, что / 0 осуществляет тождественное отображение, а / 1 = / .

Доказательство. Фиксируем произвольную функцию / G 5 1 . Пусть Z = a — единственный элемент множества M j ; без ограничения общности считаем, что a = 0 . Требуемое семейство сконструируем из трех следующих частей.

• 1)    Семейство

  w _s ( Z ) =

  
  

  / (т+&) — / (a - )

  
  

  / ‘ (a _s )1 — | a | ²

  
  

  as

  ’ ^{a -} = 1 — | a | ² (1 — s)’ ⁰ <  ^S <  1,

  
  
  
  

соединяет функции / = w ₀ и w 1 , причем w 1‘ (0) = 0 , то есть M _W 1 = { 0 } . Включение w _s G 5 1 с M _{W s} = { a(1 — s) } , 0 <  s <  1 , обеспечивается применением результатов, собранных в [9, с. 13].

• 2)    Далее, семейство

yP(Z) = r(p)Wi(r(P)Z), r(P) = Tc + (1 — Гс)(1 — p), 0 < P < 1, где rc = rc(w1) = sup{r G [0,1] : w1 (rZ)/r G S0}, соединяет функцию w1 = v0 с выпуклой функцией v1. Справедливость включения vp G 51 с MVp = {0}, 0 < p < 1, установлена в [7]. Напомним, что через S0 традиционно обозначается класс выпуклых нормированных функций в единичном круге.

• 3)    Наконец, семейство

m _a ( Z ) = AZ + (1 — A )^ i ( Z ), 0 <  A <  1,

соединяет функцию v 1 = u ₀ с тождественным отображением и 1 . Принадлежность данного семейства регулярному классу Гахова Q 1 следует из утверждений, доказанных в [6].

Определим f t = u i-3 _t при 0 <  t <  1/3 , f t = V 2-3 t , когда 1/3 <  t <  2/3 , и f _t = w _{3-3 t} , если 2/3 <  t <  1 . Тогда f _t , t G [0,1] , — семейство с требуемыми свойствами, и теорема 2 доказана.

Далее докажем теорему 1.

Доказательство. Как известно (например, из [13]), задаваемая на Н топология равномерной сходимости на компактах в D метризуется с помощью метрики

^ 1

^{d ( f}, g) = 52 2 " _c^s_eup

I f ( Z ) - g( Z ) |

1 + I f ( Z ) - g( Z ) | ,

^f,g ^{G H},

где { К " } " >1 — исчерпание D компактными множествами, то есть К _п С К _{п +1} , п >  1 , и Ц^К = D. Выберем К _п = { Z G D : | Z | < Г " } , п = 1,2,... , где { r _n } _n >i — возрастающая последовательность положительных чисел, сходящаяся к 1.

Возьмем любую функцию f G 9 1 и покажем, что построенное в теореме 2 семейство f t , t G [0,1] , образует путь, то есть будет непрерывным как отображение отрезка [0,1] в множество 9 1 с метрикой (5).

Фиксируем произвольные ст G [0,1] и е > 0 . Требуется установить существование такого 5 > 0 , что для всех t G [0,1] , удовлетворяющих условию | t — т | <  5 , имеет место неравенство d(f _t , f ^ ) <  е.

Очевидно существование номера N , такого что f = f _{+N +1} 2 - " <  е /2 . Структура метрики (5) позволяет вывести отсюда, что для всех t G [0,1] будет

\   1          |ft(Z) — fT(Z)|/

If+i 2" «£ 1 + |ft(Z) — f,(t)|

Поэтому для требуемого заключения достаточно установить неравенство

\ 1          Ift(Z) — fT(Z)I,

^ 2 " ZX 1 + I f , ( С ) — f , ( C ) | - ^{е /} '

с которым должно быть связано существование 5 > 0 , налагающее надлежащие ограничения на t . Так как К „ С К _м при п <  N , то для выполнения (6) достаточно потребовать, чтобы

V Z G K _N | f t ( Z ) — f _c ( С ) | <  е /2, (7) при всех t G [0,1] с условием | t — т | <  5 . Существование 5 > 0 с приведенными ограничениями на t , обеспечивающими выполнение условия (7), является следствием свойства равномерной непрерывности функции F ( Z , t) = f _t ( Z ) на компакте К м х [0,1] (см. [11, с. 292]).

Последнее свойство следует из непрерывности функции F(Z,t) по совокупности переменных, которая устанавливается на объемлющих Км х [0,1] множествах по отдельности для каждого из трех подсемейств из доказательства теоремы 2, составляющих ft, t G [0,1], а в случае семейства (3) — по отдельности для ситуаций, приводящих к (7) при т = 2/3 и при т G [1/3, 2/3). Семейство (2) непрерывно по совокупности переменных в D х (—1/|а|, 1/|а|), семейство (4) — в D^ х R. Что же касается семейства (3), то его непрерывность основана на непрерывности по совокупности переменных (Z,r) семейства линий уровня /(Z) = /(rZ)/r на D^ х (—1/r, 1/r) с r Е (r N,rN+1) (чтобы доказать (7) при ст = 2/3) и на D^ х (—r, r) с r Е (rc, 1) (для получения (7) при ст Е [1/3, 2/3)). Здесь D^ = {Z Е C : |Z| < R} при R> 0.

Итак, обоснование неравенства (6) при t Е [0,1] П ( с — 5 , с + 5 ) сведено к использованию конкретных форм построения / _t , t Е [0,1] , которые позволяют установить существование 5 > 0 , обеспечивающее содержательность всех отмеченных выше редукций, составляющих доказательство теоремы 1, которое, таким образом, завершено.