О некотором классе функциональных уравнений

DOI:

Простым примером функционального уравнения является уравнение Коши

д(_П + v) = д(и) + g(v),

где д — функция класса С 1 , и и v — независимые переменные. Это уравнение решается так: сначала дифференцируем по переменным и и v: д'(и + v) = д' (и), д'(и + v) = = д ' (v). Далее вычитаем из первого уравнения второе и разделяем переменные: д ' (и) = = д ' (v) = а = const. Затем интегрируем и результат подставляем в исходное уравнение, после чего записываем ответ: д(и) = аи. Этим же методом в данной работе решаются функциональные уравнения, которые появляются в задаче классификации геометрий локальной максимальной подвижности [1; 3; 4].

Геометрия локальной максимальной подвижности — это геометрия n-мерного пространства, задаваемая метрической функцией /, допускающая максимальную группу движений, то есть группу движений размерности п(п + 1)/2. Только для таких геометрий по метрической функции однозначно находится локальная группа движений, а по этой группе движений восстанавливается метрическая функция. Примерами геометрий максимальной подвижности являются: геометрия Евклида, псевдоевклидова геометрия Минковского, симплектическая, геометрии постоянной кривизны, геометрии Терстона и др. Очевидна их актуальность в современной науке. На данный момент неизвестна полная классификация геометрий локальной максимальной подвижности.

Автором предложен метод классификации геометрий локальной максимальной подвижности, названный методом вложения. Суть этого метода состоит в следующем: по метрической функции д = д(ж^ ... ^у1,.. . ,уп)

известной п-мерной геометрии локальной максимальной подвижности находим все метрические функции вида

/ = / (д(Ж. .,жп, у1,. ..,уп)Х‘+1,уп+Ч задающие п + 1-мерные геометрии локальной максимальной подвижности. Решение этой задачи сводится к решению специальных функционально-дифференциальных уравнений. Задача в данной постановке является новой, ранее не решаемой. Часть получаемых результатов известна, а часть нет. Проиллюстрируем на примере хорошо известной двумерной евклидовой геометрии [3], которая задается метрической функцией д = (ж1 - у1)2 + (ж2 - у2)2.

Решая задачу вложения, получаем метрические функции трехмерных геометрий максимальной подвижности (размерность группы движений равна 6):

/ = (ж ¹ - у ¹ ) ² + (ж ² - у ² ) ² + (ж ³ - у ³ ) ² ;

/ = (ж ¹ - у ¹ ) ² + (ж ² - у ² ) ² - (ж ³ - у ³ ) ² ;

/ = [(ж ¹ - у ¹ ) ² + (ж ² - у ² ) ² ]е ^ж 3 ^+у 3 .

Первые две геометрии — это хорошо известные трехмерные геометрии: евклидова и псевдоевклидова, а третья геометрия — новая, ранее неизвестная.

1. Постановка задачи и основные результаты

Рассмотрим дифференцируемую класса С ⁴ функцию / : S j ^ R, где S j С R^ ¹ х х R ⁿ⁺¹ — открытая и плотная область определения. Пусть U 0 С R ⁿ⁺¹ — некоторая координатная окрестность, ж, у G U 0 , причем ( ж, у ) G S j . Рассмотрим окрестности точек ж и у: U(ж) С U ₀ и U (у) С U 0 , причем У ж ’ ,у ’ : ж ’ G U (ж), у' G U (у), ( ж ' , у ' ) G S j . Обозначим через U( ( ж, у ) ) С R ⁿ⁺¹ х R ⁿ⁺¹ — некоторую окрестность пары ( ж, у ) : U( ( ж,у ) ) С U(ж) х U(у). Пусть функция / имеет один из следующих видов:

У ^{( ж,}у) = ^{о ( е (ж,}у^),и);                                    ⁽¹⁾

У ^(ж,у) = ^{к ( е (ж,}у^),ж),                                    ⁽²⁾

где е, о, к — функции класса С ⁴ в этой окрестности, е(ж, у) = е(ж ¹ ,..., ж ^п , у ¹ ,..., у ^п ), (ж ¹ ,..., ж ^п+1 ), (у ¹ ,..., у ^п+1 ) — координаты точек ж и у соответственно, и = ж ^п+1 -- у ^п+1 , z = ж ^п+1 + у ^п+1 . Дополнительно потребуем, чтобы в любой точке из U( ( ж, у ) ) выполнялись неравенства [5]

$=*$=*                 (3)

д о      д о

яд = 0,     = 0, д 0     дю д к    д к

— — 0, — — 0.

д9     дг

Также будем предполагать, чтобы функция / была двухточечным инвариантом действия некоторой группы Ли в пространстве R ” ⁺¹ [6]. Множество таких действий задает группу Ли преобразований пространства R ” ⁺¹ . Произвольный оператор алгебры Ли этой группы преобразований в окрестности U (ж) имеет вид [5]:

X — Х 1 д _х 1 + • • • + Х _п д _ж ^ + Х „+1 д _ж п +1 ,

где X _s — ХДж ¹ ,..., ж ” ,ж ” ⁺¹ ) — функции класса С ³ в окрестности U (ж) С U q С R ” ⁺¹ , s — 1,... ,п + 1. Через операторы записывается критерий локальной инвариантности [6]:

^{Х (ж)/ ( ж,}У)+^{Х (} У)^{/ ( ж,}У) ^{— 0}

Равенство (7) расписываем для функций (1) и (2), после простых преобразований получаем:

[X] — (Х „+1 (ж) - Х _п+_х (у))р(0,ю),                         (8)

[X ] — (Х _п+1 (ж) + Х _{п +}1 (уУ)М0,г),                          (9)

где введено сокращающее обозначение:

[X] — £ U(ж) X + Х„(у)|0) , ^=1        джк         дук / причем р(9,ю) — - до /g и Л(0,г) — - g / |к — функции класса С3 в U ((ж, у)), а также ср — 0, Л — 0, поскольку иное противоречит неравенствам (4) и (5). Уравнения (8) и (9) являются функционально-дифференциальными относительно неизвестных компонент оператора (6), а также функций σ и κ, и выполняются тождественно по координатам точек ж и у в окрестности U((ж, у)).

Дифференцируя уравнения (8) и (9) по переменным ж ” ⁺¹ и у ” ⁺¹ , а также вводя сокращающее обозначение У — Х _п+1 , получаем новые функционально-дифференциальные уравнения в окрестности U ( ( ж, у ) ):

((У (ж)) ^ . +1 + (У (< „ +1 м + (У(ж) - У (у))ф "„ — 0,            (10)

((У (ж)) ^ „ +! + (У (< „ +. )Л ' + (У (ж) + У (у)К , — 0.             (11)

Основным содержанием данной работы является доказательство следующих теорем.

Теорема 1. В окрестности U ( ( ж,у ) ) функционально-дифференциальное уравнение (10) , где ю — ж ” ⁺¹ — у ” ⁺¹ , У — const , р ^ — 0 , имеет решения:

У — С(ж1,..., ж”), р — а(9)ю + 6(9);(12)

У — тж”+1 + с, р — а(9)— + 6(9);(13)

ю

У — т(ж”+1)2 + с, р — а(9)— + 6(9);(14)

ю

Y = г (чЫ жж" ' 1 + а) + с, ф = а(0)ctg^^ + 6(0); (15) Y = г, ' e^w + с, ф = °(0)e.w — 1+ 6(0); (16) Y = г ch(шжn+1 + а) + с, ф = а(0)cth—+ 6(0); (17) Y = г sh(шжп+1 + а) + с, ф = а(0)th^^- + 6(0), (18) где г, с, а = const, С (ж1,..., жп) = const — функция класса С3, а(0), 6(0) — функции класса С3, а(0) = 0.

Теорема 2. В окрестности U ( ( ж, у ) ) функционально-дифференциальное уравнение (11) , где х = ж ^п+1 + у ^п+1 , Y = 0 , X . = 0 , имеет решения:

Y = С (ж1,.. .,жп), X(0, х) = а(0)х + 6(0);(19)

. . 1

Y = гжп+1 + с, X = а(0)-------+ 6(0);(20)

гх + 2с

Y = г cos(шжn+1 + а), X = а(0)tgШХ ^ ^а + 6(0);(21)

Y = гешж"+1, X = а(0)е-шг + 6(0);(22)

Y = г c| жж ' + а), X = а(0)th^-±2^ + 6(0);(23)

Y = г -I ./ж ' + а), X = а(0)cth^-^ + 6(0),(24)

где г, с, а = const , С (ж ¹ ,..., ж ^п ) = const — функция класса С ³ , а(0), 6(0) — функции класса С ³ , а(0) = 0 .

Заметим, что теоремы 1 и 2 для скалярного произведения (евклидово или псевдо-евклидово) доказаны в работе [2].

• 2.    Вспомогательные утверждения

Лемма 1. В окрестности U ( ( ж, у ) ) функциональное уравнение

С(ж) - С(у) = ^(0(ж,У),^), где С (ж) = С (ж1,...,жп) — функция класса С3, ^ — функция класса С1, имеет решение

С (ж) = с = const.                                (26)

Доказательство. Продифференцируем уравнение (25) по координате ж ^п+1 , получим ^ W = 0. Значит, ^(0(ж, у), w) = ^(0(ж, у)). Тогда уравнение (25) примет вид:

^{С (ж) - С} (у) = ^^{( 0 (ж,}у⁾⁾.

Далее выделяются два случая: £ 0 = 0 и ^ 0 = 0.

1. Если в (27) ^0 = 0, то С (ж) — С (у) = const. Разделяя переменные, получаем (26).

дС (ж)

2. Если же в (27) Е,е = 0 в U((ж,у)), то для некоторой координаты жг: — .  = джг

= fi ,У^ = 0, г = 1,... ,п. Далее от координат ж ^г переходим к новым координатам дж ^г

ж ^-г по формулам: ж ^-1 = ж ^-1 ,

• . .

ж ’г—1   ж ’г—1 ж ’г   С (ж 1

.

ж п ) ж ‘^+1 = ж ‘^+1

. .

™ -n

• • , еЛА

,                                                                               дС (ж)

= ж . Несложно доказать, что якобиан в данной замене координат равен — . и джг поэтому отличен от нуля. Тогда в новых координатах уравнение (27) примет вид: ж‘г — — у'г = Це(ж, у)), следовательно, по теореме о неявной функции, в U((ж, у)) будем ,                                                   _        де иметь: е = п(ж-г — у ), где п — некоторая функция класса С 1. Поэтому ——г = 0, у = г, дж- что противоречит неравенству из (3). Таким образом, справедлива формула (26).

Аналогично доказывается следующая лемма.

Лемма 2. В окрестности U ( ( ж, у ) ) функциональное уравнение

С (ж)+С (у) = ^(е(ж,у),2), где С (ж) = С (ж1,...,жп) — функция класса С4, ^ — функция класса С1, имеет решение

С (ж) = с = const.

• 3.    Доказательство теоремы 1

При доказательстве «по умолчанию» все уравнения решаются в U ( ( ж, у ) ). Вначале заметим, что У = const тогда и только тогда, когда У (ж) — У (у) = 0. В прямую сторону это очевидно. В обратную сторону применяем разделение переменных: У (ж) = У (у) = = const. По условию теоремы У = const, следовательно У (ж) — У (у) = 0. Тогда от уравнения (10) приходим к новому:

(^У (ж)) ' _п+1 + (^У (у))^ +1 _{=   ф} ^ _w

У (ж) — У (у)           К •

Дифференцируя это уравнение сначала по ж ^п+1 , а затем по у ^п+1 , после чего первый результат складываем со вторым, получаем равенство:

(У (ж)) " „ +! + (У (у)) " „ +! )(У (ж) — У (у)) — ((У (ж)) ' „ +! ) ² + ((У (у))^ ) ² = 0.     (29)

Это равенство является функционально-дифференциальным уравнением, которое выполняется тождественно в окрестности U( ( ж,у ) ).

Возможны два случая: (У(ж)) '_с „ ₊₁ = 0 и (У (ж)) ' п +1 = 0.

В первом случае из уравнения (10) получаем ф "_ш = 0, следовательно справедливо решение (12).

Во втором случае тождество (29) дифференцируем по переменным ж ^п+1 и у ^п+1 , после чего делим на ненулевое произведение (У(ж)) '_с „ ₊₁ (У(у)) ^ „ ₊₁ = 0 и разделяем переменные, затем получаем дифференциальное уравнение:

(У(ж))^ +1 + ^(У(ж)) '_с „ +1 = 0, ^ = const.

Это уравнение имеет следующие решения:

при ^ = 0:

У = Л(х 1 ,..., х ” )(х ” ⁺¹ ) ² + В(х \ ..., х ” )х ” ⁺¹ + С (х ¹ , ...,х ” );

при ^ > 0:

У = А(х 1 , ... ,х ” ) cos шх ” ⁺¹ + В(х ¹ ,... ,х ” ) sin шх ” ⁺¹ + С(х ¹ ,... ,х ” ), ш = V ^;

при ^ < 0:

У = Л(х 1 ,..., х ” )е ^{шж П +}1 + В(х 1 ,..., х ” )е ^{-шж П +}1 + С (х ¹ , ...,х ” ,ш = V-A.

Затем найденное подставляем в (29) и получаем: при ^ = 0:

• У = _т-х^п+ + С (х 1 ,...,х ” );

• У = г(х ” ⁺¹ ) ² + с;

при ^ > 0:

У = г cos(шх ” ⁺¹ + р(х 1 , ..., х ” )) + с, ш = V ^;

при ^ < 0:

У = Л(х 1 ,..., х ” )е ^{шж П +}1 + с, ш = ±V— №

• У = г сН(шх ” ⁺¹ + р(х^т, ..., х ” )) + с, ш = V— ^;

• У = г sh(шх ” ⁺¹ + р(х 1 ,..., х ” )) + с, ш = V— ^;

причем г, с = const, г = 0.

Далее функцию (31) подставляем в уравнение (28)

__________2L__________ = _ vL г-w + С (х1,...,х”) - С (у1,...,у”      ф^ .

К уравнению (37) применяем лемму (1), получаем С (х ¹ , ...,х ” ) = с = const. Значит уравнение (37) принимает более простой вид:

2 =  PL w    PL

.

Интегрируя последнее, получаем: ср = а(0)+ 6(0). Найденное объединяя с (31), име-w ем (13).

Функцию (32) подставляем в уравнение (28), в результате как и выше получаем:

ф = а(0)--+ 6(0). Найденное объединяя с (32), получаем (14).

w

Теперь функцию (33) подставляем в уравнение (28) и применяем тригонометрические свойства:

-

sin(шх ” ⁺¹ + р(х)) + sin(шу ” ⁺¹ + р(у)) cos(шх ” ⁺¹ + р(х)) - cos(шу ” ⁺¹ + р(у))

. шг + р(х) + р(у)    шш + р(х) — р(у)

_ш sin       2       cos       2        = _{w c}t шш + Р ^{( х ) —} Р^У) = - VL

. шг + р(х) + р(у) . шш + р(х) — р(у)                 2              ф" ’ sin         2         sin         2

ϕ ′′

.

где, например, р(х) = р(х 1 , ..., х ^п ), следовательно р(х) — р(у) = — 2шш — 2arcctg — ^{77 ш}ф "

Применяя к этому равенству лемму (1), получаем р(х 1 ,..., х ^п ) = а = const. В резуль-

тате имеем уравнение:

шш ^{ш ct} g -у =

Kw ф " ’

интегрируя которое, получаем: ф = a(0)ctg——+ 6(0). В итоге приходим к

• (34)    подставляем в (28):

А(х)ешж”+1 + А(у)ешу”+1 _ А(х)/А(у) + е-Ш№ _ ф"w шА(х)ешж”+1 — А(у)ешУ”+1 = шА(х)/А(у) — е-Ш№ =   ф" ’ где, например, А(х) = А(х1,... , хп), следовательно А(х)/А(у) = е-Ш№ф"7-----фу"• Ло- ф7 w + шф7

гарифмируя последнее выражение и применяя лемму (2), получаем А(х 1 ,... ,х ^п ) = г = = const. Тогда будем иметь дифференциальное уравнение:

ф " w ф " ,

1 + е ^-Ш7 ш

1 — е ^-Ш7

интегрируя которое, получаем: ф = а(0)—

— е -

— + 6(0). Найденное объединяя с (28),

получаем (16).

И, наконец, функции (35) и (36) подставляем в уравнение (28) и применяем свойства гиперболических функций, потом, как и выше с тригонометрическими функциями, устанавливаем, что р(х 1 ,..., х ^п ) = а = const. В итоге приходим к уравнениям:

шcth шш = — ф "" , шth шш = — ф ""

.

2       ф " ’     2       ф "

Интегрируя последние уравнения, получаем: ф = a(0)(c)thЩШ + 6(0). Найденное объединяя с (35) и (36), имеем (17) и (18). Теорема 1 доказана полностью.

• 4. Доказательство теоремы 2

Эта теорема доказывается как и теорема 1, поэтому некоторые рассуждения будут упускаться. Как и выше, «по умолчанию» все уравнения решаются в U ( ( х,у ) ). Вначале заметим, что У = 0 тогда и только тогда, когда У (х) + У (у) = 0. В прямую сторону это очевидно. В обратную сторону применяем разделение переменных: У (х) = — У(у) = = const = 0. По условию теоремы У = 0, следовательно У (х) +У(у) = 0. Тогда от уравнения (11) приходим к новому:

^{(У (х))}^ +1 ^{+ (У (}у⁾⁾ у п +1 _   Л "_г

у (х) + У (у)      =   л ; .

Дифференцируя это уравнение сначала по х ” ⁺¹ , а затем по у ” ⁺ 1 , после чего из первого равенства вычитаем второе:

( у (х))у +1 - ( у (у)) ; „ +1 )( у (х) + у (у)) - (( у (х))у +1 ) ² + (( у (у% _п +1 ) ² = 0.    (39)

Возможны два случая: (У (х))У ₊₁ = 0 и ^{( У (х))}У + 1 = 0.

В первом случае уравнение (11) имеет решение (19).

Во втором случае тождество (39) дифференцируем по переменным х ” ⁺ 1 и у ” ⁺¹ , после чего делим на ненулевое произведение (У(х))У ₊₁ (У(у))у ₊₁ = 0 и разделяем переменные, затем получаем дифференциальное уравнение (30). Решения этого уравнения, найденные в теореме 1, подставляем в (39):

при ц = 0:

У = гх”+1 + С (х1,...,х”);(40)

при ц > 0:

У = г cos-шх” '■ + р(х1,..., х”)), ш = Уц;(41)

при ц < 0:

У = Л(х1,...,х”)ешжП+1 ,ш = ±У-ц;(42)

У = г ch(шx”+1 + р(х1,..., ж”)), ш = У-ц;(43)

У = г sh(шx”+1 + р(х1,..., ж”)), ш = У-ц;(44)

причем г, с = const, г = 0.

Далее поступаем как и при доказательстве теоремы (1), то есть функции (40)–(44) подставляем в уравнение (38) и применяем лемму 2, а затем решаем. В итоге получаем (20)–(24). Теорема 2 доказана полностью.

Заключение

Условия (3) дают существенные ограничения на выбор функции θ. Так, на плоскости Д ² функцию 0 можно брать в виде:

0(х,у) = х 1 у 1 + х²у²,

0 (х, у) = (Х 1 - У 1 )² + (Х 2 - У 2 ) ² ,

0 (х, у) = (Х 1 - У 1 ) ² + (Х 2 - У 2 ) ³ ,

0(х,у) = Х1У2 - Х2У1, ж2 - У2

0(х, у ) = [(Х 1 - У 1 ) ² + (Х 2 - У 2 ) ² ]е ^{Y    gx} 1 ^{- У 1} ,

^{0 (}Х^,У⁾ =

Х 2 - У 2

Х 1 - У 1 ,

то есть для этих функций доказанные здесь результаты верны. А, например, для функций

0 ( х, у ) = Х 1 У 1 + х ² , ^{0 (}Х^,У⁾ = ⁽Х 1 ^- У 1 ^{) 2} + ⁽У 2 ^{) 2}

доказанное выше несправедливо.