О некоторых ослаблениях понятия неразложимости отображения

В данной статье рассматривается дискретная динамическая система вида xt+1 = F (xt), t = 0,1,2,... (1) на неотрицательном конусе R+ пространства Rq , имеющая тривиальное состояние равновесия. Для отображения F это проявляется в существовании нулевой неподвижной точки: F(0) = 0 .

Асимптотическое поведение итерационного процесса (1) достаточно хорошо изучено не только для линейных, но и для обобщающих их положительно однородных первой степени отображений [1] (соответствующие определения приведены ниже). Оп- ределяющими при этом являются спектральные свойства отображения F . Существенными в доказательствах многих ключевых утверждений нелинейной теории Перрона-Фробениуса оказываются свойства неразложимости и примитивности отображения F , являющиеся обобщениями соответствующих свойств неотрицательной матрицы.

Для субоднородных отображений условия существования ненулевых неподвижных точек и сходимости к ним итерационного процесса (1) были получены в работе [2] в терминах доминирующих собственных значений некоторых сопутствующих каждому субоднородному отображению положительно однородных первой степени отображений.

Введем необходимые обозначения и определения. Для стандартного частичного порядка, определяемого рассматриваемым конусом, будем использовать следующие обозначения x <  у (соотв. x <  у ) означает, что у - x е R + (соотв. у - x е int R + ). Кроме того, будем использовать обозначение x <  у в случае x <  у, x * у .

Для краткости будем записывать вектор x = ( x 1 , x 2 ,..., x_q ) и отображение F ( x ) = ( f( ^x ), f , (^x ),..., f q ^{( x} ) ) в виде ^x = ( ^x i ) и F ^{( x} ) = ( fi ^{( x} ) ) соответственно.

Если числа m , n - целые и m <  n , то m , n обозначает множество целых чисел в промежутке [ m , n ] .

Определение 1 . Пусть F е { R q ^ R + } ,

^{F ( x} ) = ( fi ^{( x} ) ) и 0 <  x <  у , где x = ( x ) , у = ( y_i ) . Отображение F называется слабо монотонным , если из каждого равенства x j = y j при некотором j е 1, q следует неравенство f j ( x ) <  f j ( у ) .

Отображение F е {R +q ^ Rq } называется монотонно возрастающим, если

V x , у е R q : x <  у ^ F ( x ) <  F ( у )

Монотонно возрастающее отображение будем для краткости также называть просто монотонным или возрастающим .

Отображение F е { R + ^ R q } называется сильно возрастающим , если

V x , у е R + : x <  у ^ F ( x ) < F ( у ) .

Определение 2.

Отображение

H е { R + ^ R + } называется положительно однородным степени m , если

H (ax ) = a m H ( x ) ( V a >  0, x е R ₊ ^q )    (3)

Положительно однородное первой степени отображение (при m = 1 ) будем называть । дТ поТ положительно однородным .

Определение 3. Отображение

F е { R ₊₊_ ^ R + } называется субоднородным , если

V x е R + V a е (0,1) F ( ax ) ^ aF ( x )   (4)

Отображения, удовлетворяющие свойствам, аналогичным свойству (4), в том числе в банаховых пространствах, рассматривались в целом ряде работ (см. обзоры в работах [3-5]).

Как известно, для положительно однородного отображения H доказана [1] разрешимость задачи о собственных значениях и показано существование наибольшего среди всех его собственных значений – числа λ ( H ) , которому соответствует неотрицательный собственный вектор x :

H ( x ) = Л ( H ) x ( x * 0 ) .

Это число называется доминирующим собственным значением отображения H , поскольку многие его свойства аналогичны свойствам доминирующего собственного значения неотрицательной квадратной матрицы. Более сильные спектральные свойства положительно однородных отображений получены в предположении их неразложимости.

Определим следующие группы координат векторов x , у е R q :

I ⁺( x, у ) = { ^{j е} 1, q ^: xj >  yj } , I ( ^x, у ) = { ^{j е} 1, q ^: xj = yj } , I ⁺( x ) = { i е 1, q : x i > 0 } ,      I ( x ) = { i е 1, q : x i = 0 } .      (5)

Определение 4. Неотрицательная матрица A = [ a i , j ] порядка q >  1 называется разложимой , если

3 1 c 1, q , 0 * I * 1, q : a i j = 0 ( V i g I , j е I ).

В противном случае матрица называется неразложимой .

В нелинейной теории Перрона-Фробениуса используется следующее обобщение понятия неразложимости матрицы [1].

Определение 5. Отображение

F g{R + ^ R + } называется разложимым, если

3 x , y g R + : x >  y , 1 0 ( x , y ) *0 ,

1 ⁰ ( x , y ) c 1 ⁰ ( F ( x ), F ( y ) )                ⁽⁶⁾

Отображение F называется неразложимым , если оно не является разложимым, т.е. если

V x , y g R q : x >  y ,. ⁽⁷⁾ 1 ⁰ ( x , y ) * 0 ^ 1 ⁰ ( x , y ) \ 1 ⁰ ( F ( x ), F ( y ) ) * 0

Далее будет также дано определение неразложимости в точке (не являющееся общепринятым, в отличие от предыдущего определения), поэтому мы будем называть разложимое в смысле (6) отображение глобально разложимым (на R q ) и неразложимое в смысле (7) отображение – глобально неразложимым (на R q ).

Для монотонно возрастающего отображения условие i £ 1 ⁰ ( F ( x ), F ( y ) ) означает f ( x ) >  f ( y ), и определение глобальной неразложимости отображения в этом случае можно уточнить следующим образом:

V x , y g R ‘ : x >  y , (8) 1 ⁰ ( x , y ) * 0 ^ 1 ⁰ ( x , y ) П I ⁺ ( F ( x ), F ( y ) ) * 0

Для доказательства некоторых утверждений о свойствах положительно однородных и субоднородных отображений оказывается достаточно локального варианта свойства неразложимости. В частности, неразложимость отображения в нуле гарантирует положительность любой его ненулевой неподвижной точки (как и любого собственного вектора). Поэтому может оказаться полезным использование следующего определения.

Определение 6. Отображение F g {R + ^ R!} называется разложимым в точке y g Rq, если

3 x g R ₊₊ : x >  y , 1 ⁰ ( x , y ) *0 ,

1 ⁰ ( x , y ) с 1 ⁰ ( F ( x ), F ( y ) ) .                (9)

Отображение, разложимое в каждой точке множества M с R ‘ q называется разложимым на множестве M .

Соответственно, отображение F называется неразложимым в точке y , если

V x g R + : x >  y ,.                       (10)

1 0 ( x , y ) * 0 ^ 1 ⁰ ( x , y ) n I ⁺ ( F ( x ), F ( y ) ) * 0

Отображение, неразложимое в каждой точке множества M с R ‘ , называется неразложимым на множестве M .

В частности, отображение F g { R ₊₊_ ^ R + } называется разложимым в точке y = 0 (разложимым в нуле , в нулевой точке ), если

3 x g R q : x > 0, 1 ( x ) *0, 1 ( x ) с 1 ⁰ ( F ( x ) ) . (11)

Соответственно, отображение F называется неразложимым в точке y = 0 ( в нуле , в нулевой точке ), если

V x g R q : x >  0,

1 ⁰ ( x ) *0^ 1 ⁰ ( x ) n I ⁺ ( F ( x ) ) *0 (12)

Глобальная неразложимость отображения по определению влечет за собой неразложимость в любой точке R ‘ и, в частности, неразложимость в нуле. Для линейных отображений верно и обратное, т.е. понятие неразложимости в нуле совпадает с понятием глобальной неразложимости (совпадающим, в свою очередь, с понятием неразложимости матрицы линейного отображения). Действительно, разложимость в нуле линейного отображения F ( x ) = Ax означает существование множества 0 * J * 1, q , удовлетворяющего условиям x i = 0 и f ( x ) = ( Ax ). = 0 ( V i g J ) . Но последнее равенство в силу

(Ax)/=Eaijxj+Eaijxj=Eaijxj=0 эк-j e I j e J j e I вивалентно условию ai,j = 0 (Vi 11, j e I), где I = 1, q \ J, означающему разложимость матрицы A .

Подчеркнем, что для глобальной разложимости отображения достаточно существования хотя бы одной точки, в которой отображение разложимо (в частности, достаточно разложимости в нуле).

Для нелинейных отображений понятия неразложимости в нуле и глобальной неразложимости могут не совпадать. В частности, любое сильно возрастающее в окрестности начала координат отображение, равное константе для достаточно больших значений аргумента, является одновременно неразложимым в нуле и глобально разложимым.

Эти понятия различны и для положительно однородных первой степени отображений. Приведем соответствующие примеры. Следующий пример показывает, что понятие глобальной неразложимости для положительно однородных отображений не сводится к понятию неразложимости в нуле.

Пример 1. Рассмотрим отображение F(x) = (fl(x), f-(x)), где f,( x ) = f-( x ) = max { xv x2} .

Для любого вектора с координатами x j = 0, x ₂ >  0 получаем F ( x ) = ( x ₂, x ₂), и условие f 1 ( x ) = 0 приводит к равенству x ₂ = 0, т.е. x = x ₂ = 0. Аналогично получаем x j = x ₂ = 0 и для любого вектора с координатами x j >  0 , x ₂ = 0. Это означает, что данное отображение является неразложимым в нуле.

Более того, это отображение неразложимо на всей неотрицательной части луча

{ У = ( у 1 , У ₂): У 1 = У ₂ } . Действительно, для любого вектора x с координатами x j = у 1 , x ₂ >  у ₂ в силу x ₂ >  у ₂ = у 1 = x j получаем f ^{( x} ) = f 2 ⁽ x ) = x 2 >  у = ^f _x ^{( у} ), т.е. f 1 ( x ) >  f 1 ( у ). Аналогично при x j >  у 1 , x ₂ = у ₂ имеем f , ( x ) >  f , ( у ). В любом из этих случаев справедливо 1 ⁰( x , у ) П I ⁺( F ( x ), F ( у ) ) *0 , что в соответствии с (15) означает неразложимость отображения в указанных точках.

Вместе с тем, это отображение глобально разложимо. Найдем множество точек, в которых это отображение разложимо. Пусть у - любой вектор с координатами у 1 <  у ₂. Тогда для вектора x = ( у ₂, у ₂) имеем ^{f (} x ) = ^f , ⁽ x ) = ^у 2 , ^{f (у} ) = ^f , ^{( у} ) = ^у 2 , так что x 2 = у 2 и f , ( x ) = f , ( у ), т.е. x >  у , I °( x , у ) = { 2 }*0 ^и 1 ⁰( x , у ) с 1 ⁰( F ( x ), F ( у ) ) . Аналогично рассматривается случай у 1 >  у ₂. В соответствии с определением 6 это означает разложимость отображения F на множестве { у e R + 2 : у 1 ^ у ₂ } .

Пример 2. Рассмотрим отображение ^{F ( x} ) = ( f l ^{( x} ), ^f > ^{( x} ) ) , где f 1 ^{( x )} = f _; ^{( x} ) =V x j x .

Это положительно однородное отображение является сильно возрастающим на int R q , и потому неразложимо на int R q . С другой стороны, поскольку f . ( x ) = f > ( x ) = 0 для всех векторов, имеющих хотя бы одну нулевую координату, это отображение является разложимым на множестве R q \ int R q и, в частности, разложимо в нуле.

Существование приведенных в этих примерах отображений также является одним из оснований для уточнения понятия (гло- бальной) неразложимости, в частности, для отдельного рассмотрения понятия неразложимости в нуле.

Для произвольного возрастающего глобально неразложимого отображения справедливо (см. [1, теорема 10.5 главы 3]) свойство

V x , y e R q : x >  y ^ F ( x ) >  F ( y ) .

Из доказательства этого свойства видно, что для справедливости ослабленного свойства (только для y = 0 ) - условия

V x e R ₊ q : x >  0 ^ F ( x ) >  0

достаточно неразложимости этого отображения лишь в нуле.

Далее, в работе [1, теорема 10.4 главы 3] доказана положительность собственных векторов и собственных значений положительно однородного первой степени отображения в предположении его глобальной неразложимости и слабой монотонности. Доказательство также на самом деле использует неразложимость отображения лишь в нуле.

Приведенные примеры и утверждения демонстрируют возможность использования в нелинейной спектральной теории введенного в данной работе локального аспекта понятия неразложимости отображения – неразложимости отображения в нуле.