О подходе к анализу асимптотических свойств монотонных субоднородных отображений с позиций обобщенных фейеровских отображений

*

1.    Постановка задачи и основные определения

Рассматривается дискретная динамическая система вида xt+1 = F (xt), t = 0,1,2,...                (1)

на неотрицательном конусе R ‘ пространства _R ^q . Предполагается, что эта система имеет тривиальное состояние равновесия x = 0 . Для порождающего ее отображения F это означает наличие нулевой неподвижной точки: F (0) = 0 .

Для некоторых классов нелинейных отображений асимптотические свойства ите-

* *

рационного процесса (1) достаточно хорошо изучены. Так, в математической экономике имеется хорошо развитая спектральная теория для монотонно возрастающих (далее кратко - монотонных) положительно однородных отображений, обобщающая основные утверждения спектральной теории для линейных отображений [1; 2]. В рамках этой теории показана справедливость свойства относительной устойчивости итераций таких отображений, заключающегося в сходимости к положительному собственному лучу множеству точек {ах: а е (0, +«)}, где x - собственный вектор отображения. При этом существенно использовалось свойство примитивности отображения F , являющееся обобщением соответствующего свойства неотрицательной матрицы.

В данной работе исследуются асимптотические свойства класса монотонных субоднородных отображений (соответствующие определения приведены ниже), содержащего класс монотонных положительно однородных отображений в качестве граничного случая. При этом используется аппарат теории фейеровских отображений и их обобщений [3; 4]. Подробный обзор применений этих отображений содержится в работе [5].

В случае единственности положительного состояния равновесия x монотонного субоднородного отображения сходимость итерационного процесса (1) к этому равновесию (из любого положительного начального состояния) очевидна в силу существования инвариантного отрезка [ α x , β x ] с a e (0,1), в >  1, означающего монотонную сходимость итерационных процессов { F* ( a x ) } ^ , { F* ( в х ) } +” (см. свойства (2), (3) ниже). Поэтому далее рассматривается только случай существования по крайней мере двух различных положительных неподвижных точек отображения F , приводящий для неразложимого отображения к существованию отрезка некоторого луча, исходящего из начала координат, сплошь состоящего из положительных неподвижных точек монотонного субоднородного отображения F . Заметим, что в работе [6] получен критерий существования и единственности положительного состояния равновесия монотонного субоднородного отображения (в терминах доминирующих собственных значений некоторых сопутствующих ему положительно однородных отображений), а также охарактеризовано асимптотическое поведение итерационного процесса (1) в случае отсутствия нетривиального состояния равновесия.

В работе [7] была доказана сходимость итерационного процесса (1) к некоторому положительному состоянию равновесия (в случае его существования) для частного случая сепарабельных монотонных субоднородных преобразований R ‘ в предположении их примитивности. Для произвольных монотонных субоднородных преобразований R‘ показано (в отсутствие предположений их неразложимости и примитивности) существование разбиения координат вектора (1) не более чем на три группы, принадлежность к которым означает соответственно сходимость координат вектора (1) к нулю, их неограниченное возрастание либо ограниченность и отделимость от нуля, причем это разбиение не зависит от выбора положительного начального состояния [8].

В работах [9; 10] приведен обзор исследований, связанных с изучением асимптотических свойств итераций монотонных субоднородных отображений в банаховых пространствах. Так, в работе [11, Theorem 2.1] для непрерывных монотонных субоднородных преобразований полиэдрального конуса в конечномерном банаховом пространстве получен основополагающий результат о существовании для любой точки x конуса, имеющей ограниченную (по норме) орбиту, такой p - периодической точки У с K , что lim F k ⁽ х ) = £ ( p ^ 1) .

к ^+^

Нас будет интересовать случай, когда помимо тривиального равновесия, существует положительное состояние равновесия итерационного процесса (1). Заметим, что если x положительная неподвижная точка отображения F и F(ax) = aF(х) при некотором 0 < a * 1, то F(aX) = aF(X) = aX и точка y = ax также является положительной неподвижной точкой отображения F . Поэтому при характеристике ситуации, когда положительное равновесие не является единственным, прежде всего следует рассмотреть случай, когда все положительные неподвижные точки лежат на одном луче, выходящем из начала координат. Достаточно давно известно, что для некоторых классов отображений эта ситуация не имеет альтернативы: при некоторых дополнительных предположениях можно показать отсутствие положительных неподвижных точек монотонного субоднородного отображения, лежащих на разных лучах. В работе [7] это свойство было установлено первоначально для монотонных субоднородных сепарабельных преобразований R ‘ в предположении их примитивности и впоследствии обобщено на случай произвольных монотонных субоднородных отображений при более слабом требовании неразложимости отображения [12]. Для дискретной субоднородной сильно монотонной динамической системы в банаховом пространстве единственность луча, содержащего неподвижные точки, была доказана в работах [13; 14].

Цель данной работы - доказать сходимость итерационного процесса (1) в классе монотонных субоднородных отображений в случае, когда положительное состояние равновесия не является единственным, используя аппарат обобщенных фейеровс-ких отображений.

Перейдем к обозначениям и определениям. Для стандартного частичного порядка, определяемого рассматриваемым конусом R ‘ , будем использовать следующие обозначения: x <  у (соотв. x <  у ) означает, что у - x е R ‘ (соотв. у - x е int R ‘ ). Кроме того, будем использовать обозначение x <  у в случае x <  у , x * у .

Для краткости будем иногда записывать вектор x = (x1,x2,

...

, x_q ) и отображение

F ( x ) = ( f _t ⁽ x ), f 2 ⁽ x ),..., f q ⁽ x ) ) в виде x = ( x i ) и F ( x ) = ( f i ( x ) ) соответственно. Если числа m, n целые и m ^ n , то множество целых чисел в промежутке [ m , n ] будем обозначать _{m , n} .

Дадим необходимые определения. Отображение F е { R ‘ ^ R q } называется монотонно возрастающим , если

V x , у е R + : x <  у ^ F ( x ) <  F ( у ) .

Монотонно возрастающее отображение будем иногда для краткости называть просто монотонным или возрастающим .

Отображение H е { R ‘ ^ R ‘ q } называется положительно однородным , если

H(ax ) = aH ( x ) ( V a >  0, x е R ‘ ) .

Основным требованием к отображению, генерирующему динамическую систему (1), в данной работе является его субоднородность. Отображение F е { R ‘ ^ R ‘ } называется субоднородным , если

V x е R ‘ V a е (0,1) F ( a x ) ^ a F ( x ) . (2)

Отображение F е { R ‘ ^ R ‘ } называется строго субоднородным , если неравенство (2) строгое.

Заметим, что свойство (2), определяющее субоднородность, равносильно следующему условию:

V x е R ‘ V e е (1, +^ ) F ( e x ) <  e F ( x ) . (3)

Далее будут использоваться также предположения неразложимости и примитивности нелинейного отображения, являющиеся обобщениями соответствующих свойств матриц (линейных отображений). Неотрицательная матрица A = [ a i , j ] порядка q ^ 2 называется разложимой , если выполнено с войство

3 I с 1, q , 0 * I * 1, q : a i j = 0 ( V i £ 1 , j е I ).

В противном случае матрица называется неразложимой .

В математической экономике общепринятым является определение неразложимости отображения, данное М. Моришимой в работе [1] при характеристике спектральных свойств монотонных положительно однородных отображений.

Дадим это определение в несколько иной форме, используя следующие группы коор динат векторов x, у е R‘ (x ^ у):

I ⁺ ( x , у ) = { j е 1, q : x j >  y j } ,

I ° ( x , у ) = { j е 1, q : x j = y j } .

Отображение F е { R ‘ ^ R ‘ } ( q ^ 2 ) называется разложимым , если

3 x , у е R + : 1 ⁰ ( x , у ) * 0 , I ⁺ ( x , у ) * 0 ,

I ⁺ ( x , у ) * 0 , 1 ⁰ ( x , у ) с 1 ⁰ ( F ( x ), F ( у ) )

Соответственно, отображение F называется неразложимым , если оно не является разложимым, т.е. если выполнено свойство

V x , y e R q : 1 0 ( x , y ) * 0,.

I ⁺ ( x , y ) *0 ^ 1 ⁰( x , y ) \ 1 ⁰ ( F ( x ), F ( y ) ) * 0

Для монотонно возрастающего отображения определение неразложимости отображения можно уточнить следующим образом:

V x , y e R q : 1 ⁰ ( x , y ) * 0 , I ⁺ ( x , y ) * 0 ^ ^ 1 ⁰ ( x , y ) П I ⁺( F ( x ), F ( y ) ) *0 . (4)

Существенным для характеристики асимптотических свойств итерационного процесса (1) является еще одно обобщение соответствующего понятия для матриц, понятие примитивности отображения [1, 2]. Неотрицательная матрица A = [ a i , j ] ( i , j e 1, q , q >  2 ) называется примитивной , если при некотором к = 1,2,... матрица A k положительна (т.е. все ее элементы положительны). В противном случае матрица называется импримитивной . Отображение F e { R q ^ R + } ( q у 2 ) называется примитивным в точке y e R q , если

Vx : x > y ^3 к > 1: Fk (x) > Fk (y), где F k итерация отображения F. Примитивное в точке y = 0 отображение будем также называть примитивным в нуле.

Асимптотические свойства итерационного процесса (1) с монотонно возрастающим субоднородным оператором шага определяются, как мы увидим далее, существованием или отсутствием положительных неподвижных точек этого отображения. Мы покажем здесь сходимость этого итерационного процесса к одной из положительных неподвижных точек в случае их существования.

Нам понадобится далее следующее простое утверждение, доказанное в работе [15].

Лемма 1. Пусть функция f (x) является субоднородной и монотонно возрастающей на R‘. Если f (x) = 0 для некоторого x > 0, то  f (x) = 0 на всем множестве

{ x e R ‘ q : 1 ⁰( x ) о 1 ⁰( x ) } .

В частности, если f ( x ) = 0 при некотором x >  0, то f ( x ) = 0 на R ‘ q .

2.    Характеристика асимптотических свойств итерационного процесса (1)

Естественно предполагать в дальнейшем отсутствие полностью нулевых компонент отображ е ния F :

• V i e 1, q 3 x e R q : f ( x ) >  0 .

В этом случае образ положительного вектора для субоднородного возрастающего отображения положителен:

V x e R ‘ : x > 0 ^ F ( x ) > 0 .

Действительно, предполагая проти вн ое, получаем существование номера i ₀ e 1, q и вектора x >  0, удовлетворяющих условию f i _o ( x ) = 0 , что приводит, в силу леммы 1, к равенству f i _o ( x ) = 0 . Таким образом, внутренность конуса R ‘ q инвариантна относительно монотонного субоднородного отображения:

F ( int R ‘ ) с int R ‘ . (5)

При анализе свойств субоднородных отображений и асимптотических свойств порождаемых ими итерационных процессов удобно использовать частный случай проективной метрики Гильберта - метрику Томпсона [16]. В ряде отечественных исследований эта метрика называется также метрикой Биркгофа, поэтому будем называть ее в дальнейшем метрикой Биркгофа-Томпсона. Следуя В.И. Опойцеву [17], на int R‘ будем ее использовать в виде р0( x, y) = min {а > 0: e-ax ^ y ^ ea x}. (6)

В метрике Биркгофа-Томпсона равенство p0 (x, y) = а означает выполнение неравенств e~ax ^ y ^ e ax , e "y ^ x^ eay.

Метрика ρ0 эквивалентна [17] евклидовой метрике, т.е. из сходимости последовательности в метрике Биркгофа-Томпсона вытекает ее сходимость в евклидовой метрике, и обратно. Класс субоднородных отображений определен таким образом, что именно метрика Биркгофа-Томпсона является наиболее подходящей для анализа свойств определяемых ими итерационных процессов. Известно (см., напр., [16]), что субоднородное возрастающее отображение является нерасширяющим в метрике Бирк-гофа-Томпсона на внутренности конуса в банаховом пространстве (в частности на внутренности конуса R+ пространства R‘ ):

V x , y e int R ‘ P o ( F ( x ), F ( y ) ) <  P o ( x , y ) (7) и, следовательно, является непрерывным на int R - . В работе [6] показано, что субоднородное возрастающеее отображение имеет непрерывное расширение на весь конус R ‘ . Это позволяет считать субоднородное возрастающее отображение непрерывным на всем R _- ^q .

Множество всех ненулевых (соотв. положительных) неподвижных точек отображения F будем обозначать N_F (соотв. N F ). Будем дополнительно предполагать отображение F неразложимым; в этом случае все его ненулевые неподвижные точки являются положительными [15]: N F = N_F .

При характеристике структуры множества положительных неподвижных точек субоднородного монотонного отображения F в работе [12] использовались множества

M _F ( x ) = { a >  0 : F ( a x ) = a F ( x ) } ,

H F ( x ) = { a x : a e M F ( x ) } и величины

^a F ^{( x} ) = inf ^M f ^{( x} ) , e _F ( x ) = sup M _F (x ) . ⁽⁹⁾

Здесь x произвольный ненулевой вектор. Множество MF (x) не пусто, так как всегда содержит в качестве элемента единицу. В работе [12] показано, что если это множество содержит более одного элемента, то оно является некоторым промежутком числовой оси. В этом случае (в предположении конечности величины βF(x) ) можно ввести в рассмотрение векторы xF (x) = aF (x)x, yF (x) = eF (x) x . (10)

Нетрудно заметить, что они не зависят от выбора конкретного элемента x . Если x > 0 некоторая неподвижная точка отображения F , то эти векторы являются, соответственно, наименьшей (xF) и наибольшей (yF) неподвижными точками отображения F (последняя существует только в случае PF (x) < -^ ) на луче, определяемом вектором x . Структура множества положительных неподвижных точек отображения F охарактеризована в работе [12], где доказано следующее утверждение об един- ственности луча, содержащего неподвижные точки.

Теорема 1. Пусть монотонно возрастающее субоднородное отображение F e { R ‘ ^ R - } ( F (0) = 0 ) является неразложимым. Тогда справедливы следующие утверждения:

• (1)    любая ненулевая неподвижная точка отображения F является положительной;

• (2)    положительная неподвижная точка x отображения F является единственной тогда и только тогда, когда M _F ( x ) = { 1 } . Если M F ( x ) >  1 , то множество всех неподвижных точек отображения F лежит на исходящем из начала координат луче, содержащем точку x , и совпадает с множеством H_F ( x ) , т.е.

  N F = N f =<

  
  

co { x f , y F } , P f ( x ) <+» , { ax : a e [1, +x ) } , в , ( x ) =+a . ⁽¹¹⁾

Здесь M обозначает число элементов множества M (для бесконечного множеств а по определению | M | = +» ).

Для использования метрики Биркгофа-Томпсона нам понадобится в дальнейшем следующая

Лемма 2. Пусть монотонно возрастающее субоднородное отображение F e { R ‘ ^ R - } ( F (0) = 0 ) является неразложимым. Тогда

V x e N f , a g M_F ( x )

3 t 0 : F t ( ax ) <

> ax , a e (0,1), , _x

-’       ’     ( V t >  1 0 ) .(12)

< ax , a >  1

Д о к а з а т е л ь с т в о. Докажем это свойство, например, для случая a e (0,1); случай a >  1 рассматривается совершенно аналогично.

Пусть x e N f . Из субоднородности и условия a g M_F ( x ) получаем F ( a x ) > a x . Обозначим

It = V e 1, q: f* (a x) > a x^}} (t = 1,2,...), I0 = {i e 1,q: f* (a x) = a x:}} (t = 1,2,...). Заметим, что при t ^ 1 справедливо включение /t0+1 c It (и, в частности, It СI10) или, что то же, It+ c It++1 (и, в част- ности, I‘ с It). Действительно, если i е It, то f+1 (a x) = f (F (a x )) > f (ax) > a x,, т.е. i е It++1 (t = 1,2,...) .

Из условия a £ MF (x ) вытекает, что 11 / 0 . Если I0 ^ 0 при некотором t, то, применяя свойство неразложимости (4) к векторам x = F*‘) (a x ), y = a x , получаем существование координаты с номером г е I0, для которой fi(x) = fi (F(t) (a x)) = = fi(‘+1)(a x)> ^(y) = f(a x) = a x^ т.е. г е It++1. Это означает, что либо I0 = 0 (и, следовательно, It = 1,q ), либо It с It++1 (V t = 1,2,...). _

В любом из этих случаев I ‘ = 1, q и, сле-довательнно, неравенство (12) будет гарантировано выполнено, начиная с t ₀ = q . Утверждение доказано.

При доказательстве теоремы о сходимости итерационного процесса (1) важную роль будет играть следующее обобщение понятия фейеровского отображения.

Определение 1. Пусть ρ ( x , y ) некоторая метрика, заданная на множестве M с R ‘ , W _с M . Непрерывное отображение F е { R + q ^ R q } называется ( р , W ) -фей-еровским отображением на множестве M с R ‘ , если выполнены следующие условия:

0^ W с M , F ( M ) с M , F ( x ) = x ( V x е W) , (13) V x е M \ W V y е W р ( F ( x ), y ) < р ( x , y ),(14) V x е M \ W 3 y е W , к >  1: р ( F k ( x ), y ) <  р ( x , y ) .(15)

Класс (р, W ) -фейеровских отображений содержит, в частности, так называемые фей-еровские отображения [3], использующие- ся в выпуклом анализе.

Теорема 2. Монотонно возрастающее субоднородное неразложимое отображение F е {R ‘ ^ R + } (F(0) = 0), примитивное на множестве KF = {"x: ае[0, +^), x е Nf }, является (р0, Nf ) -фейеровским отображением на int R ‘ .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Свойства (13), (14) при M = int R ‘ , W = N_F выполнены в силу свойств (5), (7). Докажем свойство

Пусть x е int R q, а = р0 (x, N f ), y = argр0 (x, N f ) .

Здесь x £ Nf , У е Nf , так что а > 0. По определению расстояния (6) имеют место неравенства e "y ^ x ^ e" y .                     (16)

Если e - " £ M _F ( y ) , то из (16) в силу монотонности отображения F с учетом (12) имеем: F t ( x ) > F t ( e " y ) > e " y ( V t : t >  t ₀ ) . Если же e - ^а е M_F ( y ) , то из определениям^) множества M_F ( y ) благодаря y е N f e - " y _е N_F , справедливо неравенство x >  e ^-a y . Отсюда в силу примитивности отображения F в точке _e ^{- a} y существует такое к , что F t ( x ) >  e - " y при всех t ^ к . Итак, в любом случае

F* ( x ) > e^-“y ( V t : t ^ 7 , t = max { к , 1 ₀ } ) .(17)

Далее, т.к. 1 е M_F ( y ) , для величины ^e F ⁽ у ) = suP ^M f ( у ) возможны два случая: либо e F ( У ) = 1, либо P _F ( y ) > 1. Если e F ( У ) = 1, то согласно определению (9) (см. также теорему 1) вектор y = y_F является максимальным элементом множества N_F . Это означает, что e " £ M_F ( y ) , т.к. в противном случае получаем, как и выше, F ( e " y ) = e " F ( y ) = e " y , что противоречит максимальности неподвижной точки y_F = у . Из e " £ M_F ( y ) в силу (16), с учетом (12) получаем: F t ( x ) ^ F t ( e " y ) < e " y ( V t : t ^ 1 ₀ ) , т.е.

F t ( x ) <  e " y ( V t : t >  1 0 ) .

Вместе с (17) это дает требуемое неравенство р0 (f* (x),У)< р(x,У)

( V t : t ^ t , t = max { к , 1 ₀ } ) .          (18)

Рассмотрим второй возможный случай, когда e F ( У ) >  1 и согласно теореме 1 множество положительных неподвижных точек N_F содержит все точки у е co { y , y_F } ( У <  У <  y_F ) . В этом случае неравенство (17) можно усилить: существует " ' е ( 0, "  ) , удовлетворяющее условию

F t ( x ) > e - " y ( V t : t >  t ') .            (19)

Действительно, поскольку согласно (17) Ft (x)> e^"y, то Ft (x) > e^"0y при некотором "0 е(0, ") , достаточно близком к a . Тогда F(x) > > Re'y)>e-"0Fy) = e-'y, и, следовательно, F (x)> e'y (vt: t > t +1). Выбирая теперь любое ' е(' 0, a), полу чаем F* (x)> e a0y > e a y, и (19) выполне но при *' = f +1.

Выбирая a ' е ( 0, a ) достаточно близким к a , получаем при y = e ^в y _е N_F , где в = a - a' > 0, для правой части неравенства (19): e "“'y = e ' e ^в y = e "У , так что при 1 >  1 ' опять выполнено неравенство (17), на этот раз для вектора y ( y <  y <  y_F ) :

F * ( x) > e" ^a y ( V 1 : 1 >  1 ') . (20)

Если e at M F(y ), то F1 (e ay ) < e ay в силу (12). Если же e 'е M F(y), то из (16) получаем F1 (x) < e ay < e ay и, с учетом (20), опять справедливо неравенство (18), на этот раз при 1 р t'. Итак, в любом из рассмотренных случаев справедливо (15). Те- орема доказана.

Следующее утверждение является аналогом теоремы о сходимости итераций фейе-ровского отображения [3, лемма 3.1].

Теорема 3. Если отображение F е { R + ^ R + } является непрерывным ( р , W ) -фейеровским отображением на множестве M , то итерационный процесс (1) сходится к некоторому элементу множества W при любом x ₀ е M .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Если при некотором 1 = 10 оказалось xt е W, то xt е W для всех 1 р 10 и заключение теоремы справед- ливо, поэтому достаточно рассмотреть случай xt t W (Vt = 0,1,2,...). Обозначим Pt ( У ) = Р( x., У ) (1 = 0,1,2,...), где x1 = F(xx0) , x0 е M , y е W . В силу свойства (14) последовательность {pt (урЗ является монотонно убывающей: Pt+Ху)< Pt (У) (V1 = 0,1,2,...) и, следовательно, сходится к некоторой величине р(у). Последовательность {xt р ограничена в силу неравенств р(x t, y) < р(x0, у) (V1 = 0,1,2,...) и, следовательно, содержит сходящуюся подпоследовательность {x ч } ; обозначим ее предел у'. Покажем, что У'е W.

Действительно, предполагая y 't W , получаем согласно (15) р ( F^s ( у 3, у ) <  р ( у ', у ) при некоторых s р 1 , у е W . Последовательность { ^x _tk + , } ⁺” 1 , где ^x _tk + , = F ⁽ x_k⁾( k = 1,2,...), в силу непрерывности отображения F сходится к элементу y" = F^s ( у ' ), поэтому Р ⁽ У ", У ⁾ = р ( ^Fs ⁽ У D, У ) <  Р ⁽ У \ У ⁾ =

= lim р(xt , у) = р(у) Мы получили, что к ^+ю     k llimр(xk +4,У ) < р(У ), но это противоречит тому факту, что любая подпоследователь-ностьпоследовательности {р(x t,y )j + ( имеет предел ρ( y ) . Полученное противоречие показывает, что у'е W. Поскольку lim р (у 3 = lim р(x , у 3 = 0 , в силу моно-к ^+да к        к ^+да к тонности последовательности {pt(у')}(” получаем lim pt(У3 = lim р(xt,УЭ = 0 , т.е.

V        t ^+х          t^+x llimxt = У , что и требовалось доказать.

Теперь мы можем, опираясь на два предыдущих утверждения, получить следующее утверждение о сходимости.

Теорема 4. Пусть N F ^ 0 . Если отображение F е { R + q ^ R + } является субоднородным, монотонно возрастающим ( F (0) = 0 ) , неразложимым и примитивным на множестве K F , то при любом x ₀ > 0 итерационный процесс (1) сходится к некоторому элементу множества N F .

Заключение

Как уже отмечалось, класс субоднородных отображений содержит, как граничный случай, положительно однородные и, в частности, линейные отображения. В линейном случае, когда F ( x ) = A x , предположения полученного утверждения о сходимости итерационного процесса (1) вполне согласуются с предположениями известного классического утверждения (см., например, [2, теорема 8.1]), согласно которому последовательность { ( A / Я ( A ) ) } для неразложимой матрицы а сходится^-тогда и тольк о тогда, когда существует такое k , что матрица A ^к положительна (т.е. когда матрица A примитивна).

Если F - положительно однородное отображение, то K_F - это множество его собственных векторов, соответствующих доминирующему собственному значению Л ( F ) (равному единице в случае N F _г0 ). Для сходимости итераций неразложимого положительно однородного отображения требуется [2, теорема 10.7] примитивность на множестве { 0, x } , где x е K F , которая приводит к примитивности на множестве K_F . Таким образом, и в этом граничном случае предположения утверждения о сходимости вполне согласуются с классическими.

Заметим в заключение, что имеющиеся утверждения о сходимости итерационных процессов общего вида наряду с самыми различными требованиями к ним обычно содержат в той или иной форме предположение типа примитивности задающих их отображений (см., например, обзоры в работах [1; 2; 6; 9; 10; 14; 16]). В связи с этим предложенное обобщение (13)-(15) понятия фейеровского отображения, по-видимому, может оказаться полезным в теории дискретных динамических систем, поскольку свойство (15) напрямую связано с понятием примитивности отображения.