О построении информационной структуры ситуационных задач на основе внутрипредметных связей для повышения эффективности обучения математике в вузе

Обновление целей и задач современного высшего образования на базе федерального государственного образовательного стандарта требует такой организации процесса обучения, которая обеспечивает изучение тем, разделов, модулей учебных дисциплин во взаимосвязи как межпредметной, так и внутри-предметной, а также предусматривает усиление их прикладной направленности.

Однако разрозненность знаний по различным разделам такой дисциплины, как математика, остается одной из проблем обучения в высшей школе. Подчас, изучая объект и его свойства в рамках одного раздела (например, «Векторная алгебра»), обучающиеся не распознают этот же объект при изучении другого раздела (например, «Аналитическая геометрия»). Формирование целостных представлений об объекте и его свойствах возможно посредством выявления внутрипредметных связей дисциплины.

Исследованием в области теории и практики реализации внутрипредметных связей (в том числе и в обучении математике) занимались А.А. Аксенов, В.А. Далингер, С.А. Зинин, Н.И. Коршунова, Р.Ю. Костюченко, П.И. Третьяков и др.

Обобщая результаты исследований, можно выделить общий подход к определению внутрипредметных связей, которые, являясь связями, существующими в науке и отраженными в учебной дисциплине, устанавливаются в процессе ее изучения посредством соответствующих методик, методов и средств обучения. В настоящей статье на основе внутри-предметных связей строится информационная структура ситуационных задач.

Под ситуационной задачей в психологопедагогической литературе понимают вид учебного задания, который отличается практико-ориентированным характером и содержит проблемный вопрос [1]. Ситуационные задачи как вид учебного задания позволяют на основе уже имеющихся знаний по предмету и личностного опыта осуществлять их перенос на решение не только математических, но и профессиональных задач, что требует распознавания математических объектов из различных разделов дисциплины и систематизации отношений между ними для моделирования ситуации.

Конструирование и применение ситуационных задач по математике, физике, химии, биологии описано в рамках школьного обучения (О.В. Акулова, О.Е. Лебедева, С.А. Писарева, Е.В. Пискунова, А.В. Хуторской и др.). В этой связи актуальность данного исследования обусловлена недостаточной разработкой ситуационных задач и их применением в высшем образовании. Авторами статьи разрабатываются модели ситуационных задач по разделам и модулям дисциплин «Математика», «Высшая математика» [4; 5].

Одна из особенностей ситуационной задачи по математике заключается в том, что для ее решения необходим некоторый объем предметных знаний по различным разделам. В этой связи можно утверждать, что ситуационная задача позволяет осуществить перенос знаний, полученных в процессе изучения математических объектов одного раздела (модуля) математики, в другие разделы [2].

Ориентируясь на трактовку Ю.Н. Кулют-кина, Л.М. Фридмана и др., в зависимости от характера требований мы различаем ситуационные задачи на распознавание, моделирование, доказательство, исследование и преобразование [4]. В рамках настоящей статьи раскроем информационную структуру ситуационных задач, отражающую внутрипредметные связи при обучении математике, на примере ситуационных задач на распознавание.

Одним из вариантов ситуационной задачи на распознавание являются задачи, в ходе решения которых устанавливается изоморфизм структур одного раздела или темы дисциплины с аналогичными структурами другого раздела. Так, введение понятия частной производной при изучении раздела «Дифференцирование функции нескольких переменных» предусматривает владение понятием производной функции одной переменной, знание ее свойств, правил и формул дифференцирования и т. д. Указанное отношение структур будем использовать для конструирования ситуационной задачи, описанной в статье.

Содержательными элементами любой ситуационной задачи, в том числе задачи на распознавание, являются название задания, личностно значимый познавательный вопрос, информация по вопросу задачи и требования задачи [1].

Ориентируясь на указанную структуру ситуационной задачи, опишем информационное наполнение каждого из ее элементов.

• 1.    Название задачи. Оно может быть сформулировано:

• •    в виде цитат (например: «Главное в этом мире не то, где мы стоим, а то, в каком направлении движемся» (Оливер Уэнделл Холмс); «Если не хочешь топтаться на месте, надо искать новые пути» (Бернар Вербер));

• •    на основе исторических трактатов, связанных с соответствующим математическим объектом (например: «Метод флюксий и бесконечных рядов» – название позаимствовано из одноименной работы (написана в 1670– 1671 гг., издана в 1736 г.) И. Ньютона, в которой описана связь между двумя объектами математического анализа, называемых флюэн-той и флюксией);

• •    в форме пословиц, поговорок, крылатых высказываний (например: «Где путь прямой, там не езди по кривой», «Поспешай, да не торопись»).

• 2.    Познавательный вопрос. Данный содержательный элемент необходимо сформулировать таким образом, чтобы он отражал описание процессов функциями одной и нескольких переменных или выявлял связь между операторами этих функций. Предлагаем несколько вариантов формулировки познавательного вопроса ситуационной задачи.

• •    Пусть функция В = 2 t ² + 5 t + 19 выражает количество произведенной продукции за время t , тогда производительность труда находят дифференцированием функции Р . Поток пасса-

• жиров выражается функцией z = x , где х - число y

пассажиров, у – расстояние между городами. Как будет меняться поток пассажиров при постоянном расстоянии между городами? Какое математическое понятие поможет установить эту зависимость?

• •    При описании процессов различной природы (физических, экономических и пр.) изменение одной переменной величины вызывает изменение другой величины. Например, функция D = 2 t ² + 5 t + 19 выражает количество произведенной продукции за время t. Но чем сложнее процесс, тем больше переменных величин он связывает, следовательно, изменение одной переменной величины может быть продиктовано изменением двух, трех и более величин.

Например, площадь прямоугольного треуголь-с катетами a, b: S = —ab - функция двух независимых переменных; потенциальная энергия взаимодействующих зарядов: E = k q ¹ q ² - функция трех независимых переменных.

Могут ли понятия математического анализа, определенные для функции одной переменной, быть перенесены на случай нескольких переменных? Какие это понятия?

• •    Даны две группы объектов.

Группа 1:

• а)    о = 2 t ² + 5 t + 19 ;

• б)    зависимость силы тяжести F от массы тела m;

• в)    математическое понятие, отраженное в поговорках «Тише едешь – дальше будешь», «Чем дальше в лес, тем больше дров».

Группа 2:

• г)    y = х 2 - 6 x ₂ + 8 x 3 ;

• д)    зависимость силы притяжения тел F от их масс m ₁, m ₂ и расстояния между телами r ;

• е)    математическое понятие, отраженное в поговорке «Щи да каша – пища наша».

• 3.    Информация по вопросу задачи. Информация по вопросу должна содержать как теоретический материал раздела «Функции нескольких независимых переменных», так и примеры процессов из различных областей знаний, в том числе и профессиональных, связанных со скоростью изменения функции одной переменной и скоростью изменения функции нескольких переменных в различных направлениях, исследование на экстремумы функции одной и двух переменных, метод наименьших квадратов и т. д.

• 4.    Требования ситуационной задачи. Задания для работы с информацией по вопросу задания должны быть направлены на выявление основных свойств функции нескольких переменных и ее частных производных, а также понятий, свойств, связанных с ней и описанных в содержательной части задачи. Основной целью заданий является установление соответствия между основными свойствами и операциями дифференцирования функции одной переменной и функции нескольких переменных. Например, на основе выделенных Л.С. Илюшиным учебных целей, которые раскрываются через систему действий обучающихся [3], могут быть предложены следующие задания.

Какое математическое понятие объединяет предложенные объекты группы 1? Что объединяет объекты групп 1 и 2? Какие различия между объектами этих групп?

• 1.    Ознакомление (актуализация информации, выбор объекта изучения и выявление фактов, понятий, принципов, закономерностей, связанных с ним).

• 2.    Понимание (постановка вопросов, которые направлены на выявление изоморфизмов, характеризующих отношения изучаемых объектов).

• 3.    Применение (формулировка понятия и свойств изучаемого объекта в контексте задачи, использование знаний из различных областей для ее решения).

• 4.    Анализ (выявление отличий между фактами и предположениями, формулировка гипотезы на этой основе).

• 5.    Синтез (обоснование и представление выбранного способа изложения на основе проведенного исследования).

• 6.    Оценка (поиск оптимальных путей познания нового на основе изученного ранее).

Составьте список понятий, относящихся к дифференциальному исчислению функции одной переменной (этимология терминов и их семантический анализ).

Перечислите аналогичные понятия, относящиеся к дифференциальному исчислению функции нескольких переменных. Выделите общую основу, по которой проведены аналогии.

Приведите примеры упоминания и практического применения следующих объектов, относящихся к дифференциальному исчислению функции нескольких переменных (например: дифференциал, экстремум, градиент и пр.) в других дисциплинах.

Выявите общие принципы, лежащие в основе дифференциального исчисления функции одной независимой переменной. Раскройте особенности их реализации для функций нескольких переменных.

Разработайте план (составьте схему, алгоритм, таблицу), который позволяет изложить материал раздела «Дифференцирование функции нескольких переменных», опираясь на содержание раздела «Дифференцирование функции одной переменной».

Сравните последовательность и логику изложения материала по составленному плану (схеме, алгоритму, таблице) с кратким содержанием раздела, предложенным преподавателем (представленным в учебной литературе, предложенным другими обучающимися).

При формулировании требований ситуационной задачи также были учтены такие положения, как опора на личностный опыт, интересы обучающихся, возможность выбора формы организации работы, возможность выбора способа ее выполнения.

Новизна проведенного исследования состоит в том, что:

• •    предложен один из подходов к информационному наполнению элементов ситуационной задачи на основе внутрипредметных связей;

• •    описаны содержательные элементы ситуационных задач, отражающих внутрипред-метные связи, на примере задачи на распознавание.

Сравнительный анализ опросов, проведенных в процессе изучения раздела «Дифференцирование функции нескольких переменных» с включением в его содержание ситуационных задач, показал динамику изменения мнения обучающихся первого курса о наличии и взаимообусловленности внутрипредметных связей:

• 1)    двух разделов математики (с указанием разделов) – с 34 до 59%;

• 2)    трех разделов математики – с 14 до 24%;

• 3)    более чем трех разделов математики – с 2 до 17%.

Сравнительный анализ успеваемости и качества знаний по разделу «Дифференцирование функции нескольких переменных» на основе результатов проведенной проверочной работы показал, что включение в содержание обучения ситуационных задач позволило повысить результативность обучения на 14% по сравнению с результатами, полученными при традиционной форме обучения. Результаты сравнительного анализа свидетельствуют о повышении эффективности обучения с включением ситуационных задач.

Исследования проводились в течение 2017/18 уч. г., 2018/19 уч. г. на базе Омского университета путей сообщения (специальность «Системы обеспечения движения поездов») и Омского государственного аграрного университета имени П.А. Столыпина (направление подготовки «Геодезия и дистанционное зондирование»). В исследовании приняли участие 73 студента первого курса.

Таким образом, теоретический анализ и эмпирический опыт авторов по применению ситуационных задач в обучении математике позволяет утверждать: обучение посредством включения ситуационных задач с информационной структурой, построенной на основе внутрипредметных связей, обеспечивает формирование целостного представления о математике посредством внутрипред-метных связей ее разделов, что способствует повышению эффективности обучения математике в вузе.

Перенос знаний на уровне языка, теории, прикладной части одного раздела дисциплины на другие разделы обеспечит всестороннее изучение объектов, прикладная направленность которых реализуется в профессиональной деятельности, что позволит сформировать единую естественно-научную картину.