О проективно конечных пространствах

В работе [1] А.В. Архангельский ввел понятие проективной мощности топологического пространства как точной верхней грани мощности всех сепарабельных метризу-емых пространств, являющихся образами этого пространства при открытых непрерывных отображениях. Там же поставлен ряд вопросов о структуре проективно конечных и проективно счетных пространств. Спрашивается, в частности, — может ли проектив-но конечное пространство содержать нетривиальную сходящуюся последовательность. В данной работе строится проективно конечное (а потому и проективно счетное, а также проективно дискретное) тихоновское пространство, мощность и вес которого равны с = 2 ^К 0 . Кроме того, это пространство содержит нетривиальные сходящиеся последовательности.

Напомним, что отображение / : X ^ У топологических пространств называется открытым, если образ / (U ) любого открытого множества U С X открыт в У . Все необходимые определения можно найти в [1; 2]. Все отображения предполагаются непрерывными.

Основные результаты работы:

Теорема 1. Существует связное метризуемое проективно одноточечное пространство веса с = 2 ^К 0 .

Теорема 2. Для любого кардинала т >  2 ^К 0 существует связное проективно одноточечное пространство веса т , которое содержит гомеоморфный образ любого тихоновского пространства веса <  т .

1.    Открытые отображения подмножеств прямой

Лемма 1. Пусть X = (а, Ь) — интервал числовой прямой, а <  Ь , и / : X >  У — непрерывное открытое отображение на тихоновское пространство У , состоящее более чем из одной точки. Тогда:

• (1)    Если у Е Y , то множество / ^-1 (у) не имеет предельных точек в X .

• (2)    Для любого х Е X найдутся такие числа а и 3 , что а < х < 3 и ограничения / на полуинтервалы (а, х] и [х, 3 ) взаимно однозначны (и потому являются гомеоморфизмами).

• (3)    Для любого у E Y найдется такая окрестность Оу точки у , которая гомеомор-фна или интервалу или полуинтервалу числовой прямой.

Доказательство. (1) Допустим, что существует последовательность хп различных точек X, которая сходится к некоторой точке х Е X и для которой /(хп) = у при всех п. Выберем интервал U С X, который содержит х и для которого Y \ /(U) = 0. Пусть п — такое число, что хп,хп+1,хп+2 Е U. Положим а = тт{хп,хп+1,х„+2} и 3 = тах{х„, х„+1, х„+2}.

Тогда образ Z = /((а,3)) интервала (а, 3 ) при отображении / совпадает с образом отрезка [а,3 ]. При этом первое множество открыто, а второе замкнуто (ввиду компактности образа отрезка). Так как Y связно, заключаем, что Z = Y . Однако Y \ Z ^ Y \ \ /(U ) = 0. Противоречие с выбором U показывает, что / ^-1 (у) не может содержать предельных точек.

• (2)    Используя (1), выберем число а 1 , для которого отрезок [а 1 ,х] пересекает множество / ^-1 /(х) по единственной точке х, причем образ этого отрезка не совпадает с Y . Если / взаимно однозначно на отрезке [а 1 ,х], то заключению свойства (2) удовлетворяет число а = а 1 . Пусть теперь найдутся точки t 1 , t ₂ , для которых а 1 <  t 1 < t ₂ <  х и / (t i ) = / (t 2 ). Тогда / (t 2 ) = / (х), поэтому t 2 < х.

Если / взаимно однозначно на отрезке [t ₂ ,х], то заключению свойства (2) удовлетворяет число а = t ₂ . В противном случае найдутся точки t ₃ , t ₄ , для которых t ₂ <  t ₃ < < < 4 <  х и /(£ 3 ) = /(£ 4 ).

Положим Z = /((t 1 ,t ₄ )). По построению Z = /([t 1 ,t ₄ ]). Ясно, что Z открытозамкнуто в Y , поэтому Z = Y. Однако это противоречит выбору числа а 1 . Противоречие показывает, что заключению свойства (2) удовлетворяет число а = t ₂ . Существование числа 3 доказывается аналогично.

• (3)    Пусть у Е Y . Фиксируем х Е X с условием у = /(х). Пусть числа а и 3 выбраны для х в соответствии со свойством (2). Если ограничение / | (_а,_/3) взаимно однозначно, то оно является гомеоморфизмом и за искомую окрестность точки х можно принять, например, /((а,3)).

Пусть теперь найдутся точки х 1 ,х ₂ Е (а, 3), для которых /(х 1 ) = /(х ₂ ). Выбор а и 3 гарантирует, что а < х 1 < х < х ₂ < 3 . Используя открытость отображения /, теперь несложно проверить, что /((х 1 ,х)) = /((х, х ₂ )). Поэтому за искомую окрестность точки у можно принять / ((х 1 , х]).

Лемма 2. Пусть X = [a, b] U [а ' , b ' ] — объединение двух отрезков числовой прямой, а < b <  а' <У , и / : X >  Y — непрерывное отображение в тихоновское пространство. Пусть заданы множества F и F ' , причем F = { а, b } или F = { а } , F ' = { а ' , b ' } или F ' = { а ' } . Пусть U = [а, b] \ F , U ' = [а ' , b ' ] \ F ' и ограничения отображения / на множества U и U ' являются открытыми отображениями. Пусть /(U ) П /(U ' ) = 0 , /(F) П /(U ' ) = 0 и /(U) П /(F ' ) = 0 . Тогда /(U) = /(U ' ) и /(F) = /(F ' ) .

Доказательство. Допустим, что /(U) С /(U'). Тогда U не содержится во множестве М = /-1 (/(U')). В то же время U П М = 0, поскольку /(U) П /(U') = 0. Так как U связно, из сказанного следует существование точки t Е U, которая является граничной для множества М.

Выберем такие точки х _п Е М , что последовательность х _п сходится к точке t. При любом п выберем точку х П Е U ' с условием /(х П ) = /(х _п ). Тогда последовательность х П имеет на отрезке [а ’ ,^ ’ ] некоторую предельную точку t ' . Ясно, что / (t) = / (t ' ). Из / (U ) П / (F ' ) = 0 получаем t ' Е U ‘ . Но тогда t Е М , поэтому t — внутренняя точка М , поскольку М открыто. Противоречие с выбором точки t показывает, что / (U ) С / (U ‘ ). Аналогично проверяется обратное включение. Следовательно, / (U ) = / (U ‘ ). Поэтому / (U U F) = / ([U ]) = /([U ‘ ]) = / (U ‘ U F ‘ ). Теперь легко закончить доказательство леммы.

Лемма 3. Пусть / : X >  V — непрерывное открытое отображение тихоновских пространств и / (ж 1 ) = /(х ₂ ) для некоторых различных точек х 1 ,х ₂ Е X . Пусть Л — такое подмножество X , для которого х ₂ Е [Л] \ Л . Пусть также 0x 1 и 0x 2 — открытые окрестности точек х 1 и х ₂ соответственно. Тогда найдутся точки х' 1 Е Е 0x 1 и Х 2 Е 0x 2 П Л , для которых / (х 1 ) = /(х 2 ) .

Доказательство. Множество U = / - 1 /(0х 1 ) П 0х ₂ является окрестностью точки х ₂ , поэтому из х ₂ Е [Л] \ Л следует существование точки х '₂ Е U П Л. Из х' ₂ Е U следует /(х 2 ) Е /(0х 1 ), поэтому найдется точка х' 1 Е 0х 1 , для которой /(х ' 1 ) = /(х 2 ).

Лемма 4. Пусть / : X >  V — непрерывное открытое отображение тихоновских пространств, X связно и V = /(X) . Пусть С — открытое связное подмножество X , а х 1 Е X \ С и х ₂ Е С такие точки, что / (х 1 ) = /(х ₂ ) и С U { х 1 } — компакт. Тогда /(С) = V .

Доказательство. Множество V 1 = /(С) открыто в V как образ открытого множества при открытом отображении. Множество же V 2 = /( { х 1 } U С ) замкнуто в V ввиду компактности { х 1 } U С . Из /(х 1 ) = /(х ₂ ) получаем V 1 = V 2 . Следовательно, V 1 = = /(С) — открыто-замкнутое подмножество связного пространства V, поэтому /(С) = = V 1 = V .

2.    Пространство D

Рассмотрим на координатной плоскости точки а = (0,0) и Ь _п = (2- , 4 -), п = = 1, 2, 3,... Пусть D — подмножество плоскости, являющееся объединением отрезков ^ п ^{[ а}, М , ^{п 1} , 2, . . .

Точку х тихоновского пространства X будем называть г-точкой, если она имеет открытую окрестность, которая гомеоморфна или интервалу или полуинтервалу числовой прямой. В последнем случае х является тем концом полуинтервала, который содержится в этом полуинтервале.

Лемма 5. Пусть X ₀ — связное замкнутое подмножество плоскости, пересекающее множество D по единственной точке а . Пусть X = X ₀ U D — подмножество плоскости с обычной евклидовой метрикой и / : X >  V — непрерывное открытое отображение на тихоновское пространство V . Пусть / (а) = / (х) для некоторой г -точки х ₀ Е X . Тогда V состоит из одной точки.

Доказательство. Допустим, что | У | > 1. Тогда по лемме 1,(3) у = /(ж ₀ ) является г-точкой, поэтому найдется открытая окрестность Оу точки у и гомеоморфизм ^ : Оу ^ ^ R на связное подпространство У ‘ числовой прямой.

Пусть отображение д : / ^-1 (Оу) ^ У ‘ определено формулой д(ж) = ^(/(ж)). Тогда д — непрерывное открытое отображение. Положим у ₀ = д(а).

Так как любая окрестность точки а содержит все отрезки 1 _п , начиная с некоторого номера, найдется такой номер п ₀ , что / (1 _п ) С Оу при п >  п ₀ . Ясно, что д(1 _п ) С У ‘ при п >  п ₀ .

Допустим, что д(1 _п ) = { у ₀ } при некотором п. Тогда д(1 _п \ { а } ) = { у ₀ } , причем д(1 _п \ { а } ) открыто в У ‘ , поскольку 1 _п \ { а } — открытое в X множество, а д — открытое отображение. Связность У ‘ дает У ‘ = { у ₀ } , откуда следует У = { /(а) } и лемма доказана.

Предположим теперь, что | д(7 _п ) | > 1 для всех п. Тогда д(1 _п ) при любом п > п ₀ — отрезок числовой прямой, поскольку это множество связно, компактно и лежит в R . Концы этого отрезка обозначим а _п , Р _п , где а _п < Р _п . Ясно, что а _п <  у ₀ <  Р _п .

Так как д непрерывно, а любая окрестность точки а содержит все отрезки 1п, начиная с некоторого номера, справедливы равенства lim ап = уо = lim Р„. п^^       п^^

Поэтому будут выполнены условия хотя бы одного из следующих случаев.

Случай 1. у ₀ < Р _п < Р _т при некоторых п, т. В этом случае множество 1 _п \ { а } открыто в X, а его образ д(1 _п \ { а } ) не открыт в У ‘ , поскольку точка Р _п принадлежит этому образу, но не является его внутренней точкой. Противоречие с открытостью отображения д показывает, что этот случай невозможен.

Случай 2. а _п < а _т < у ₀ при некоторых п,т >  п ₀ . Этот случай рассматривается аналогично. Выясняется, что и этот случай также невозможен.

Случай 3. ^ _п = у ₀ = Р _п при всех п > п ₀ . Однако, как показано выше, в этом случае У = { /(а) } .

Лемма 6. Пусть X = X ₀ U D , где X 0 — связное замкнутое подмножество плоскости и X 0 П D = { а } . Пусть X наделено обычной евклидовой метрикой и / : X >  У — непрерывное открытое отображение на тихоновское пространство У , причем | У | > > 1 . Тогда:

• (1)    Ограничение / | / _п взаимно однозначно (и потому является гомеоморфизмом) при любом п .

• (2)    Если /(1 _п \ { а } ) П / (1 _т \ { а } ) = 0 при некоторых п и т , то /(1 _п \ { а } ) = /(1 _т \ { а } ) и /(Ь _п ) = /(Ь т ) .

• (3)    Для любого п множество М = { т : /(1 _п \ { а } ) П /(1 _т \ { а } ) = 0} конечно.

Доказательство. (1) Допустим, что / (ж 1 ) = / (ж ₂ ) для некоторых различных точек х 1 ,х ₂ G 1 _п = [а, Ь _п ]. Считаем, что точка ж ₂ лежит между точками ж 1 и Ь _п или же ж ₂ = Ь _п (в противном случае ж 1 и ж ₂ меняем местами). Пусть С — та компонента связности множества 1 _п \ { ж 1 } , которая содержит точки ж ₂ и Ь _п . По лемме 4 верно /(С) = У. Поэтому найдется точка ж ₃ G С , для которой /(ж ₃ ) = /(а). Ясно, что ж ₃ является г-точкой, поэтому из равенства /(ж ₃ ) = /(а) по лемме 5 следует | У | = 1. Противоречие с условием доказываемой леммы завершает доказательство пункта (1).

• (2)    При любом п множество / (1 _п \ { а } ) открыто в У, а множество /(1 _п ) замкнуто в нем (ввиду своей компактности), а также связно. Из (1) следует, что /(а) / /(1 _п \ { а } ), поэтому множество У _п = /(1 _п \ { а } ) открыто-замкнуто в подпространстве У \ { /(а) } и

• потому является компонентой связности. Известно, что две компоненты связности или не пересекаются или совпадают. Поэтому из У П Ут = 0 следует У" = Ут, откуда легко заключить, что /(Ь") = /(Ьт).

• (3)    Множество V = /^-1(У \ {/(Ь")}) является окрестностью точки а. Допустим, что М бесконечно. Тогда найдется т Е М, для которого 1_т С V. Но тогда /(1_т) С У \ \ {/(Ь")}, откуда /(Ьт) = /(Ь"), что противоречит свойству (2).

3.    Пространство Е

Рассмотрим на координатной плоскости следующие точки:

_         _ /1 \      _ /11 \       _/1    1   1     1   \

С ( , ),   0    ( 2 , у , "    \ 2 ’ 2" у и е"т    \ 2 + 2"+т ’ 2" + 2" • 4т у ’ где п, т = 1, 2,3,... Положим

^D "       ^U{ ^[d " , ^е "т ^] • ^{т 1} , ² , . . . } ,

J "         [С, ^d " ^{] U} D " , где • ^{п 1} , ² , . . . } ,

Е = U{ J " :п = 1, 2,... } .

Отметим, что если ко множеству D (из предыдущего раздела) применить гомотетию с коэффициентом 2 n , а затем произвести параллельный перенос на вектор (2 , 2 n), то получим множество D " .

Лемма 7. Пусть X — объединение множества Е и интервала на плоскости с концами ( — 1,0) и (1,0) , рассматриваемое с обычной метрикой плоскости. Пусть / • X >  У — непрерывное открытое отображение на тихоновское пространство У , состоящее более чем из одной точки. Тогда:

• (1)    Ограничение / | [ d _n , _{e ni} ] взаимно однозначно (и потому является гомеоморфизмом) при любых п, г .

• (2)    Множество /((d " ,e " _i ]) является компонентой связности в подпространстве У \ { /(d " ) } при любых п,г .

• (3)    Для любого п множество М = { т • /(d, „ ) = /(d " ) } конечно.

• (4)    Ограничение / | [_c , _{d n} ] взаимно однозначно (и потому является гомеоморфизмом) при любом п .

Доказательство. (1) следует из леммы 6 и гомеоморфности D и D "

• (2)    вытекает из того, что /((d " ,e " _i ]) открыто в У , /([d " ,e " _i ]) замкнуто в нем и /(d " ) Е /((d " ,e "i ]) (по свойству (1)).

• (3)    Допустим, что при некотором п множество М бесконечно. Положим ^ ₀ = /(d " ). Так как последовательность д _т сходится к точке d ₀ = (2, 0), получаем /(d ₀ ) = ^ ₀ .

Из леммы 6, (3) следует существование таких г и у, для которых множества У " = / ((d " ,e "i ]) и У^ = / ((d " ,e "j ]) дизъюнктны. Рассмотрим окрестность V = У \ \{ /(е " ), / (e _Tij ) } точки ^ ₀ . Так как любая окрестность точки d ₀ содержит все множества D ^ , кроме, быть может, их конечного числа, а множество М бесконечно, найдется номер т Е М , для которого / (D , ) С V.

По свойству (1) (и ввиду выбора г, у) множества У " _г и У "^ являются различными компонентами связности в пространстве У \ { ^ ₀ } . Связное множество / (( с, d _m )) лежит в том же подпространстве, поэтому оно не может пересекать одновременно компоненты У " _г и У- nj . Пусть для определенности оно не пересекает первого из этих множеств.

Применяя лемму 3 при х 1 = d _m , х ₂ = d _n , 0х 1 = J _m \ { с } , 0x 2 = J _n \ { с } и Л = (d _n ,e _ni ), выберем точки Х 1 G J _m \ { с } и Х 2 G (d _n ,e _ni ), для которых /(х 1 ) = /(х ' 2 ). Так как У п П /(с, d _m ) = 0, найдется такое к, что х ' 1 G (d _m , e _mk ].

Положим у' = /(х 1 ). Тогда

/ ((d n ,e_Tl iY ) П / ((d m , e mk ]) D { у' } = 0.

Из / (d _m ) = /(d _n ) и свойства (2) следует, что y _mk является компонентой связности множества У \ { у ₀ } . Поэтому эти компоненты совпадают:

/ ((dn,eni]) — У ((dm,emk]), откуда

/ (eni) = / (emk), что противоречит включению /(Dm) С V. Противоречие завершает доказательство свойства (3).

• (4)    Допустим, что /(х1) = /(х₂) для некоторых различных точек х1,х₂G [с, d_n]. Считаем, что точка х₂лежит между точками х1 и d_nили же х₂= d_n (в противном случае х1 и х₂меняем местами). Пусть С — та компонента связности множества J_n \ \ {х1}, которая содержит точки х₂и d_n. По лемме 4 верно /(С) = У. Пусть т > 1 — любое целое число. Тогда /(d_m) G У = /(С), поэтому /(d_m) = /(х) для некоторой точки х G С. Если х — г-точка, то |У| = 1 по лемме 5, что невозможно. Единственной не г-точкой в С является d_n. Поэтому /(d_m) = /(d_n). Следовательно, /(d_m) = /(d_n) при всех т. Противоречие со свойством (3) завершает доказательство свойства (4).

4.    Классификация точек

Точку х тихоновского пространства X назовем a-точкой, если существует такая открытая окрестность 0х точки х, замыкание которой представимо в виде [0х] = {J{Z_n : : п = 1, 2, 3,... } , где каждое Z _n гомеоморфно отрезку числовой прямой, причем Z _n \ { х } связно, Z _n П Z _m = { х } при различных т, п и любая окрестность точки х содержит все Z _n , начиная с некоторого номера.

Для удобства введенные ранее в разделе 2 г-точки будем называть также точками типа 1, а a-точки — точками типа 2.

Рассмотрим еще три типа точек в тихоновском пространстве X.

Точку х G X назовем точкой типа 3, если существует последовательность х _п G X \ \ { х } a-точек в X, которая сходится к х.

Точку х G X назовем точкой типа 4, если для этой точки существует такая окрестность 0х, которая не содержит a-точек и имеет бесконечно много компонент связности.

Точку х G X назовем точкой типа 5, если для этой точки имеется счетная база 0 _п ( х ) связных окрестностей, каждая из которых содержит точки типа 5.

Отметим, что в пространстве X из леммы 7 a-точками являются точки d _n (и только они), точкой типа 3 является d ₀ , точками типа 4 являются точки интервала (с, d ₀ ), а точкой типа 5 является с. Все остальные точки этого пространства являются г-точками (то есть точками типа 1).

Лемма 8. Пусть / : X >  У — отображение из леммы 7. Пусть х G X и у = / (х) . Тогда:

• (1)    Если х — точка типа к , где к = 1,2,3,4,5, то и у — точка типа к .

• (2)    Если х 1 G X — точка типа к , х ₂ G X — точка типа / и к = / , то /(х 1 ) = /(х ₂ ) .

Доказательство. (1) вытекает из лемм 5 и 7.

• (2)    следует из (1), а также того факта, что точка у Е Y не может быть одновременно точкой типа к и точкой типа I при различных к и /.

5.    Пространство L(0)

Пусть 9 = (9 1 , 9 2 , ...) — последовательность из нулей и единиц и

F „ (9) = {

D, если 9 _п = 0,

Е , если 9 _п = 1.

Пусть также L(9) — подмножество плоскости, определяемое равенством

L(9) = S U |JK(Fn(9)) : n = 1, 2, 3,...}, где S = {(ж, 0) : ж > 0,ж Е R} — луч на плоскости, а ж„ — параллельный перенос плоскости на вектор (n, 0). Множество L(9) будем рассматривать в обычной топологии плоскости, индуцированной евклидовой метрикой. Через О будем обозначать точку на плоскости с координатами (0, 0). В дальнейшем будем также предполагать, что выполнены следующие условия:

• (£ 1 ) последовательность 9 не содержит двух нулей подряд;

• (« 2 ) 9 1 = 1;

• (£ 3 ) последовательность 9 не является периодической.

Лемма 9. Пусть / : L(9) >  Y — непрерывное отображение на тихоновское пространство, состоящее более чем из одной точки, причем ограничение / на L(9) \{ О } является открытым отображением. Тогда пространства /(L(9) \ { О } ) и L(9) \ { О } гомеоморфны.

Доказательство. Положим

L 1 (9) = { ж Е L(9) \ { О } : ж — точка типа 1 } .

Множество L 1 (9) распадается на компоненты связности. Для точки ж Е L 1 (9) обозначим через Ж (ж) компоненту связности, содержащую точку ж, а через F (ж) — множество ee граничных точек в L(9). Ясно, что Ж (ж) — это интервал или полуинтервал на плоскости, а F(ж) состоит из одной или двух точек, имеющих тип, больший 1. Единственным исключением является компонента, граничными точками которой являются точки с координатами (0,0) и (1, 0). Тип первой из этих точек пока не определен. Далее доказательство разбивается на ряд отдельных шагов.

• (1)    Пусть ж Е S — точка типа 2. Тогда существует (и единственна) точка ж ’ Е S типа 3 такая, что интервал U с концами ж и ж ’ состоит из точек типа 1.

• (2)    Во множестве L(9) \ S нет интервала, состоящего из точек типа 1, концы которого имели бы тип 2 и 3.

По лемме 2 из (1) и (2) следует:

• (3)    /(U) П /(L(9) \ S) = 0 , где U — интервал из пункта (1).

• (4)    Пусть d Е L(9) \ S — точка типа 2. Тогда /(d) Е /(S).

Для проверки (4) допустим, что / (d) = /(ж), где ж G S. Тогда ж — точка того же типа, что и d, то есть точка типа 2. Пусть U — интервал, выбранный для ж в соответствии со свойством (1).

Пусть Od — такая окрестность точки d, все точки которой являются г-точками и Od П S = 0 . Тогда / - 1 (/(Od)) — окрестность точки ж, поэтому из ж G [U] \ U следует существование точки и G U П / - 1 (/(Od)). Тогда / (и) G /(Od), поэтому существует точка ж G Od, для которой / (и) = /(ж), поэтому / (и) G / (U) П /(L(6) \ S ), что противоречит свойству (3). Свойство (4) доказано.

• (5)    Пусть ж G L(6) \ S . Тогда /(d) G / (S ).

Для проверки (5) допустим, что /(ж) = /(ж ‘ ), для некоторой точки ж ’ G S . Тогда по свойству (4) ж не может иметь тип 2. Так как L(6) \ S состоит из точек типа 1 и 2, заключаем, что ж и ж ’ — точки типа 1. Поэтому для них определены интервалы W (ж) и W (ж ‘ ) с множествами граничных точек F (ж) и F(ж ‘ ) соответственно. По лемме 2 имеем / (F (ж)) = / (F (ж ’ )). Из ж G L(6) \ S следует, что F (ж) состоит или из двух точек типа 2 и 5 или из одной точки типа 2. В любом случае F (ж) содержит точку ж ₀ типа 2. Но тогда по свойству (4) /(ж ₀ ) G / (S ), что невозможно, поскольку / (F (ж)) = / (F (ж ’ )) и F (ж ‘ ) С S. Свойство (5) доказано.

Из открытости отображения / и свойства (5) следует свойство (6).

• (6)    Ограничение / на S является открытым отображением.

Используя тот факт, что последовательность 6 не периодическая, и рассуждая, как при доказательстве свойств (1)–(4), несложно убедиться, что справедливо свойство (7).

• (7)    Ограничение / на S \ {O} взаимно однозначно и потому является гомеоморфизмом.

6. Пространство К

Из свойства (7), а также лемм 6 и 8 вытекает гомеоморфность пространств /(L(6) \ { O } ) и L(6) \{ O } .

Пусть 0 — множество всех последовательностей из нулей и единиц, удовлетворяющих свойствам (t 1 )-(t ₃ ). Ясно, что | 0 | = 2 ^К 0 . Пусть

К = фДО) : 6 6 0} — дизъюнктная сумма метрических пространств. При каждом 6 G 0 обозначим через рд (ж, у) обычную евклидову метрику на пространстве L(6). Пусть также Og — точка с координатами (0, 0). Склеим все точки Og, 6 G 0, в одну точку O*. В полученном множестве К можно ввести метрику р(ж, у) следующим образом:

Если ж, у G L(6) \ { O _g } при некотором 6, то р(ж, у) = р _д (ж, у).

Если ж G L(6) \ { O _g } , то р(ж, O * ) = р _д (ж, O _g ).

Наконец, если ж G L(6) \ { O _g } , у G L(6 ‘ ) \ { O _g ‘ } и 6 = 6 ‘ , то р(ж, у) = р д (ж, O g ) + р(O g ‘ , у).

При 6 G 0 и при п = 0,1, 2,... пусть ж _п (6) — точка пространства L(6), имеющая координаты (п, 0). Считаем, что при 6 = 6 ‘ пространства L(6) и L(6 ‘ ) лежат в различных координатных плоскостях, не имеющих общих точек, поэтому ж _п (6) = ж _п (6 ‘ ) при п > 1. В то же время ж ₀ (6) = O * при всех 6.

Через V ^ (6) будем обозначать интервал с концами ж „ (6), ж _{п +1} (6). Точка ж „ (6) при п >  1 имеет тип 2 в пространстве L(6), если 6 _п = 0, и тип 5, если 6 _п = 1. Интервал же

V _n (6) состоит из точек типа 1 (если 6 _n = 0) или из точек типа 1, 3 и 4 (если 6 _n = 1). Поэтому /(x _n (6)) / /(V _m (6 ‘ )) при любых 6, 6 ‘ , п >  1 и любых т >  0.

Лемма 10. Пусть / : К >  Y — непрерывное отображение на сепарабельное тихоновское пространство и ограничение / на К \ { О * } — открытое отображение. Тогда Y состоит из одной точки.

Доказательство. Допустим, что | Y | > 1. При каждом 6 G 0 множество /(V 0 (0)) открыто в Y и непусто. Ввиду сепарабельности Y найдутся различные 6, 6 ‘ , для которых /(V o (6)) П /(V o (6 ‘ )) = 0 . При этом /(x o (6)) = / (О * ) = / (х _о (0У).

Допустим, что п >  1, /(x n — 1 (6)) = /(ж _п - 1 (6 ‘ )) и /(V _n - 1 (6)) П /(V n — 1 (6)) = 0 . Проверим, что тогда /(xJ6)) = /(xJ6 ‘ )) и /(К(6)) П /(К(6 ‘ )) = 0 .

Применяя лемму 2 к интервалам V _{n -1} (6) и V _{n -1} (6 ‘ ), заключаем, что /(V n _— 1 (6)) = = /(V n - i (6 ‘ )), а множества { /(x n — 1 (6)),/(x n (6)) } и { /(x n — 1 (6 ’ )), /(^ n (6 ‘ )) } совпадают. Так как /(ж _{п —} 1 (6)) = / (x _{n —1} (6 ‘ )), получаем /(x _n (6)) = /(ж _п (6 ‘ )). По свойству (7) леммы 9 ограничения отображения / на S _y \ { О у } и на S _y ‘ \ { О _у ‘ } открыты, откуда легко заключить, что /(V n (6)) П /(V n (6 ‘ )) = 0 . Таким образом, по индукции доказано, что /(x _n (6)) = /(x _n (6 ‘ )) при всех п. Отсюда следует, что 6 _n = 6 n при всех п, то есть 6 = 6 ‘ . Противоречие с выбором 6 и 6 ‘ показывает, что | Y | = 1.

Доказательство теорем 1 и 2. По лемме 10 условиям теоремы 1 удовлетворяет пространство К (введенное в разделе 6).

Для доказательства теоремы 2 рассмотрим дизъюнктную сумму X = I ^Т ф [а, 6] ф ф К, где I ^Т — тихоновский куб веса т , [а, 6] — отрезок числовой прямой. Фиксируем произвольную точку x ₀ G I ^Т . Пусть X — фактор-пространство, полученное из X путем склейки пары точек x ₀ , а и пары точек 6, О * . Из леммы 10 легко выводится, что X проективно одноточечно. Осталось вспомнить, что тихоновский куб I ^Т содержит гомеоморфный образ любого тихоновского пространства веса <  т [2].