О разложении характеристической функции симметричных распределений

DOI:

При построении асимптотических разложений в центральной предельной теореме часто используются разложения характеристической функции. Например, разложение

m f (t )=V a? (it)k + P m (t),                                       (1)

k = 0 ^k !

где α _k – обычный k- й момент распределения P с характеристической функцией f ( t ), а для функции остатка разложения справедлива оценка

Ip - ⁽ t ^l t - '

в которой в _{— + 1} - абсолютный ( — +1 ) - й момент распределения P . Вполне естественно предполо-

— + 1 a

жить, что при t , близких к нулю, главная часть представления f ( t ) = V - ( it ) + p _{— + 1} ( t ) будет бли- k = 0 k !

же к ft ), чем главная часть разложения (1). Однако, если момент a _{— + 1} не существует, то возникает вопрос оценки остатка p _{— + 1} ( t ) . Разложения, использующие последний известный момент a _{— + 1} в главной части самого разложения, были предложены Х. Правитцем [9] и исследовались И.Г. Шевцовой [10]. Используя модификацию данных разложений для характеристической функции симметричных распределений (далее a _{2j + 1} = 0 при j = 0,1,... и число ( — +1 ) четно), предложенную В.В. Сенатовым в [2]

m f (t )=2 aj (it у .i=0 J!

+              ( it ) ^{m + 1} + Y ( t              ( it ) m ^{+ 1} ,

(m +1)!                (m +1)!

в данной работе построены разложения характеристических функций симметричных распределений, аналогичные представленным в [7] и [8], но с иной оценкой остатка. Отметим, что в главную часть разложения (2) момент a _{m + 1} входит вместе с коэффициентом (параметром) X е [ 0,1 ] , также данный параметр входит и в остаток в виде функции X = max { X,1 - X } , а для функции у справедливо неравенство |у| < 1.

Далее для удобства будут использоваться нормированные моменты a_k = —, к = 0,1,..., m +1, k     k !

где αk – k-й момент распределения P и аналогичные величины для стандартного нормального закона b2 j

= (- 1)j

2 ^j j !

, J = 0,1,.... Запишем разложение (2) в терминах нормированных моментов

m

f (t>  2 ak (it)k + Xam+1 (it)m+ Y(t)Xam +1 (it)m, к=0

Через величины α _k и b _{2 j} легко выражаются нормированные моменты Чебышева – Эрмита

L l / 2 J

9 1 = 2 a - 2 b 2 j .

. J = 0

Последняя формула показывает, что в формировании четных моментов Чебышева – Эрмита

⁹2 n = 2 2 n - 2 J^b 2 J = a 2 n^b 0 ⁺ a 2 n - 2 ^Ь 2 ⁺ ... ⁺ a 2 ^Ь 2 к - 2 ⁺ a 0 ^Ь 2 к J = 0

участвуют только четные моменты a _{2 n} , a _{2 n - 2}, . ., a ₂ , a ₀ , а в формировании нечетных

⁹2 n + 1 = 2 2 n + 1 - 2 J^b 2 J = ^a 2 n + 1 ^Ь 0 ^{+ a} 2 n - 1 ^Ь 2 ⁺ ... ^{+ a} 3 ^Ь 2 к - 2 ^{+ a} 1 ^Ь 2 к j = 0

участвуют только нечетные моменты a _{2 n + 1}, a _{2 n} - 1 , ..., a ₃, a 1 . В любом случае старший из моментов a_k , участвующих в формировании момента θ _l , имеет тот же порядок, что и момент θ _l , то есть это момент a l . Поскольку b ₀ = 1, то

L i /2 j

⁹ 1 = ^ai ⁺ 2 ^ai - 2 i^b 2 J .

.J = 1

Данное представление позволяет понять, что если у исходного распределения P существуют (или рассматриваются) только моменты вплоть до момента порядка ( m + 1) включительно, то полностью сформировать момент Чебышева – Эрмита порядка ( m + 2) не удастся. Можно выписать только часть суммы

L ⁽ m + ^{2 ) /}2 J

A(m + 1) A(m) _ у         L u m+2 um+2     2 am + 2-2 J UJ J,

.J = 1

которую называют усеченным моментом Чебышева – Эрмита. Также не удастся полностью сформировать и моменты Чебышева – Эрмита любого порядка большего, чем ( m + 1). В связи с этим возникают усеченные моменты Чебышева - Эрмита порядка l >  ( m + 2 ) , которые определяются формулой

L l /2 J

0 . ⁽ m ^{+ 1 )} =    S a i - 2j b j ¹ >  m + 1.

j = 1;2_ j >  l - m - 1

В случае четного последнего известного момента порядка 2 r = m + 1 для моментов Чебышева – Эрмита верны представления

6 m + 1

L ⁽ m + ¹)/ 2 J                     r

S a m + 1 - 2 j b 2 j = S a 2 r - 2 j b 2 j = a 2 r^b 0 ⁺ a 2 r - 2 ^Ь 2 ^{+ ... +} a 2 ^Ь 2 r - 2 ⁺ a 0 ^Ь 2 r ’

.j =0             '     '        j =0

L ( m + 1 ) /2 J                    r

0(m',= m+1            m+2-27^ 2 j         2 r-2 j ^2 j j=1                       j=1

a 2 r - 2 ^Ь 2 ⁺ a 2 r - 4 ^Ь 4 ^{+ .}" ⁺ a 2 ^Ь 2 r - 2 ⁺ a 0 ^Ь 2 r

⁶ m - 1

L ( m - 1)/ 2 J                    r - 1

S a m - 1 - 2j b 2 j = S

. j = 0

.j = 0

a 2 r - 2 - 2 j^b 2. j

= a 2 r - 2 b 0 ⁺ a 2 r - 4 b 2 ⁺ ... ⁺ a 2 b 2 r - 4 ⁺ a 0 ^b 2 r - 2 ^.

В разложении (3) характеристической функции ft ) присутствует слагаемое X a m _{+ 1} ( it ) ^{m + 1} , содержащее параметр X перед моментом a m _{+ 1}. Данный параметр может участвовать в формировании моментов Чебышева – Эрмита. Так, например, при m + 1 = 2 r возникает представление

L ( m + 1 ) /2 j

С^ ^ ) = ^X a 2 r^b 0 ⁺ S a m + 2 - 2 i^b 2 j = ^X a 2 r^b 0 ⁺ a 2 r - 2 ^b 2 ⁺ ... ⁺ a 2 ^b 2 r - 2 ⁺ a 0 ^b 2 r •

.j = 1

В обозначениях моментов Чебышева - Эрмита 6 m ₊+ ^{1, Л} ) , с включенным в них параметром, автор следует обозначениям В.В. Сенатова из работы [2].

Сравнивая введенные выше моменты Чебышева – Эрмита, легко убедиться в справедливости следующих равенств й — п         (m-1)    fl( m +1, Л) _ л         д( m-1)    д( m+1, Л )_д     , А   й-

⁶ m + 1 a m + 1 ^{+ 6} m + 1 ,    ⁶ m + 1 ^X a m + 1 ^{+ 6} m + 1 ,    ⁶ m + 1      ⁶ m + 1 ^{+ ( X}    1 / a m + 1 ^.

Представление для характеристической функции, полученное в следующем ниже утверждении, позволяет получать разложения в центральной предельной теореме с явной оценкой остатка (см., например, [3]). Для этого, например, достаточно повторить ход доказательства разложений, представленных в [1; 4–6], заменив в них соответствующим образом разложения характеристической функции нижеследующим.

Утверждение. Пусть f ( t ) – характеристическая функция симметричного распределения P, у которого существует четный абсолютный момент порядка ( m + 2 ) > 2. Тогда для характеристической функции с учетом введенных выше определений справедливо представление

. 2 / Г m +1\ f (t ) = e tх IS 6 k (it)k-(1 - X )am+1(it)m+1| + Rm, V k=0

в котором для остаточной части разложения справедлива оценка

|Rm| ^ X • am+1 * tm+1 + 16m|| ' Ь2I ' ^Г+2 + X • am+1 • ^2| • tm+? + 16m-1|| ' b4

где

L l /2 j

II⁶ i ll = Si a l - 2 j|- ^b 2 j |,⁰ ^ ^l ^ n .

j = 0

Доказательство. Пусть t действительное число, а ю = it . Запишем произведение функций

t2       -ю2      ю e2 = e 2 = / b2.iю2 j, .i=о

m f (t) = / ak ю k + X am^ю m+1 + Y(t )X am+I® m+1

k = 0

в виде равенства

t ²

^{f ( t} ) e 2

ю               m                            t

/b2i^J /akюk | + Xam+I®"+Ie2 + yXam+i®m+1e2, kj=0       Ak=0     У

которое после раскрытия скобок и группировки соответствующих слагаемых можно представить в следующем виде

t_   m                      ю                     t_t_ f (t )e2 = /0 k юk + О^юm+1 + / Ok" )юk + X am+1юm+1 e2 + p me2,(5)

k=0

где p m = Y^X a m + 1 ^ю " ^{+ I} .

Третье слагаемое из правой части последнего равенства (5) можно представить в виде суммы

Ю           Ю                       ЮЮ

У A(m)CDk= Уб(m)   (Dm+2+k = (Dm+2 У 6(m)   CD2k+CDm+3У 6(m)CD

/ /O k ю / ,O m+2+kю        ю /уO m + 2+2 kю  + ю / ,O m+3+2 kю k=m+2           k=0                            k=0

а четвертое слагаемое

л          m +I

^X a m + 1^ю   e

t ² 2

Ю                                  Ю

= X am+1ю m+I / b 2^J = X am+1ю m+I + Xam+1ю m+I / b2^J = j =0                                                  j=I

Ю

= X a m + 1 ю ^{m + I} + X a m + 1 ю ^{m + 3} / b 2 k + 2 ю ^{2 k} .

k = 0

Последние два разбиения на суммы с учетом равенства 0 _{m + I} = a m _{+ I} + O m + 11 ) позволяют переписать разложение (5) в виде

t     m+1                                         юю f (t)e2 = / 0kюk - (1 - Xam+1 )юm+1 + юm+2 / Om"^2kю2k + юm+3 / OmmL2kю2k + k=0                                        k=0

Ю

+ Xam+1юm+3/b2k+2ю2k + pm(t)e2.(6)

k = 0

Первые два слагаемых из правой части последнего равенства (6) доставляют главную часть искомого разложения (4), а последние четыре слагаемых – оценку остатка.

Действительно, для последнего слагаемого из правой части равенства (6) справедливо не- t ²                                t ²

равенство ^p m l • ^{e 2} ^ ^X a m + 1 t " ^{+ 1} e 2 .

Далее из оценки b _{2 k + 2}| <  b ₂| • b _{2 k} | для предпоследнего слагаемого из правой части равенства

(6) получаем

to                                                            to                                                          t

X a m* ^{+ 3} X b 2 k + 2 ю ² k <  X a * + 1 t m ^{+ 3} b ₂| - X b 2 k|t|²k = X a * + 1 t * ^{+ 3} b 21 • e ² k = 0                                      k = 0

to

Третье слагаемое ю * ⁺² X б * ^_{+2 k} ю ² k из правой части равенства (6) доставит оценк у k = 0

||6 m lI" Ь ₂|• t * ⁺2 - Из представления

L( m+2+2 k )/2j                L-/2j+k +1

A(m+1)   =                     A =                                     A ,.

^u m + 2 + 2 k X a - + 2 + 2 k - 2 j ^U2 j     X a - - 2 ( j - k - If 2 j     X a - — 2 j ^V2 ( j + k + 1 )

.j =1;2.j i 2 k+1            ' '        j=k +1        '            '

и неравенства | b ₂ ( j _{+ k + 1} ) < | b ₂ j • |b ₂ ( _{k + 1})| следует справедливость оценки

L m /2 j

1⁶ - + 2 + 2 k | < | ^b 2( k + 1)| ^- X l a m - 2. А^Ь 2. j 'l = ^{Ь 2}( ^k + 1)H ⁶ m il <  Ь 21 ^- Ь 2 * 1 " I⁶ - I I’

.j = 0

которая, в свою очередь, приводит к неравенству to                                                                    to                                                         t ю *+2 X <'2+2 k »“ < b 21 -Ik -I I-W * 2 -X b2 kl'l‘=b 21 -Ik■l•kГ * 2 e2

k = 0                                        k = 0

to

Четвертое слагаемое ю * ^{+ 3} X Q — +з_{+ 2 k} ю ² k из правой части равенства (6) доставит оценку k = 0

II6 ■ -ilI • b 41 • И * ⁺ . Так, из представления

L ( ■ + 3 + 2 k ) /2 j                  L ( ■ - 1 ) /2 j + k + 2                        L ( ■ - 1 ) /2 j

A(*+1)   =                   A =              . , A =           . A, um+3+2k       X a-+3+ 2k-2 ju2 j       X a(■ -1)-2( j-k-2)v2 j      X a(■ -1)-2 jU2( j+k+2)

.j = 1;2, j i 2 k + 2          ' '           j = k + 2           '           '          j = 0

и неравенства | b ₂ ( _{j + k + 2} ) < | b 2 _j|"b 2 ( k ₊ 2 )l следует оценка

L ( ■ - 1 ) /2 j

1⁶ * + 3 + 2 k | < | ^b 2 ( k + 2 )| ^- X l a ( ■ - 1 ) - 2. j ||^b 2. / | = Ь ²( ^k + 2 )1 ^- I⁶ * -H <  ^{b 4 -} Ь 2 k l " II⁶ ■ - JI ’ .j = 0

которая приводит к неравенству

² to                                                                       to                                                            t

Ю ■ ^{+ 3} X 6 ( ■ +з*2 . ю² k < b 4|-16 ■ -111- И * ^{+ 3}- X b 2 . I k i² k = b 4-Ik - -1|I- И * ^{+ 3} e ² - k = 0                                              k = 0

Этим неравенством заканчивается доказательство утверждения. □

Замечание 1. Аналогично [2] разложение (4) можно записать в виде f (t ) =

t2 m eX |X 6 k (it)k + 6-*+Г )(it)*+1 1 + R- -

V k=0

Рассмотрим результат доказанного выше утверждения с качественной стороны вопроса.

Замечание 2. Разложение (4) при X = 1 принимает вид

, 2 / ( m+1Л f (t) = etXIX6k (it)k - a^(it)*+1 | + R-,

V k=0            2

где

I R m I ^ a ^ * W ' * I 6 - I I * b 2 1 • W * 2 * ( a ^ * b 2 * 16 m -,| • b 4 1} W * 3 .

Очевидно, что минимум функции X = max{X,1 - X} на отрезке [0; 1] равен ^ при X = ^-. Таким образом, из всех рассматриваемых оценок остатка данная оценка в некотором смысле наилучшая. Однако порядок оценок по степеням t при различных X е [0,1] остается одним и тем же: m + 1, то есть в оценке при любых X е [0,1] присутствует tm* .

Замечание 3. Разложение (4) при X = 1 принимает вид t2 / m *1

f (t ) = e" /2 X 6k (it)k * Rm ,

k = 0

где

|R m | ^ a ” *1 • If *’ * 1 6 m l I ' Ь 2I * и ” * ² * ( a ” *1 * Ь 2I * 1 6 ” -1|| * b 4 ) * и ” *³ .

Сравним разложение (9) с разложением, полученным в [7]. Разложение в [7] получено в предположении существования у исходного распределения P абсолютного момента в _m * ₂ порядка m + 2. Формула разложения из [7] полностью совпадает с формулой (9), отличие только в оценке остатка разложения, которая в [7] выглядит следующим образом:

| R m | ^ в m * 2 * M m * ² *1 6 ” * 11 * Ь 2I * И ” * ³ *1 6 ” 1 1' Ь 4 * И ” *                               dD

Видно, что при существовании у исходного распределения Р еще одного следующего за моментом a m * момента в _m * ₂ можно выписать разложение с такой же главной частью разложения, но при этом оценка остатка имеет по t порядок на единицу больше, то есть | t| ^m * ² . Таким образом, в случае существования у исходного распределения момента в _m * ₂ , можно предъявить для R оценки, которые имеют при t , близких к нулю, порядок не ниже |f*2 . В то же время полученна я в утверждении оценка для аналогичного разложения доставляет порядок If* ' в отсутствии информации о в _m * ₂ . Естественным образом возникает вопрос о сохранении у остатка разложения (9) порядка | t|^m * 2 при условии использования у исходного распределения информации только о моменте a m * ₁ . Следующим возникает вопрос о реальной точности рассматриваемой разности (см.: [2])

• 2 / ” * 1

Rm = f (t)-e"tX X 6 k (it)k k=0

при тех же ограничениях на существование (использование) моментов исходного распределения.

Построенное разложение показывает, что при существовании момента a m * ₁ можно выписать более длинное разложение с явной оценкой остатка так, как будто существует следующий момент a m * ₂ . При этом оценка остатка (в отличие от оценки, использующей информацию о моменте в _m * ₂) имеет на единицу меньший порядок по t , то есть порядок | t| ^m * ¹ , а не | t| ^m * 2 .

Пользуясь случаем, автор выражает свою благодарность В.В. Сенатову.