О разрешимости сингулярного линейного дифференциального уравнения с опережающим аргументом
Автор: Гусаренко С.А.
Журнал: Вестник Пермского университета. Математика. Механика. Информатика @vestnik-psu-mmi
Рубрика: Математика
Статья в выпуске: 2 (29), 2015 года.
Бесплатный доступ
Цель данной работы - показать, что поведение решений некоторого класса сингулярных функционально-дифференциальных уравнений в окрестности особой точки, определяется асимптотическими свойствами некоторого дифференциального уравнения с запаздывающим аргументом на полуоси.
Сингулярные функционально-дифференциальные уравнения, устойчивость дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом, функция коши, функция грина
Короткий адрес: https://sciup.org/14729978
IDR: 14729978
Текст научной статьи О разрешимости сингулярного линейного дифференциального уравнения с опережающим аргументом
Теория устойчивости дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом развивается в настоящее время в значительной степени независимо от общей теории сингулярных функционально-дифференциальных уравнений. Между тем естественным является рассмотрение дифференциальных уравнений на полуоси как сингулярных уравнений с особенностью в бесконечно удаленной точке.
Рассмотрим дифференциальное уравнение c запаздывающим аргументом
x(t) + p(t)x(h(t)) = f (t), t > a, x (£) = 0, £ < a,
где функции p , f :[ a , » ) ^ R локально суммируемы на каждом конечном промежутке, +»
причем p ( t ) > 0 и J p ( s ) ds = м , функция
a
h :[ a , м ) ^ R измерима и h ( t ) < t . Решением
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований 14-01-00338.
уравнения (1) называется абсолютно непрерывная на каждом конечном промежутке функция x :[ a , м ] ^ R , удовлетворяющая равенству (1) почти всюду. Как известно, общее решение уравнения (1) представимо в виде формулы Коши [1, с. 60]
x (t) = U (t) x (a) + J C (t, s) f (s) ds, a где функция U:[a, м) ^ R является решением соответствующего однородного уравнения с начальным условием x(a) = 1, а функция C: Л > R, Л = {(t, s) g R2: a < s < t} называется функцией Коши. Асимптотические свойства решений уравнения (1) исследовались методами теории устойчивости функциональнодифференциальных уравнений. В следующем утверждении сформулированы некоторые полученные результаты. Обозначим через
£(t) = J p (т) dr, h ’(t)
где
I h (t), h (t) > a, h (t) = 1
[ t , h ( t ) < a .
Теорема 1 [2, с. 66, с.108]
-
1) Если sup ^ ( t ) < —, то функция U не- t > a e
отрицательна и монотонно стремится к нулю, функция Коши C ( t , s ) > 0 при всех a < s < t .
-
2) Если lim ^ ( t ) < —, или, если сущест-
t →∞
π вует lim^(t) < —, то t ^ю 2
станты N, y > 0, что существует такие кон-
t
- Y J" P ( T ) d T
I U ( t )| < Ne a ,
t
- Y J P ( T ) d T I C ( t , s )| < Ne s
при всех a < s < t .
_3
-
3) Если sup5(t) < —, то существует та-t > a2
кая константа N > 0, что | U ( t )| < N , | C ( t , s )| < N при всех a < s < t .
Константы -, —, — в утверждениях e 22
теоремы 1 точные, то есть не могут быть увеличены [2, с. 119].
Оказывается, что асимптотические свойства уравнения (1) тесно связаны с поведением решений некоторого сингулярного дифференциального уравнения с опережающим аргументом вида
x(t) = qt)x(g(t)) + v(t), t e[0,1], x (£) = 0, £ ^[0,1],
где функции q, v :[0,1] ^ R суммируемы, q (t) > 0 и Cqs) ds = 7-, функция g :[0,1] ^ R 0 s измерима и g(t) > t. Отметим, что решение краевой задачи, которая не является сингулярной
Х(t) = qt) x(g(t)) + v(t), t e[«,1], x(£) = 0, £ ф,1], x (1) = a e R, при каждом £ e (0,1) представимо в виде формулы Грина x (t) = Y (t )a + J W (t, s) v (s) ds,
ε где Y :[£,1] ^ R - это решение полуоднород-ной задачи, а W :[£,1] х [£, 1] ^ R - функция Грина краевой задачи [3, с. 79], при этом W(t, s) = 0 при s < t. Поэтому для удобства равенством G(t, s) = W(t, s) определим функцию G: V^ R на треугольнике
V = {(t, s) e (0,1] х (0,1]:0 < t < s < 1}. Тогда формула Грина примет вид x (t) = Y (t )a + J G (t, s) v (s) ds. t
Отметим, что, функция G связана с функцией Коши уравнения (1), для которого h ( t ) = - ln( g ( e - t )) и p ( t ) = q ( e - t ), простым соотношением G ( t , s ) = C ( - ln t , - ln s ) а функция Y имеет вид Y ( t ) = U ( - ln t ). Таким образом, поведение функций Y и G в окрестности точки сингулярности определяются асимптотическими свойствами функций U и C соответственно. Отсюда и из утверждений теоремы 1 сразу получаем соответствующие результаты о поведении решения уравнения (3). Положим *
g ( t ) q ( т b J g ( t ), g ( t ) < 1,
^t) = I —dT, где g( t) = 1 t t т I t, g(t) > 1.
Теорема 2
-
1) Если sup^(t) <-, то функция Y не-t >o
отрицательна и монотонно стремится к нулю, функция G ( t , s ) > 0 при всех 0 < t < s < 1.
-
2) Если lim 0(t) <— или, если сущест-t >-o2
вует lim 0 (t ) < —
то существует такие кон-
станты N , Y > 0, что
-
- Y J d T - Y J q ( T > d T
IY(t)| < Ne ' T , |G(t, s)| < Ne ' T(4)
при всех 0 < t < s < 1.
-
3) Если sup 0( t) < —, то существует такая t >0
константа N > 0, что |Y(t)| < N, |G(t,s)| < N при всех 0 < t < s < 1.
Константы —, —, — в утверждениях e 22
теоремы 2 не могут быть увеличены.
Приведем некоторые простые следствия из теоремы 2.
Следствие 1. Если справедливы оценки (4), то существует предел lim x(t) = 0 любого t ^0+ решения однородного сингулярного уравнения
x ( t ) = q T x ( g ( t )), t e [0’1]’ x% ) = 0, % £ [0,1],
x(t) = q^x(g0(t)) + v(t), t € (0,1], x%) = 0, £ £ (0,1], x (1) = 0, представимо в виде формулы Грина x (t) = J Go (t, s) v (s) ds • t
Тогда оценки (4) справедливы, если существует такой опережающий аргумент g0 , что
Более того, если функция q "отделена от нуля": inf q (t ) > 0, то для решений уравнения (4) t > 0
справедлива степенная оценка | x ( t )| < Nt Y ,
Y > 0 •
Следствие 2. Для уравнения (1) с постоянным коэффициентом p ( t ) = p > 0 и постоянным запаздыванием h ( t ) = t - ю , критерий экспоненциальной оценки решений однородного уравнения | U ( t )| < Ne- Y ( ' - a ) , N , y > 0, имеет вид 0 < р ю < П . Следовательно, для сингулярного уравнения
g ( < >
гq(s)и/( . г sup J-----|G0(t,s)|ds • sup J
1 ^ s t € (0,1] g 0( t )
qs ) ds s
< 1.
Особый интерес в теории устойчивости представляют результаты о связи между действием оператора Коши в различных функ-
циональных пространствах на полуоси и асимптотическими свойствами функции Коши (так называемые теоремы типа Боля– Перрона). Аналогами этих теорем в общей теории сингулярных функционально-дифференциальных уравнений являются теоремы о связи между действием оператора Грина в
x(t ) = qx ( kt ), t e [0,1], x% ) = 0, % £ [0,1],
t
различных весовых пространствах и поведением функции Грина в окрестности особой
точки.
где k > 1, решение имеет степенную оценку |x ( t )| < NtY , N, y > 0 тогда и только тогда, ко-
π гда 1 < k4 < e2
•
Чтобы применить к уравнению (1) одну из простейших вариантов теоремы типа Боля– Перрона потребуем ограниченность функции $ и условие ограниченности нормы оператора Коши в специальном весовом пространстве
Более общие результаты в теории устойчивости возможно получить с помощью так называемого W -метода [2, с. 58], когда разрешимость некоторого уравнения в пространстве функций на полуоси эквивалентна его устойчивости. Отсюда следует возможность его применения и для исследования разрешимости сингулярных уравнений. Сформулируем соответствующее утверждение. Как известно, для уравнения (1) справедливы оценки (2) тогда и только тогда, когда существует такое "модельное" уравнение с
на полуоси: sup t ≤ a
t
J C ( t , s )| p ( s ) ds a
< » .
Тогда для уравнения (1) справедливы оценки (2) [2, с. 135]. Отсюда получаем ана-
лог этого утверждения для сингулярного уравнения.
запаздывающим аргументом h
x ( t ) + р ( t ) x ( h 0 ( t )) = f ( t ), t > a ,
x( % ) = 0, £ < a ,
t
что sup J | C 0 ( t , s ' > a ] a
h ( t )
• )| p ( s ) ds • sup J p ( s ) ds < 1, где t ≥ a
h o ( t )
C o ( t , s ) - функция Коши уравнения (5). Аналогично: пусть решение полуоднородной "модельной" задачи
Теорема 4. Пусть функция 0 ограниче-1 q ( s )
на и sup J—- G(t,s) ds <^. Тогда для урав-t €(0,1]t s нения (3) справедливы оценки (4).
Следствие. Пусть t < g ( t ) < kt , где k > 1. Решение уравнения (3) имеет степенную оценку | x ( t )| < Nt Y , N , y > 0 тогда и только тогда, когда для каждой измеримой и ограниченной в существенном на промежутке [0,1] функции tv ( t ) любое решение уравнения (3) ограничено.
Легко понять, что все приведенные выше рассуждения тривиальным образом обобщаются на более общую ситуацию. Рассмот-
рим, например, сингулярное уравнения с распределенным опережающим аргументом
1 b
x(t ) = —- X ( s ) d s r ( t , s ) + v ( t), t e [ a , b ],
ϕ ( t ) t (6)
x(ξ) =0, ξ∉[a,b], где функция ϕ:[a,b] →R непрерывна и по-b ds ложительна при t> a, ϕ(a) = 0 , и =∞ ;
a ϕ ( s )
функция r :[ a , b ] × [ a , b ] → R суммируема по первому аргументу и имеет ограниченную вариацию по второму.
b ds
Положим w(t) = t ϕ(s)
.
Тогда поведение решения уравнения (5) в окрестности точки a определяется асимптотическими свойствами дифференциального уравнения с распределенным запаздыванием [2, с. 69]
t
x ( t ) - J x ( t ) d s r ( w 1 ( t ), w 1 ( s )) = f ( t ), t > 0 . (7) 0
Действительно, функция Коши уравнения (7) связана с функцией G уравнения (6) соотношением G ( t , s ) = C ( w ( t ), w ( s )) , а функция Y имеет вид Y ( t ) = U ( w ( t )).
Список литературы О разрешимости сингулярного линейного дифференциального уравнения с опережающим аргументом
- Азбелев Н.В., Максимов В.П., Рахматуллина Л.Ф. Введение в теорию функционально-дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1991. 280 с.
- Азбелев Н.В., Симонов П.М. Устойчивость решений уравнений с обыкновенными производными. Пермь: Изд. Перм. ун-та, 2001. 230 с.
- Азбелев Н.В., Максимов В.П., Рахматуллина Л.Ф. Элементы современной теории функционально-дифференциальных уравнений. Методы и приложения. М.: Институт компьютерных исследований, 2002.