О разрешимости сингулярного линейного дифференциального уравнения с опережающим аргументом

Бесплатный доступ

Цель данной работы - показать, что поведение решений некоторого класса сингулярных функционально-дифференциальных уравнений в окрестности особой точки, определяется асимптотическими свойствами некоторого дифференциального уравнения с запаздывающим аргументом на полуоси.

Сингулярные функционально-дифференциальные уравнения, устойчивость дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом, функция коши, функция грина

Короткий адрес: https://sciup.org/14729978

IDR: 14729978

Текст научной статьи О разрешимости сингулярного линейного дифференциального уравнения с опережающим аргументом

Теория устойчивости дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом развивается в настоящее время в значительной степени независимо от общей теории сингулярных функционально-дифференциальных уравнений. Между тем естественным является рассмотрение дифференциальных уравнений на полуоси как сингулярных уравнений с особенностью в бесконечно удаленной точке.

Рассмотрим дифференциальное уравнение c запаздывающим аргументом

x(t) + p(t)x(h(t)) = f (t),  t > a, x (£) = 0, £ < a,

где функции p , f :[ a , » ) ^ R локально суммируемы на каждом конечном промежутке,

причем p ( t ) 0 и   J p ( s ) ds = м , функция

a

h :[ a , м ) ^ R измерима и h ( t ) t . Решением

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований 14-01-00338.

уравнения (1) называется абсолютно непрерывная на каждом конечном промежутке функция x :[ a , м ] ^ R , удовлетворяющая равенству (1) почти всюду. Как известно, общее решение уравнения (1) представимо в виде формулы Коши [1, с. 60]

x (t) = U (t) x (a) + J C (t, s) f (s) ds, a где функция U:[a, м) ^ R является решением соответствующего однородного уравнения с начальным условием x(a) = 1, а функция C: Л > R, Л = {(t, s) g R2: a < s < t} называется функцией Коши. Асимптотические свойства решений уравнения (1) исследовались методами теории устойчивости функциональнодифференциальных уравнений. В следующем утверждении сформулированы некоторые полученные результаты. Обозначим через

£(t) = J p (т) dr, h ’(t)

где

I h (t),   h (t) > a, h (t) = 1

[ t ,      h ( t ) a .

Теорема 1 [2, с. 66, с.108]

  • 1)    Если sup ^ ( t ) < —, то функция U не- t > a           e

отрицательна и монотонно стремится к нулю, функция Коши C ( t , s ) 0 при всех a s t .

  • 2)    Если lim ^ ( t ) < —, или, если сущест-

    t →∞


π вует lim^(t) < —, то t ^ю       2

станты N, y > 0, что существует такие кон-

t

- Y J" P ( T ) d T

I U ( t )| Ne a      ,

t

- Y J P ( T ) d T I C ( t , s )| <  Ne s

при всех a s t .

_3

  • 3)    Если sup5(t) < —, то существует та-t > a2

кая константа N 0, что | U ( t )| N , | C ( t , s )| N при всех a s t .

Константы -, —, — в утверждениях e 22

теоремы 1 точные, то есть не могут быть увеличены [2, с. 119].

Оказывается, что асимптотические свойства уравнения (1) тесно связаны с поведением решений некоторого сингулярного дифференциального уравнения с опережающим аргументом вида

x(t) = qt)x(g(t)) + v(t),  t e[0,1], x (£) = 0,  £ ^[0,1],

где функции q, v :[0,1] ^ R суммируемы, q (t) > 0 и Cqs) ds = 7-, функция g :[0,1] ^ R 0 s измерима и g(t) > t. Отметим, что решение краевой задачи, которая не является сингулярной

Х(t) = qt) x(g(t)) + v(t), t e[«,1], x(£) = 0, £ ф,1], x (1) = a e R, при каждом £ e (0,1) представимо в виде формулы Грина x (t) = Y (t )a + J W (t, s) v (s) ds,

ε где Y :[£,1] ^ R - это решение полуоднород-ной задачи, а W :[£,1] х [£, 1] ^ R - функция Грина краевой задачи [3, с. 79], при этом W(t, s) = 0 при s < t. Поэтому для удобства равенством G(t, s) = W(t, s) определим функцию    G: V^ R    на    треугольнике

V = {(t, s) e (0,1] х (0,1]:0 < t < s < 1}.      Тогда формула Грина примет вид x (t) = Y (t )a + J G (t, s) v (s) ds. t

Отметим, что, функция G связана с функцией Коши уравнения (1), для которого h ( t ) = - ln( g ( e - t )) и p ( t ) = q ( e - t ), простым соотношением G ( t , s ) = C ( - ln t , - ln s ) а функция Y имеет вид Y ( t ) = U ( - ln t ). Таким образом, поведение функций Y и G в окрестности точки сингулярности определяются асимптотическими свойствами функций U и C соответственно. Отсюда и из утверждений теоремы 1 сразу получаем соответствующие результаты о поведении решения уравнения (3). Положим *

g ( t ) q ( т b                  J g ( t ),   g ( t ) 1,

^t) = I —dT, где g( t) = 1 t t т                       I t,    g(t) > 1.

Теорема 2

  • 1)    Если sup^(t) <-, то функция Y не-t >o

отрицательна и монотонно стремится к нулю, функция G ( t , s ) 0 при всех 0 t s 1.

  • 2)    Если lim 0(t) <— или, если сущест-t >-o2

    вует lim 0 (t ) < —


    то существует такие кон-


станты N , Y 0, что

  • - Y J     d T                    - Y J q ( T > d T

IY(t)| < Ne ' T , |G(t, s)| < Ne ' T(4)

при всех 0 t s 1.

  • 3)    Если sup 0( t) < —, то существует такая t >0

константа N > 0, что |Y(t)| < N, |G(t,s)| < N при всех 0 < t < s < 1.

Константы —, —, — в утверждениях e 22

теоремы 2 не могут быть увеличены.

Приведем некоторые простые следствия из теоремы 2.

Следствие 1. Если справедливы оценки (4), то существует предел lim x(t) = 0 любого t ^0+ решения однородного сингулярного уравнения

x ( t ) = q T x ( g ( t )), t e [0’1]’ x% ) = 0, % £ [0,1],

x(t) = q^x(g0(t)) + v(t),  t € (0,1], x%) = 0, £ £ (0,1], x (1) = 0, представимо в виде формулы Грина x (t) = J Go (t, s) v (s) ds • t

Тогда оценки (4) справедливы, если существует такой опережающий аргумент g0 , что

Более того, если функция q "отделена от нуля": inf q (t ) 0, то для решений уравнения (4) t > 0

справедлива степенная оценка  | x ( t )| Nt Y ,

Y >  0 •

Следствие 2. Для уравнения (1) с постоянным коэффициентом p ( t ) = p >  0 и постоянным запаздыванием h ( t ) = t - ю , критерий экспоненциальной оценки решений однородного уравнения | U ( t )| Ne- Y ( ' - a ) , N , y 0, имеет вид 0 р ю П . Следовательно, для сингулярного уравнения

g ( < >

гq(s)и/(   .       г sup J-----|G0(t,s)|ds • sup J

1 ^       s                        t (0,1] g 0( t )

qs ) ds s

< 1.

Особый интерес в теории устойчивости представляют результаты о связи между действием оператора Коши в различных функ-

циональных пространствах на полуоси и асимптотическими свойствами функции Коши (так называемые теоремы типа Боля– Перрона). Аналогами этих теорем в общей теории сингулярных функционально-дифференциальных уравнений являются теоремы о связи между действием оператора Грина в

x(t ) = qx ( kt ),   t e [0,1], x% ) = 0,   % £ [0,1],

t

различных весовых пространствах и поведением функции Грина в окрестности особой

точки.

где k 1, решение имеет степенную оценку |x ( t )| <  NtY , N, y 0 тогда и только тогда, ко-

π гда 1 < k4 < e2

Чтобы применить к уравнению (1) одну из простейших вариантов теоремы типа Боля– Перрона потребуем ограниченность функции $ и условие ограниченности нормы оператора Коши в специальном весовом пространстве

Более общие результаты в теории устойчивости возможно получить с помощью так называемого W -метода [2, с. 58], когда разрешимость некоторого уравнения в пространстве функций на полуоси эквивалентна его устойчивости. Отсюда следует возможность его применения и для исследования разрешимости сингулярных уравнений. Сформулируем соответствующее утверждение. Как известно, для уравнения (1) справедливы оценки (2) тогда и только тогда, когда существует такое "модельное" уравнение с

на полуоси: sup t a

t

J C ( t , s )| p ( s ) ds a

< » .

Тогда для уравнения (1) справедливы оценки (2) [2, с. 135]. Отсюда получаем ана-

лог этого утверждения для сингулярного уравнения.

запаздывающим аргументом h

x ( t ) + р ( t ) x ( h 0 ( t )) = f ( t ),   t a ,

x( % ) = 0, £ a ,

t

что sup J | C 0 ( t , s ' > a ] a

h ( t )

• )| p ( s ) ds sup J p ( s ) ds 1, где t a

h o ( t )

C o ( t , s ) - функция Коши уравнения (5). Аналогично: пусть решение полуоднородной "модельной" задачи

Теорема 4. Пусть функция 0 ограниче-1 q ( s )

на и sup J—- G(t,s) ds <^. Тогда для урав-t €(0,1]t   s нения (3) справедливы оценки (4).

Следствие. Пусть t g ( t ) kt , где k 1. Решение уравнения (3) имеет степенную оценку | x ( t )| <  Nt Y , N , y 0 тогда и только тогда, когда для каждой измеримой и ограниченной в существенном на промежутке [0,1] функции tv ( t ) любое решение уравнения (3) ограничено.

Легко понять, что все приведенные выше рассуждения тривиальным образом обобщаются на более общую ситуацию. Рассмот-

рим, например, сингулярное уравнения с распределенным опережающим аргументом

1 b

x(t ) = —- X ( s ) d s r ( t , s ) + v ( t),  t e [ a , b ],

ϕ ( t ) t                                      (6)

x(ξ) =0,  ξ∉[a,b], где функция ϕ:[a,b] →R непрерывна и по-b ds ложительна при t> a, ϕ(a) = 0 , и      =∞ ;

a ϕ ( s )

функция r :[ a , b ] × [ a , b ] R суммируема по первому аргументу и имеет ограниченную вариацию по второму.

b ds

Положим w(t) = t ϕ(s)

.

Тогда поведение решения уравнения (5) в окрестности точки a определяется асимптотическими свойствами дифференциального уравнения с распределенным запаздыванием [2, с. 69]

t

x ( t ) - J x ( t ) d s r ( w 1 ( t ), w 1 ( s )) = f ( t ), t 0 . (7) 0

Действительно, функция Коши уравнения (7) связана с функцией G уравнения (6) соотношением G ( t , s ) = C ( w ( t ), w ( s )) , а функция Y имеет вид Y ( t ) = U ( w ( t )).

Список литературы О разрешимости сингулярного линейного дифференциального уравнения с опережающим аргументом

  • Азбелев Н.В., Максимов В.П., Рахматуллина Л.Ф. Введение в теорию функционально-дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1991. 280 с.
  • Азбелев Н.В., Симонов П.М. Устойчивость решений уравнений с обыкновенными производными. Пермь: Изд. Перм. ун-та, 2001. 230 с.
  • Азбелев Н.В., Максимов В.П., Рахматуллина Л.Ф. Элементы современной теории функционально-дифференциальных уравнений. Методы и приложения. М.: Институт компьютерных исследований, 2002.
Статья научная