О развитии абстрактного мышления студентов при изучении математических дисциплин в техническом вузе

1,2Дальневосточный государственный университет путей сообщения, Хабаровск, Россия 1Gorodilova.m@bk.ru0, 2

1Gorodilova.m@bk.ru0,

Современное высшее образование базируется на высоком уровне абстрактного мышления обучающихся, так как от них требуется оперирование значительными объемами информации, понимание данных, представленных для восприятия в разной форме: графической, вербальной или в виде аудиоблоков. При этом отвлечение от физических свойств какого-либо предмета изучения осуществляется за счет представления его в виде «идеального объекта» – своеобразной модели, позволяющей сосредоточиться на важных для обучения свойствах чего-либо. Математика использует исключительно «идеальные объекты», находящиеся на разных уровнях абстракции. Например, точка, прямая, плоскость. Еще Евклид описывал геометрическую точку как то, что не имеет частей и величины. Но такой объект не существует в природе. Любой предмет окружающей действительности имеет установленные размеры; кроме того, он обладает еще некоторыми физическими, химическими и другими свойствами. Таким образом, точка является абстрактным, или «идеальным» объектом. Чтобы лучше разобраться в содержании этого понятия, обратимся к примерам из других наук.

В механике хорошо известен идеальный математический маятник. Это есть предельный случай реально существующих, физических маятников. На настоящий маятник действует сопротивление воздуха и сила трения, а в теории его идеального образа мы отвлекаемся от этого. Просто зная о воздействии на физический маятник различных сил, мы представляем, что этих сил нет. Действительные испытания дают лишь некоторое приближение к идеальному случаю. Понятно, что математический маятник можно рассматривать лишь в абстракции. Подобных примеров из разных областей научного знания можно привести множество. В частности, в молекулярно-кинетической теории есть понятие об «идеальном газе», которое также отражает предельность реальных газов.

Большинство «идеальных объектов» связываются с материальной действительностью посредством других «идеальных объектов», которые им исторически предшествовали. «Такая многоступенчатость математических абстракций и знаменует собой высокий уровень математического мышления». (Комаров, 1974: 34).

Изучение теории в различных разделах математики начинается с освоения отдельных абстракций, затем происходит их объединение, или синтез, в рамках научных систем и теорий. В эмпирической теории абстракции такие математические свойства предметов, как число и фигура, рассматриваются как наиболее существенные, при этом не учитываются все нематематические их характеристики. Но в итоге мы приходим к искомым математическим свойствам.

Стержневым инструментом любой науки и научного мышления является понятие, без которого нет научных знаний. Абстрактные понятия и отношения между ними являются основными в математических дисциплинах. Термин «абстракция» в буквальном переводе с греческого языка означает «отвлечение» или «отделение». В широкое употребление его ввел Боэций (Асмус, 2003).

В математике абстрагирование рассматривается как процесс мысленного выделения определенных свойств или отношений объектов, которые в данной связи являются особо важными по сравнению со всеми другими свойствами. Например, чтобы рассчитать площадь поверхности крыши, имеющей форму полусферы, человек мысленно рассматривает ее, отбрасывая все иные характеристики, кроме формы и размеров (иначе: фигура и число). Исключаются все свойства (такие, к примеру, как цвет, материал, из которого будет сделана крыша, толщина и т. д.), но при этом не нарушается ни одна группа геометрических связей и отношений. Или ставится задача: определить давление воды на вертикальную плотину, имеющую форму трапеции с заданными размерами. Для расчетов чертим трапецию, вводим независимую переменную х , которая обозначает глубину. Используя определение дифференциала, а затем применив определенный интеграл, мы достаточно точно сможем рассчитать давление воды на всю плотину.

Таким образом, абстракция – это «отвлечение существенных свойств от несущественных… (для вычислений)», она «характеризует отвлеченное научное мышление» (Асмус, 2003).

Величайшее достижение науки XVII в. – изобретение дифференциального и интегрального исчислений, над которыми одновременно работали Ньютон и Лейбниц. Эти способы расчетов студенты изучают в важнейшем разделе высшей математики, который называется «математический анализ». Определения и понятия здесь исключительно абстрактные. С некоторыми из них студенты встречались, изучая математику в школе в ознакомительном ключе.

Чтобы освоить понятия производной, дифференциала и интеграла, студентам необходимо мыслить абстрактно, что способствует развитию научного мышления как «основного способа познания окружающей действительности», получению основных знаний о множестве объектов и явлений окружающего мира, а значит, служит «страховкой от невежества, глупости и безграмотности. Такой способ мыслить прекрасно развивает не только точное и математическое, но и творческое абстрактное мышление»1.

По определению Джеймса Уильяма, «мышление – способность ориентироваться в новых для нас данных опыта. Эта особенность в достаточной степени выделяет мышление из сферы обыденных ассоциативных умственных процессов» (Джеймс, 2020). Мы придерживаемся точки зрения, что «мышление – это опосредованная познавательная деятельность человека». Соответственно, «абстрактное мышление – это мышление об объектах, принципах и идеях, которых нет в физическом мире. С помощью него мы связываем разные явления между собой и выстраиваем их в общую картину, чтобы использовать полученные выводы на практике»2.

В математике понятия обозначаются и описываются с помощью символов. Расшифровка этих обозначений часто непонятна студентам, так как не всегда объясняется в учебных пособиях. Например, ещё в школе изучается понятие функции, но когда на лекции необходимо обратиться к расшифровке записи у = f(x) , то студенты не могут ответить, что обозначает знак « f ». Конечно, приходится объяснять, что он выражает все математические действия и операции, выполняемые над независимой переменной х . Принципиально то, что в этой записи обозначены (собраны) все функции. В школьном курсе математики объяснения темы начинаются с какого-то конкретного примера, затем осуществляется переход к обобщению, после – представляется идея, всё описывается абстрактными символами. Большинство разделов высшей математики начинаются именно с общего теоретического материала. К примеру, интегральное исчисление – это определение первообразной, введение интеграла, таблицы интегралов. И далее решение абсолютно абстрактных примеров с использованием таблицы интегралов. Освоить этот интересный раздел математического анализа несложно, если абстрактное мышление студента достигает определенного уровня.

Мы согласны с мнением коллег из Красноярского государственного педагогического университета им. В.П. Астафьева, которые заявляют: «В процессе обучения математических разделов, нужно показывать учащимся, что математика, отражая “формы и отношения материального мира”, является наукой о математических моделях реальной действительности. Например, понятия числа, фигуры, вектора, производной выражают многообразие процессов реальной действительности и поэтому применяются для решения различных прикладных задач и задач других учебных дисциплин» (Адольф, Захарова, 2012: 112).

Изучая проблему развития мышления, преимущественно абстрактного, мы обратились к философской и психолого-педагогической литературе. В трудах Г. Вейля (1989), Я.А. Пономарева (1960), Р.П. Повилейко (1977), В.Д. Шадрикова (1994) представлены методики развития образного, логического и абстрактного мышления, воображения и пространственных представлений. Интересны результаты исследований возможностей развития мышления таких ученых, как Г.С. Альтшуллер (1979), Э. Боно (1973), Дж.И. Ниренберг (1996). Анализируя их, мы пришли к выводу, что абстрактное мышление не следует рассматривать автономно. Для того чтобы научиться мыслить абстрактно, необходимо уметь провести анализ и синтез изучаемого математического раздела, так как «это две стороны, или два аспекта единого мыслительного процесса» (Рубинштейн, 2008). Анализ и синтез – составляющие абстрактного мышления. Как отмечается в исследованиях С.Л. Рубинштейна, «абстракция – это, по существу, тоже специфическая форма анализа, форма, которую анализ приобретает при переходе к абстрактному мышлению в понятиях» (Рубинштейн, 2008). Заметим, что речь идет не об абстрактном мышлении вообще, а об умении мыслить абстрактно, изучая математические дисциплины в техническом вузе.

Анализируя исследования развития абстрактного мышления, представленные в научной литературе, мы обнаружили, что интересующая нас тема изучалась преимущественно на материалах работы со школьниками. Наша задача – развитие абстрактного мышления у студентов. Мы провели некоторое исследование, определив критерии развития абстрактного мышления следующим образом:

– мотивация и готовность студентов к изучению математики;

– владение материалом школьного курса математики;

– умение оценить свои результаты при освоении курса высшей математики.

Приступая к исследованию, мы обозначили его первоначальную задачу: установить уровень умения мыслить абстрактно у студентов первого курса трех направлений подготовки естественно-научного института (набор 2020–2021 учебного года). В потоке – 92 человека. Перед ними была поставлена задача прослушать и записать только теоретический материал по теме

«Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными». Тема была дана исключительно математическим языком, ключевые сведения записаны при помощи специальных обозначений и символов. Затем обучающимся были предложены два уравнения разной степени сложности для самостоятельного решения по данной теме. Мы рассчитали время на решение этих уравнений, с учетом тех шагов, где студент может длительно задуматься. Но для многих обучающихся пришлось увеличить временной промежуток, отведенный для выполнения заданий. Анализируя результаты, мы выяснили: успешно справились с предложенным материалом за отведенное время 23 студента (25 %), 47 учащихся решили одно из уравнений, но с правильным ответом (51,1 %); 13 студентов (15 %) пытались найти решение с минимальным привлечением теории и 9 человек из аудитории (8,9 %) вообще не приступили к выполнению задания.

Чтобы успешно решить указанные уравнения, студентам надо было, разбирая теорию, описанную абстрактными символами, провести ее мысленный анализ, затем применить алгоритм из теоретического материала к решению уравнений, которые также представляют собой абстракцию. Выводы таковы: только четвертая часть обучающихся потока имеет навык установления связей между объектами (теоретическим материалом и практическими задачами), умеет выявлять закономерности, распознавая их логическим путем. Эти студенты обладают умением мыслить абстрактно. Однако оставшиеся требуют особо подхода к методике их обучения ввиду не-сформированности абстрактной сферы. Перед нами возникла проблема, состоящая в том, чтобы разработать приёмы управления развитием абстрактного мышления у «проблемных» студентов, так как это необходимо для успешного овладения программным математическим материалом.

Мы разделяем точку зрения В.А. Адольфа, согласно которой «переход к абстракции, к обобщениям целесообразно совершать постепенно, после накопления достаточных наблюдений, дающих возможность подметить в явлениях то общее, что служит существенным признаком образуемого понятия» (Адольф, Захарова, 2012: 113).

Согласно этой идее мы решили изменить подход к исследованию и традиционно выдать теоретический материал в абстрактной форме (тема «Линейные дифференциальные уравнения первого порядка»), но сопроводить его примерами с расшифровкой каждого символа, а затем предложить студентам для решения также два уравнения, но более высокой степени сложности. С заданием справились хорошо 68 учащихся (72,1 %). Увеличение количества студентов, успешно выполнивших задание во втором случае, свидетельствует о том, что избранная тактика работы в нем более эффективна. Рассматривая теоретический материал на конкретных задачах, мы обучаем студентов принимать и понимать абстрактные понятия и применять их в решении задач.

Наши наблюдения показали: умение мыслить абстрактно развивается неодинаково у обучающихся – данный процесс носит индивидуальный характер. У студентов первого курса формируется умение мыслить абстрактно в течение двух начальных семестров при изучении различных разделов высшей математики.

Усвоение лекционного материала, развитие умений отбирать информацию, анализировать и синтезировать ее, сохранять и передавать данные способствует развитию умения мыслить вообще, в том числе и абстрактно. Ко второму курсу студенты в той или иной мере овладевают этим умением. Обычно в 3–4 семестрах обучающиеся знакомятся с теорией вероятностей, в рамках которой события отождествляются с переменными, и каждое из них описывается численным выражением или просто числом. Вероятность наступления определенного события «прогнозирует» число, которое может указать на построение или гипотезу какого-то научного, бытового или производственного процесса. Именно здесь от элементарных событий переходим к сложным и выполняем необходимые вычисления. Сказанное подтверждает мысль о том, что «переход к абстракции, к обобщениям совершается постепенно, после накопления достаточных наблюдений, дающих возможность подметить в явлениях то общее, что служит существенным признаком образуемого понятия» (Адольф, Захарова, 2012: 113).

Умение перейти к анализу, абстрактному описанию и решению задачи наблюдается у 82 % студентов. Динамика развития абстрактного мышления отмечается на втором курсе при проверках заданий, для выполнения которых требуется изучить материал самостоятельно и использовать теорию в решениях практических задач, а также при подготовке докладов и презентаций. На данном этапе мы рассматриваем планирование эксперимента в виде подготовки студентами фрагментов некоторых лекций.

Развитие абстрактного мышления происходит исключительно в процессе обучения, и учить мыслить абстрактно предстоит в течение всего курса высшей математики. Очевидно, что учебнопознавательная деятельность студентов не формируется самостоятельно, требуется планомерная организация познавательной деятельности, что определит продуктивное усвоение знаний.

Рассмотрение проблемы развития абстрактного мышления у студентов на занятиях по математике позволяет нам утверждать, что развивать умение мыслить абстрактно возможно при любой форме обучения, однако подробное рассмотрение этого вопроса составит перспективу нашего дальнейшего исследования.