О решениях волнового уравнения с младшим членом

В работе [1] для решений уравнения Лапласа и уравнения Гельмгольца

A v ( x ) + A v ( x ) = 0, x eQ , Ae R , в звездной области Q было установлено взаимно-однозначное соответствие. Это было сделано с помощью метода нормированных систем функций [2], на основании результатов, полученных в работах [3-5]. Пусть L - линейный оператор, действующий на функции f ( x ), x eQ , определенные в некоторой области Qe К" и принадлежащие множеству X такому, что LX с X .

Определение 1. Упорядоченную систему функций { f k ( x ): k e N 0 } из X , где N 0 = N и {0} назовем f - нормированной относительно ( L 1 ,L 2 ) в области Q с основанием f ₀( x ), если всюду в этой области

^Lf 0 ^{( x} ) = f ^{( x} ), L i fk ^{( x} ) = ^L 2 fk - 1 ^{( x} ), ^{k e N} , ^{x eQ} .

Важным частным случаем введенного понятия является случай, когда L 2 = I , а I - единичный оператор. Тогда, f - нормированная система функций { f_k ( x ): k e N ₀ } относительно ( L , I ) обладает свойством

Lf o ( x ) = f ( x ), Lf k ( x ) = f_k _ i ( x ), k e N , x e Q .                         (1)

Будем называть систему функций { f_k ( x ): k e N 0 } , обладающую свойством (1) f - нормированной относительно оператора L . Приведем основное свойство f – нормированных систем функций. Пусть задано линейное уравнение вида

( L 1 - L 2 ) u ( x ) = f ( x ), x eQ ,                               (2)

и пусть { f_k ( x ): k e N 0 } - некоторая f - нормированная относительно ( L 1 , L 2 ) в области Q система функций. Тогда функциональный ряд Z " = 0 f_n ( x ) будет формальным решением уравнения (2) в области Q . Метод нормированных систем функций позволил построить полиномиальные решения уравнений в частных производных [6, 7].

.     Э2„

Рассмотрим волновой оператор □ =А---, где A - оператор Лапласа. Исследуем связь x d t2

между решениями уравнения

• □ v (x, t) + Av (x, t) = 0,(3)

при A e К и волновыми в Q функциями - решениями уравнения □ v ( x , t ) = 0. Для этого определим функции g_m ( t ) , зависящие от целого параметра m равенством

^

gm (t) = Z (-1)АтЧГГ^Т' k=0       (2>2)k (m>2)k где (a, b) k = a (a + b )••■ (a + kb - b) - обобщенный символ Похгаммера.

Чистяков Е.Ю.

О решениях волнового уравнения с младшим членом

Теорема 1. Система функций { G k ( x , t ; u ): k e N 0 } , где G ₀( x , t ; u ) = u ( x , t ) и .    1| x | 2 ^k 1 (1 - a ) ^{k - 1} a ⁽ n ^{+ 1)/2 -1} .                i

G_k ( x , t ; u ) = —--— -----------------u( a x, a t ) d a , k e N ,

4 ^k k ! 0        ( k - 1)!

где | x 1 2 = | x | ² - t ² , a u ( x , t ) - некоторая волновая в Q функция, является 0 - нормированной системой функций относительно волнового оператора □ в Q.

На основании этой теоремы сформулируем следующий основной результат.

Теорема 2. Для любой функции v e C ² ( Q ), удовлетворяющей в Q уравнению (3) существует единственная волновая в Ω функция u ( x , t ) такая, что выполнено равенство

| x | ²¹

v ( x , t ) = u ( x , t ) - 1 —“J g# ( 1 (1 - a ) | x |2) u ( a x , a t ) a ⁽ ) ¹ d a .

Пример. Возьмем волновой полином 2-й степени вида u(x, t) = | x |2 + nt2. По методу норми- рованных систем функций решение уравнения (3), которое ему соответствует, имеет вид

~ ^

v (x, t) = ££|xt2 k m=0 k=0

c-d k u m °)( x , t )

(2,2) k ( n + 1 + 2 m ,2) k ’

откуда для u 20) ( x , t ) = | x | ² + nt ² и u m ¹^ ( x , t ) = 0 при m ^ 2, получаем

v ( x , t ) = ( | x | ²

^

+nt2) ^(-1)A k=0

( | x ^ - 1 ² ) k

(2,2) k ( n + 5,2) k

= (| x ^ ⁺ nt ² ) g n + 5 ( ¹ ( ^| x ^{| 2 -} t ² ) ) .

Это решение волнового уравнения с младшим членом (3), которому соответствует волновой полином u ( x , t ) = I x | ² + nt ² .