О решетках конгруэнций периодических унарных алгебр

В работе изучается решетка конгруэнций унарных алгебр, то есть алгебр, сигнатура которых содержит только унарные операции. Алгебры с т унарными операциями рассматривались А.И. Мальцевым [4, с. 348] и были названы т -уноидами. Унар — это алгебра с одной унарной операцией. В работах [2; 3; 7] изучались унары, решетки конгруэнций которых принадлежат заданному классу решеток (полумодулярны, атомарны, дистрибутивны и т. д.). Коммутативные уноиды изучались, например, в [6]. В [5] получено описание всех связных 2-уноидов с коммутирующими унарными операциями и дистрибутивной решеткой конгруэнций. В данной работе рассматриваются унарные алгебры с конечным числом попарно коммутирующих операций. Все необходимые определения имеются в [1; 4].

Пусть A = ( Л, / 1 , / 2 ,..., / © — унарная алгебра. Она называется коммутативной, если для всех г, j <  т на ( Л, / 1 , / 2 , . . . , / © истинно тождество

М ^(ж)) = fj (Л(^ж))-

Положим

О(/1, /2,..., /т) = {/11/22 ... /©(ж) : 21, г2,..., гт-1 Е No}, где N0 — множество неотрицательных целых чисел. Если алгебра A коммутативна и ^ Е О(/1,/2,...,/т), то у коммутирует c любой операцией /. При этом всякая конгруэнция 6 на A стабильна относительно операции у (то есть из ж, у Е Л и ж6у вытекает ©ж) 6 ©у)). Отсюда легко заключить, что решетки конгруэнций алгебр A и (Л,/1,/2,...,/т,^) изоморфны. Элемент ж Е Л называется ^-циклическим, если найдется целое число п > 1, для которого ^”(ж) = ж.

Теорема 1. Пусть A = ( Л, / 1 , / 2 , ..., / _т ) — связная коммутативная унарная алгебра, т >  1 . Пусть п 1 ,п ₂ ,...,п _т >  1 — целые числа и при каждом г <  т на ( Л, / 1 , / 2 , . . . , / т выполнено тождество / ^ (ж) = ж . Тогда эквивалентны следующие условия:

• (1)    Решетка конгруэнций Con Л дистрибутивна.

• (2)    Найдутся целые числа к 1 ,к ₂ , ... ,к _т >  1 и такая унарная операция h на A , что при каждом г = 1,2,..., т на ( Л, / 1 , / 2 ,..., / _т ) выполнено тождество / _i ( ж) = h^ki (ж) .

Доказательство. Случай т = 1 рассмотрен в работе Д.П. Егоровой [3]. Случай т = 2 изучался в работе [5, лемма 17, с. 35]. Поэтому в дальнейшем считаем, что теорема верна при т <  2 .

Пусть т> 2 и выполнено свойство (1). Предположим, что теорема верна для всех коммутативных унарных алгебр, сигнатура которых состоит менее чем из т унарных операций. При любом г = 1, 2 ,... ,т из справедливости на A тождества / ^ (ж) = ж следует, что операция / обратима на A . Отсюда легко заключить, что любая операция у е О ( / 1 , / 2 ,..., / _т ) обратима на A и A порождается любым своим элементом. Пусть а — порождающий элемент алгебры A . Положим

^S = Ы^{а) :} У ^{е О}(Д, ^/ 2 ,..., ^- l ) }.

Далее возможны два случая.

Случай 1. Найдется элемент b е S П / _m ( S ) . Тогда b = у(а) и b = / _т (^(а)) для некоторых операций у,^ е О ( / 1 , / 2 ,..., / _т-1 ) . Поэтому у ( а ) = / _т (^(а)) , откуда / т (а) = ^ ^-1 у(а) , что влечет / т е О(/ 1 ,/ 2 ,...,/ т -1 ) , и потому решетки конгруэнций унарных алгебр A и ( Л, / 1 , / 2 , ... , / _{т- 1}) изоморфны. Следовательно, заключение доказываемой теоремы вытекает из индуктивного предположения.

Случай 2. S П /_т^ ) = 0 . Положим S ₀ = S и S _i = / т (S) при г = 1, 2,... .

Так как на A выполнено тождество / т (ж) = ж , найдется целое к <  п _т , для которого S П S _k = . Не теряя общности, считаем, что к — наименьшее положительное число с таким свойством. Ввиду обратимости на A операции / _т легко проверить, что множества S ₀ = S , S 1 , ... , S _k-1 попарно дизъюнктны и S _k = S ₀ = S . Положим Т = = S ₀ U S 1 U ... U S _k-1 . Ясно, что Т — подалгебра алгебры A , порожденная элементом а . Так как A порождается любым своим элементом, получаем Т = Л .

Пусть 6 — некоторая конгруэнция на алгебре S = (S, / 1 , / 2 ,..., / _т-1 ) . Определим конгруэнцию 6 на алгебре ( Л, / 1 , / 2 ,..., / _т-1 , / _т^ следующим образом:

• (a)    Если ж, ж' е S 0 , то ж6ж ' < >  ж6ж ' .

• (b)    Если ж, ж' е S _i , где 0 < г <  к , то ж6ж' < >  найдутся элементы t, t ' е S , для которых t6t ' , / т (t) = ж и / т ( к) = ж ' .

Нетрудно проверить, что ограничение конгруэнции 6 на множество S _k = S 0 совпадает с 6 .

Допустим, что решетка конгруэнций алгебры S = (S, /1, /2,..., /т-1) не дистрибутивна. Тогда найдутся три конгруэнции а, 7, 5 на S и различные элементы ж, ж' е S, такие, что жаж', существует 7,5-путь П из ж в ж', но не существует 7,5-пути из ж в ж', все элементы которого лежат в одном а-классе с элементами ж и ж' (см.: [5, лемма 1, с. 23]). Рассмотрим конгруэнции а, 7 и 5 на алгебре (Л, /1, /2,..., /т} и те же элементы ж, ж' е S. Ясно, что жаж', П является 7, 5-путeм из ж в ж', но не существует 7,5-пути из ж в ж’, все элементы которого лежат в одном а-классе с элементами ж и ж’. Поэтому решетка конгруэнций алгебры A = (Л,/1,/2,...,/т) не дистрибутивна. Противоречие с условием доказываемой теоремы показывает, что решетка ConS дистрибутивна.

Так как сигнатура алгебры S содержит т — 1 унарную операцию, по индуктивному предположению найдутся целые числа к 1 ,к ₂ ,... ,к _т-1 >  1 и такая унарная операция h ₀ на S , что при каждом г = 1,2, ...,т — 1 на S выполнено тождество / _г (ж) = h ^¹ (ж) . Операцию h ₀ на S можно продолжить до операции на Л : если ж G S i , где 0 < г <  к , то существует и единственен элемент t G S = S 0 , для которого / т (t) = ж . Полагаем h ₀ (ж) = / т (h ₀ (t)) . Теперь ясно, что решетка конгруэнций алгебры (Л,/ 1 ,/ 2 ,...,/_т') изоморфна решетке конгруэнций алгебры ( Л, ^,/ _т ) . Используя теперь доказываемую теорему для алгебры ( Л, h o , / _т ) , фиксируем такую унарную операцию h на ( Л, / 1 , / 2 , . . . , / _т ) , что для некоторых целых а >  1 , ^ >  1 на ( Л, / 1 , / 2 , ... , / т выполнены тождества h ₀ (ж) = h “ (ж) и / _т (ж) = h ^ (ж) . Тогда h — искомая операция на ( Л, / 1 , / 2 ,..., / _т ) , поскольку при г = 1, 2,..., т — 1 на ( Л, / 1 , / 2 ,..., /_т^ выполнено тождество / _г (ж) = h ^ (ж) = h^{k v a} ( ж ) и / _т (ж) = h ^ (ж) .

Пусть теперь выполнено свойство (2). Тогда решетка конгруэнций алгебры A ⟩ изоморфна решетке конгруэнций унара ( Л, h ) , а эта решетка дистрибутивна, поскольку унар ( Л, h ) является циклом [3].