О стационарных движениях механических консервативных автономных систем

Во многих механических консервативных автономных системах, описываемых дифференциальными уравнениями вида

& = f ( x )      ( i = 1,2, . , N ),                          (1)

часто проводится изучение некоторых динамических свойств, связанных с нахождением стационарных движений и последующим исследованием их устойчивости. Термин стационарное движение и в настоящее время не твердо установлен, в основном [1] он означает установившееся со временем и не зависящее от времени движение. Там же отмечено, что они имеют некоторую аналогию с состоянием равновесия.

Традиционно они находятся развитым методом Рауса — Ляпунова [2-4], основанным на полном наборе известных первых интегралов системы (1):

V ( x ) = С 1 , V 2 ( x ) = c 2 , ^ , V k ( x ) = C k (1 <  k <  N ),               (2)

которые могут быть как общими, так и частными. Вообще говоря, при неполном наборе первых интегралов могут быть определены только некоторые стационарные движения. Указанным методом исследованы многие механические системы, начало которым положил П. А. Кузьмин [5].

Вместе с тем иногда в отечественной литературе под стационарными движениями полагаются положения равновесия системы (1), являющиеся решениями алгебраической системы:

£ ( x ) = 0, f _;( x ) = 0, l , f_N ( x ) = 0.                     (3)

Отсюда возникает вопрос об установлении соответствия или некоторого отличия между упомянутыми способами представления стационарных движений.

1 Первоначальные понятия стационарных движений

При изучении обсуждаемого вопроса следует обратиться к начальному понятию стационарные движения, которое восходит к консервативным автономным системам, описываемым дифференциальными уравнениями в канонических переменных Гамильтона [1; 6]. В них под стационарным понимается такое движение системы с циклическими переменными, при котором нециклические координаты и соответствующие циклическим координатам скорости сохраняют с течением времени постоянные значения [1, с. 257]. Отмеченное свойство постоянства значений всех координат А. М. Ляпунов [4] обобщил на механические консервативные автономные системы общего вида.

В дальнейшем будем придерживаться изложения, близкого к [1]. Рассмотрим механическую гамильтонову систему:

• q . =? НШ , p -JHqp   (i = ^^ n)      _(1J)

dP.                d q, где H(q,p) — функция Гамильтона; qt (i = 1,...,n) — позиционные координаты; pi — соответствующие им импульсы. Будем здесь допускать отсутствие циклических переменных, которые в дальнейшем не обязательны. Как ранее упоминалось [1], стационарные движения должны быть постоянными значениями и поэтому соответствуют решениям системы:

rnq^ = 0, Hq^ = 0   ₍ i = 1,2, K , n ).     (1.2)

• ^d q,               ^d p i

Дополнительно в рассмотрение вводятся некоторые алгебраические равенства [1, с. 384]:

W 1 ( q , p ) = 0, w 2 ( q , p ) = 0, к , w_k ( q , p ) = 0     (1 <  k <  n ). (1.3)

В частности, такие алгебраические соотношения могут выражать определенные наложенные связи в системе (1.1), допустимые для консервативных систем, а также первые интегралы, принимающие конкретные (фиксированные) значения. При такой постановке нахождение стационарных движений условно может выражать

З А Д А Ч А 1, состоящая в совместном выполнении условий (1.1) и (1.3):

. дH ( q , p ) . д H ( q , p ) „ _{z А}                \ а п

• q , = —:— , p i =—-— = ⁰, w 1 ⁽ q , p ) = ⁰, ■■■, w k ⁽ q , p ) = ⁰. ^{(1.4) d} p i                ^d q i

Такая переопределенная система нелинейных алгебраических уравнений для консервативной системы часто допускает вещественные решения, иногда — не единственные.

Но эту задачу можно решать другим путем, используя формулировку нового взгляда К. Г. Якоби на интегрирование гамильтоновых систем [1, с. 403]. Согласно такому подходу интегрирование (1.4) сводится к отысканию бесконечно малого невырожденного контактного преобразования переменных к такой же гамильтоновой системе с функцией Гамильтона:

k

K ( Q , P , Л ) = H ( q ( Q , P ), p ( Q , P )) - ^ A j W ( q ( Q , P ), p ( Q , P ))       (1.5)

j = 1

при вещественных множителях A j ( J = 1,2, к , k ).

При этом подчеркивается аналитическая зависимость прежних координат q_t , p_t ( i = 1,2, к n ) от новых позиционных координат

Q i ( i = 1,2, к n ) и соответствующих им импульсов P i ( i = 1,2, к n ).

В новых переменных уравнения движения запишутся:

Q , =^{д К} | М у .-?^  ( i = 1,2, к , n ).

^d P i                ^d Q i

При таком подходе для конечной цели приведения новых переменных к постоянным значениям Qi = const, Pi = const (i = 1,2, к n) [1, с. 403]

должна выполняться система:

d K ( Q , P , A ) = ₀ d K ( Q , P , A ) = ₀ s Q i        ’       d P i

( i = 1,2, к , n ),

(1.6)

аналогичная (1.2). Тогда из (1.4) следуют уравнения:

д W j ( q ( Q, P ), p ( Q, P )) = д H ( q ( Q , P ), p ( Q , P ))   д K ( Q , P )

д Qi                    д Qi              д Qi д Wj( q (Q, P ), p (Q, P)) = дH (q (Q, P), p (Q, P))  дK (Q, P)

д P i                       д P i                д P i

k

I ь

J = 1

k

I ь

I J = 1

В предположении выполнения (1.2) и (1.6) должны быть справедливы следующие равенства:

k

I ь

J = 1

д W j ( q ( Q , P ), p ( Q , P )) д Q i

= 0

k

I ь j=1

д W j ( q ( Q , P ), p ( Q , P )) д P

= 0

( i = 1,2, k , n ),

( J = 1, K , k ).

Тогда задачу 1 можно математически выразить в следующем виде:

k

I ь

J = 1

д w ( q ( Q , P ), p ( Q , P ))

д Q i

= 0,

k

I

J = 1

д w ( q ( Q , P ), p ( Q , P ))

д P i

= 0,

(1.7)

w ( q ( Q , P ), p ( Q , P ) = 0 ( i = 1, k , n ; J = 1, k , k ).

З А Д А Ч А 2. Нахождение стационарных движений системы (1.1) при дополнительных множествах (1.3) можно свести к выполнению равенств (1.7).

Но в последних уравнениях участвуют новые переменные. Чтобы учесть предыдущие переменные, введем следующие обозначения:

_п Л.   . .      .д R д R. ,д R д R      д R д R д R     д R.

^R = I ^A w ⁽ q , p )’ h ^^,^ = ^’^’L^’^’^’ L ’^) , j = 1                   д q д p д q₁   д q ₂      д q_n д p₁ д p ₂      д p_n

(обозначение «штрих» — символ транспонирования).

. , = д R д R , = д R   д R      д R   д R д R     д R ,

⁰ = ⁽ 5 Q’ 1 p ) = ⁽ Iq’ Q L,Q ’ 1PP/l^L’P^} ’

< д q 1 д 2 1 д q 1 д 2 2	д q 2         д qn    д Р 1     д р 2         д Р п ' д 2 1        д 2 1    д 2 1    д 2 1        д 2 1 д q 2         д qn    д Р 1     д p 2         д рп д 2 2      д 2 2   д 2 2   д 2 2 ’" д 2 2
д q 1 T = д 2 п д q 1 д р д q 1 д Р 2	д q 2 д qn д Р 1 д р 2 д рп д 2 п ’" д 2 п д 2 п д 2 п ■" д 2 п д q 2 . д q n д Р 1 д Р 2 . д Р п д P1 д P1 д P1 д P1 д P1 д q 2 . д qn д Р 1 д р 2 . д рп д Р2 д Р2 д Р2 д Р2 д Р2
д q 1 U Рп	д q 2         д qn   д Р 1     д Р 2         д Рп д Р п   ’" д Р п    д Р п    д Р п ’" д Р п )

Отсюда легко проверить выполнение тождества h ₀ = Th 1 .

Тогда для выполнения (1.7) при невырожденном преобразовании должно быть h1 = 0. В результате задача 2 сводится к более конкретной формулировке.

З А Д А Ч А 3. Стационарные движения системы (1.1) удовлетворяют системе алгебраических уравнений:

д w,( q, p) £ 2   _J = 0    (i = 1,2,k, п), j=1         дqi д w,( q, p) £ 2       1 = 0    (j = 1,k, k),                 (1.8) j=1         дPi wj(q, p) = 0.

Конечно, неопределенные множители Лагранжа в последней системе можно уменьшить, полагая 2 ^ 0 и вводя относительные величины V j = 2 j / 2 для j = 2, k , k .

Применяя теорему Лагранжа [6] об условном экстремуме, можно систему (1.8) интерпретировать как экстремум w ₁( q , p ) при выполнении остальных алгебраических равенств w ₂( q , p ) = 0, k , w_k = 0. Фактически задача 3 в постановке (1.8) представляет систему (2 n + k ) уравнений от (2 n + k ) переменных. В общем случае для консервативных нелинейных систем такие уравнения допускают решения и зачастую не единственные.

При этом допускается существование вещественных решений системы (1.8) для некоторых индексов j е { 1,2, . , п } , когда выполняется хотя бы одно из соотношений вида:

(d KQP) = д H ( q ( Q , P ), p ( Q , P )) ^ 0 ^д Q j  ~      ^д Q

(1.9)

д K(Q , P ) = д H(q(Q , P ), p(Q , P )) ^ 0

• V д P j               д P j

Тогда имеет место

З А М Е Ч А Н И Е 1.

Отдельные решения системы (1.8) могут не удовлетворять системе вида (1.2) для некоторых j е { 1,2, . , п } , хотя при одном из условий (1.9).

Так как многие условия w j = 0( j = 1,2, . , k ), как ранее оговаривалось, вносят дополнительные ограничения в систему (1.1) и не являются ее решениями, то решения системы (1.2) не могут совпадать с решениями системы (1.8). Отсюда следует

З А М Е Ч А Н И Е 2.

Стационарные движения системы (1.1) при ограничениях (1.3), получаемые из системы (1.8), не являются решениями положений равновесия (1.2).

• 2 Условия стационарности для механических систем общего вида

В консервативных автономных механических системах [1; 6] функция Гамильтона H ( q , p ) представляет сумму кинетической и потенциальной энергий. Для тех же механических систем, записанных не в канонических переменных, сумма упомянутых энергий составляет полную энергию системы V ₀( x ), где x е R N ( N = 2 п ). Поэтому в механических консервативных системах общего вида нет необходимости осуществлять преобразование к каноническим переменным, полагая лишь H ( q , p ) = V ₀ ( x ). Вместо алгебраических условий полагаются остальные известные первые интегралы вида (2), как общие, так и частные.

Конечно, здесь вместо функции Лагранжа вида (1.5) будет участвовать связка из первых интегралов:

k

K ( x , Л ) = V o ( x ) - £ j V^ x ) - C j ).

j = 1

Следует отметить, что часть констант интегрирования для общих интегралов может быть произвольной, а другая часть констант в количестве k1 (1 < k1 < k) имеет конечные конкретные (фиксированные) значения. При этом некоторые интегралы могут быть общими, как, например, интеграл Пуассона вида vf + у2 + у32 = 1, другие — частными. В частности, для задачи о вращении твердого тела вокруг неподвижной точки [1; 6; 8] в своих обозначениях частный интеграл Гесса Ax0p + Cz0r = 0, Горячева — Чаплыгина 4(py} + qy2) + ry3 = 0 . В этом состоит отличие от известного способа Лагранжа для условного экстремума [7], когда все условия заданы конечными конкретными значениями. При этом аналогично системе (1.7) для отыскания решений стационарности представляется иная система:

'KK (x, А) дх, дK (х, А) dAj

= 0 (i = 1,2,k, N),

= 0  ( J = 1, k , k , ).

(2.1)

Хотя последняя система недоопределена, так как имеется ( N + k 1 ) уравнений от ( N + k ) переменных, она допускает двойную трактовку:

• 1)    ее можно рассматривать как экстремум функции V , ( х ) при условии выполнения остальных k ₁ интегралов с фиксированными константами (можно рассматривать также при условии выполнения всех известных k первых интегралов с остальными произвольными константами, так как они не влияют на нахождение решений последней системы ввиду произвольных констант интегрирования), что и составляет основу метода Рауса — Ляпунова [2-4];

• 2)    на любом стационарном движении х ⁽⁰⁾ = ( х (⁰⁾ , х 2 ⁰⁾ , k , х N)), найденном при соответствующих А ⁽⁰⁾ = ( A ⁽⁰⁾ , A (⁰⁾ , k , А^ ⁰), в связке интегралов K ( х ⁰⁾, А ⁽⁰⁾ ) не содержатся линейные слагаемые по фазовым переменным.

Последнее позволяет представлять K ( х ⁰⁾, А ⁽⁰⁾ ) на стационарном движении функцией, разложение которой по отклонениям от стационарного движения начинается с членов второго наименьшего порядка. Тогда к ней можно применять второй метод Ляпунова для исследования на устойчивость найденного стационарного движения. Об этом утвердительно подчеркивается в [4].

Так как интеграл полной энергии участвует одинаково с остальными первыми интегралами, то можно в качестве испытываемого на экстремум выражения рассматривать другой первый интеграл V j ( х ), для которого A j ^ 0 и c j не относится к фиксированной константе. Тогда можно рассматривать экстремум V j ( х ) при условии выполнения остальных первых интегралов.

Очевидно, для полного набора первых интегралов решение системы алгебраических уравнений, обращающих в нуль все частные производные по фазовым переменным связки интегралов, совпадает с решениями правой части уравнений движения (1). Но для стационарных движений, кроме того, должны выполняться первые интегралы с фиксированными константами, если они есть (первые интегралы с неопределенными константами выполняются всегда). Это составляет главное отличие от решений положений равновесий. Требование существования первых интегралов с фиксированными константами при нахождении стационарных движений довольно существенно. Так, в задаче о вращении твердого тела вокруг неподвижной точки [1; 6; 8], где N = 6, уравнения движения допускают лишь общий интеграл у ,² + у 2 + у ₃ ² = const . А в аналитической механике для этой же задачи имеет смысл только интеграл Пуассона / 2 + у 2 + у ₃ ² = 1.

Наибольший интерес представляют механические системы, не содержащие первые интегралы с фиксированными константами. Возникает вопрос о возможности их существования в механике. Для таких систем, если они есть, стационарные движения будут совпадать с решениями положений равновесия.

Особый интерес вызывает неполный набор первых интегралов, при котором возможны те же стационарные движения. Вообще этот вопрос решается эмпирически в каждой конкретной системе. А в самом общем случае, чтобы не пропустить какие-то стационарные движения, необходим полный набор первых интегралов.

В целом для метода Рауса — Ляпунова важно наличие более полного набора первых интегралов уравнений движения и система уравнений вида (1) вовсе не обязательна.

Аналогично замечанию 2 здесь имеет место

З А М Е Ч А Н И Е 3.

Стационарные движения для механической автономной консервативной (1) системы, получаемые из системы (2.1), в общем случае не совпадают с решениями положений равновесия (1).

Как ранее упоминалось, совпадение возможно только при отсутствии первых интегралов с фиксированными константами.

Заключение

В статье не проводится исследование какой-либо конкретной системы, но предложено теоретическое обоснование метода Рауса — Ляпунова для механических консервативных автономных систем. Оно основывается на теории гамильтоновых систем, когда к уравнениям движения с гамильтонианом H ( q , p ) добавляются некоторые наложенные связи в виде алгебраических равенств. Измененный гамильтониан тогда по способу Лагранжа состоит из линейной комбинации исходного гамильтониана и заданных равенств с неопределенными вещественными множителями.

Такой подход в точности переносится и на механические автономные консервативные системы, где аналогом гамильтониана является интеграл полной энергии, состоящий из суммы кинетической и потенциальной энергий. В результате уравнения для нахождения стационарных движений сводятся к экстремуму интеграла полной энергии при условии выполнения остальных первых интегралов. Это и составляет основу метода Рауса — Ляпунова для механических автономных консервативных систем.