О стационарных движениях механических систем, допускающих частный интеграл Бобылева

Многие динамические свойства механических автономных консервативных систем часто выявляются при исследовании стационарных движений. Распространеным для этого объектом может быть задача о вращении твердого тела вокруг неподвижной точки [1-3]. Движение твердого тела описывается дифференциальными уравнениями [1—3]:

' Ap = ⁽ B ^- C ) qr + Mg ( у о Y з ^- z о Y 2 ),   ^Y 1 = ^r Y 2 ^- q Y 3 ,

< Bq = ⁽ C ^- A ) rp + Mg ⁽ z 0 Y i ^- x 0 Y 3 ),   ^Y 2 = P Y 3 ^- r Y i ,       ⁽¹⁾

,Cr = (A — B)pq + Mg(x0Y2 - У0Y1X  Y&3 = qYi - PY2, где A, B, C — моменты инерции твердого тела относительно главных осей Ox, Oy, Oz; p, q, r — проекции мгновенной угловой скорости на подвижные, связанные с телом оси; x0,у0, z0 — координаты центра масс в подвижных осях; Yi, Y2, Y3 — проекции ортов подвижных осей на неподвижную вертикальную ось OZ, направленную на притягивающий центр (углы Пуассона), M — масса тела; g — ускорение свободного падения.

Для системы (1) известны три общих интеграла [3]:

V 0 = Ap ² + Bq ² + Cr ² - 2 Mg ( x 0 Y 1 + у 0 Y 2 + z 0 Y 3 ) = c 0 = const (интеграл энергии);

V = Ap Y 1 + Bq Y 2 + Cr Y 1 = c 1 = const (интеграл кинетического момента), V 2 = Y 1 ² + Y 2 + Y 3 = 1 (интеграл Пуассона).

В статьях [4; 5] для существования частных интегралов В. А. Стеклова и Д. К. Бобылева показаны общие необходимые условия:

x 0 = 0, z 0 = 0,                               (2)

являющиеся только частью полных условий. В дальнейшем для краткости введем обозначения переменных системы: m = Mgy ₀/ A ; k 1 = B / A ; k ₂ = C / A ( m ^ 0; 0 <  k 1 ^ 1; k ₂ >  0) ; x = ( p , q , r , Y ] , Y ₂, Y ₃) — фазовые переменные.

В новых переменных уравнения движения запишутся:

p =(k 1- k 2) qr+ mY 3,     Y1 = rY 2 - qY 3, q = (k2 -1)/k 1 rp,        Y2 = pY3 - rY1,            (3)

, r = ^{- [(1 -} k 1 ) pq + m Y 1 ^)]/ k 2 , ^Y 3 = q Y 1 - p y 2 .

Для системы (3) некоторые частные решения, как показано в [3], можно строить исходя из дифференциального равенства для <&  = 0 . В таких ситуациях обязательно существует общий интеграл:

V 5 ( x ) = q = q ₀ = const .

Это возможно в трех случаях: 1) r = 0; 2) p = 0; 3) A = C ( k ₂ = 1) .

В первом случае для r = 0 и при дополнительном условии q ₀ * 0 ,

C >  A = B /2                          (4)

в [4] показано существование дополнительного интеграла Стеклова:

. r = ^{- (} pq + m Y i )/ k 2 ,    ^Y 3 = q Y i - p y 2 .

Здесь для твердого тела необходимо выполнение условия 1 <  k ₂ <  3 .

В статье [6] составлены стационарные движения уравнений (5): ( A ^.0) p 0 = q 0 = r 0 = 0; Y 10 = y 30 = 0; y 20 = ± 1 ;

( ^{A .1)} p 0 = ^r 0 = 0; ⁰ * q 0 = const ; Y 10 = y 30 = 0; y 20 = ± 1 ;

⁽ A.2) p 0 = q 0—; q 0 = ±^- ^ ^ 0 ; ^r 0 = °; Y 10 =± 7 ^{1 -} y 20 ;0 < | y 20 1 ^ 1;

Y 20

Y 30 = 0; sign Y 20 =- signm •

Во втором случае p = 0 при другом условии q ₀ * 0 ,

A >  C = B /2                         (6)

в [5] показано существование дополнительного интеграла Бобылева:

V ₅( x ) = m y ₃ ² - 2 k ₂ q 2 y ₂ = const .

Он также является частным и для этого случая необходимо выполнение условия 1/3 <  k ₂ <  1 . Соответствующие уравнения движения имеют вид:

p = k2 qr + mY3,       Y = rY2 -qY3, q = 0,              Y2 = py3 - rY1,        (7)

, r = ^{[(1 -} 2 k 2 ) pq ^- m Y 1 ^]/ k 2 , ^Y 3 = q Y 1 ^- p Y 2 ^.

Здесь предстоит найти стационарные движения для механической системы, описываемой уравнениями (7).

• 1    О равнозначности частных интегралов Стеклова и Бобылева

Нахождение стационарных движений будем проводить известным методом Рауса — Ляпунова [7-9]. В статье [6] выявлены упомянутые стационарные движения с частным интегралом Стеклова и установлен ряд свойств, позволяющий упростить процесс отыскания стационарных движений. Поэтому здесь уместно применить известные средства анализа стационарных движений для систем с частным интегралом Стеклова. Особенно если возможно установить соответствие между частными интегралами Стеклова и Бобылева.

Эквивалентность механических систем с указанными частными инте- гралами можно показать сведением записанных в разных координатах уравнений движения (5) и (7) к одинаковой системе дифференциальных уравнений. С этой целью для интеграла Бобылева в системе (7) введем дополнительные промежуточные обозначения:

y₀ m , A 1 ,

B = k 1

C = k 2

mi = Mg — =—; k з = — = -^; k 4

\> k 2          >> k 2

( m 1 ^ 0;1/3 <  k ₃ <  1, k 1 /3 <  k ₄ <  k 1 ).

В уравнениях механической системы (з) введем систему координат Ouvw с тем же началом отсчета. При этом ось Ou пусть будет направ лена по Oz; ось Ov полностью совпадает с осью Oy ; ось Ow расположена по оси Ox, но в противоположном направлении. В новой системе координат Ouvw легко пересчитать проекции мгновенной угловой скорости:     p(1) = r; q(1) = q; r(1) = -p, и углов Пуассона:

• (1)           „(2)(3)

• М = 73; М = 72; М=

Уравнения движения (3) в новой системе координат запишутся в следующем виде:

• p(1) = r = с1 -kL)(-r(1))q(1) -m(-М(3)) = (k4 -k3)r(1)q(1) + т1М(3), k 2   k 2

q (о = q =(1 - k3>k 1 (-r (0) pco = ki-l r (opa), k 2

* r ⁽¹⁾ =- p ⁽¹⁾ = (1 - k 4 ) k 2 p ⁽¹⁾ q ⁽¹⁾ - m 1 k 2 М ⁽¹⁾ = a- k J p ^ q i^ m E ll , k ³

М(1) = y3 = r(1) М(2) - q(1) М(3),

М ⁽²⁾ = 7 2 = p ⁽¹⁾ М ⁽³⁾ - r ⁽¹⁾ М ⁽¹⁾,

(1.1)

При формальной замене в системе (1.1) переменной p ⁽¹⁾ вместо p , переменной q ⁽¹⁾ вместо q , переменной r ⁽¹⁾ вместо r , переменной ц ⁽¹⁾ вместо Y 1 , переменной ц ⁽²⁾ вместо у ₂ , переменной ц ⁽³⁾ вместо у ₃ , в точности получилась система вида (3), где роль параметров k 1 , k ₂ выполняют соответственно k ₄, k ₃ . Вместе с тем интеграл Бобылева

V5(x) = m y1 - 2k2 q2 у2 = const приводится к интегралу вида m1 ц(3)2 - 2 q01)2 ц(2) = const.

Тем самым можно утверждать эквивалентность частных интегралов Стеклова и Бобылева.

В соответствии с установленным здесь соответствием интегралов можно применить приведенные в [6] свойства:

• 1)    связку интегралов при нахождении стационарных движений с частным интегралом Бобылева по методу Рауса — Ляпунова можно строить только из трех общих интегралов: V ) ( x ) = const , V ( x ) = const , V 2 ( x ) = 1 при учете условий (6);

• 2)    вместе с нахождением решений стационарности для проверки их постоянных величин обязательное использование обращенных в нуль правых частей системы (7).

Поэтому сразу для проверки постоянных решений системы (7) запишем систему алгебраических равенств:

• f , = k 2 qr + m y 3 = 0,         f 4 = r y 2 ^- q y 3 = 0,

• < f 3 = ^{(1 - 2} k 2 ) pq - ^m Y 1 = ⁰,      f 5 = p y 3 ^{- r} Y 1 = ⁰,

f5 = qY1 - py2 = 0     f7 = y1 + Y22 + Y32 -1 = 0

(1.2)

Их применение будет востребовано после нахождения решений стационарности при построении стационарных движений.

• 2 Стационарные движения для интеграла Бобылева

Стационарные движения, следуя методу Рауса — Ляпунова [9], ищутся экстремумом интеграла полной энергии при условии существования остальных первых интегралов. При p = 0 и условии (6) для механических систем с частным интегралом Бобылева основные общие интегралы движения принимают вид:

• V ₀₁( x ) = 2 q ² + r ² - 2 m / k ₂ y ₂ = const , V 11 = 2 q Y ₂ + r Y ₃ = const .

Тогда при составлении условий стационарности переменная p исключается из анализа, а уравнения стационарности будут рассматриваться для остальных переменных.

Согласно сказанному составим связку из первых интегралов: K 1 ( x , a ) = V ₀₁( x ) - a 1 V 11 ( x ) - a ₂V ₂( x )

с вещественными коэффициентами a 1 , a ₂ .

Уравнения стационарности согласно [10] здесь имеют вид:

дK. (x, a)

—Ч----= F2 = 2(2q - al У2) = 0, д q дK (x, a) F_

--------= F3 = 2 r - al у 3 = 0, д r дK (x, a)   .    _.

—L----= F ₄ =^{- 2 a} 2 Y 1 = 0, д / i

(2.1)

'дK (x, a)

—1—=F = -2b+ai q+a 2 У 2)=0, дУ 2

дK, (x, a) ,     ,.

— ----= F6 = -(ai r + 2a 2 Y 3) = 0, дГз eK(xa = F = -7 + 7 2 + у3 -1)=0.

I     ^дa 2

Из равенств F ₂ = 0, F ₃ = 0 легко составить соотношение r = q y ₃ / 7 ₂ .

В дальнейшем полагаем y ₂ * 0 , иначе при y ₂ = 0 из F ₂ = 0, F₅ = 0

должно выполняться n = 0 , что недопустимо по условию задачи.

Равенство F 4 = 0 образует два варианта поиска решений стационарности системы (2.1): 1) у 1 = 0, 2) a ₂ = 0 .

Для первого варианта при у 1 = 0 упрощается только выражение F7 = 0. Исключение переменной r из F3 = 0, F6 = 0 приводит к равен- ству:

у ₃( a 1 ² + 4 a ₂) = 0 .                         (2.2)

Первое предположение равенства (2.2) у ₃ = 0 приводит к r = 0 . Исключение a 1 из уравнений F ₂ = 0, F₅ = 0 позволяет составить соотношение q ² =- ( n Y ₂ + a ₂ y ₂) . Так как здесь на a ₂ не имеются ограничения, то его значение можно выбирать произвольным вещественным и тогда q также будет произвольной величиной. Следовательно, можно записать такое решение стационарности:

( P.C .1) p = r = 0; q = const ; y 1 = у ₃ = 0; у ₂ = ± 1 .

Для равенств (1.2) найденное решение стационарности выполняется без всяких условий. Тогда стационарным движением будет ⁽ II . 1) p 0 = ^r 0 = 0;⁰ * q 0 = const ; У 10 = у 30 = 0; у 20 = ± 1 •

В частности, стационарным движением допускается более простое состояние покоя:

( II .0) p о = q о = r o = °; у_ш = у ₃₀ = 0; у 20 = ± 1 .

Для другого решения (2.2) при у3 ^ 0 подстановка a2 = —а2 /4 в m

F₅ = 0 сводится к равенству-- + a₃ q-- у₂ = 0 . Следующая подста-

• 5                                   k 24

новка a1 = 2q / у2 из F2 = 0 приводит последнее соотношение к равен ству   k2q2 + my2 = 0, откуда следует q = ±   mY2 . Конечно, здесь

• 2       22        '2              2

знак у ₂ подбирается в зависимости от знака m .

Окончательно решением стационарности здесь будет:

( P . C .2) p = 0; q = ± р^у ; r = q ^{У з}- ; У 1 = 0; 0 <  \у 2) <  1; у 3 = ±^у 1 - у 22 ;

\ k2

sign у ₂ = — sign т .

Найденное решение стационарности полностью удовлетворяет всем равенствам системы (1.2) и поэтому является стационарным движением:

—

( II .2) p 0 = 0; q 0 =±

V    ^k 2

^т У 20.

;

r 0 = q 0 —; у ю = ⁰;0 <  ^у 201 <  1;

у 20

• у 30 = ± V ^{1 —} у 2 ² 0 , sign у 20 = ^— sign ^т .

Рассмотрим другой вариант решения а ₂ = 0 . Здесь недопустимо одновременное выполнение а 1 = 0 , а ₂ = 0 в предположении т ^ 0 . Иначе из F₅ = 0 непосредственно следовало бы т = 0 . Исключение а 1 из F ₂ = 0, F ₅ = 0 приводит к равенству 2 k ₂ q ² + т у ₂ = 0 .

Соответствующим решением стационарности здесь будет:

—

т у ₂

( P . C .3) p = 0; q = ±

\ ² k 2

;

r = q—; у1 = 0 < у2I < 1; уз =±V1 — у22, у 2

sign у ₂ = — sign т .

Его подстановка в равенства (1.2) приводит к у ₃ = 0 . Конечным результатом после проверки условий (1.2) получаются стационарные движения вида ( II . 1) , существующие при конкретном значении q ₀ .

Стационарные движения ( II .0) реализуются при следующих значе-

„           Л — т „ ниях множителей Лагранжа: а1 = 0; а2 =-----. Для стационарных k 2 у 20

движений ( II . 1) и ( II .2) значениями множителей Лагранжа являются:

_ - m - m a1 - ±2 ------; a2 =------.

\ ^k 2 ^у 20          ^k 2 ^у 20

Как и в случае частного интеграла Стеклова, для частного интеграла Бобылева существует восемь простейших стационарных движений.

Конечно здесь может возникать вопрос о составлении стационарных движений в предположении постоянными значениями величины q = q ₀ = const . В изложенном подходе при исключении переменной p = 0 вместе с игнорированием общего интеграла V 3 ( x ) = q - q ₀ = const         и         интеграла         Бобылева

V 5 ( x ) = m у ₃ ² - 2 k ₂ q 2 у ₂ = const стационарные движения были получены без особых затруднений. Вместе с тем может рассматриваться уточнение постоянной величины q и тогда в уравнениях стационарности (2.1) она должна быть непеременной. В таком случае не допускается частная производная от K 1 ( x, a ) по q . Также в интеграле энергии V л ( x ) = 2 q ² + r ² - 2 m / k ₂ у ₂ = const первое слагаемое является постоянной величиной и его можно исключить из рассмотрения. В этом случае первыми интегралами будут:

V ) ₂( x ) = r ² - 2 m / k ₂ у ₂ = const ,                  V ₁₂ - 2 q y ₂ + r у ₃ = const ,

V 2 = Y j ² + у 2^ у ₃ ² = 1 . Связка интегралов согласно [9] тогда будет такой:

K 2 ( x , в ) = V _й( x ) - в 1М x ) - в 2 V 2 ( x ) с вещественными коэффициентами в 1 , в ₂ . Уравнения стационарности в таком случае имеют вид:

^д K 2 ⁽ x ’ ^р ) _{= F =}2r- By =0 ~          ¹ 23    ^r ^p1^у 3 ^U,

5 r dK2( x ’P) - F24 -ву У1=0, дУ1

. K^ S ! - F₃ -- 2( m + P 1 q + P 2 У 2 ), ду 2                  k 2

д K ( x , в )   _{г                  ч Л}

,      = F26 - -(P1 r + 2в2 У3) - 0, ду 3

Ktr) - F27 - -(у/ + у2 + у2 -1) - 0.

I  др

Для равенства F ₂₄ - 0 рассматриваются две возможности составления решений: 1) в ₂ = 0; 2) у 1 - 0 .

В первой возможности при в ₂ = 0 из равенства F ₂₆ = 0 возникает два варианта решений: a ) в = 0; b ) r = 0 .

В случае первого варианта в ₁ = 0 из F ₂₅ = 0 получается m = 0 , что недопустимо по условию задачи в предположении у ₀ ^ 0 . Поэтому далее всюду предполагается в ₁ ^ 0 .

В случае r = 0 из F ₂₃ = 0 следует y ₃ = 0 ( в ₁ = 0 , как ранее установлено, не допускается). При этом из F ₂₅ = 0 можно составить решение

m q =--, являющееся конечным. Окончательно решение стационарно- k 2 в1

сти можно составить в виде:

⁽ P.С .4) p = 0; q = ^- m— ; r = 0; Y 1 = ±Т^1- / ! ; Y з = ⁰ .

^k 2 P 1

Подстановка этого решения в (1.2) получает следующие требования: q / 1 = 0;1 - Y 2 ² = 0 .

Остальные условия выполняются тождественно. Отсюда следует / ₁ = 0; Y ₂ =± 1 . Ввиду значений в ₁ , не имеющих определенных значений, здесь полученное стационарное движение полностью совпадает с ( II .1) .

Для второй возможности при /1 = 0, из равенств F23 = 0, F26 = 0 ис ключая в общем случае нетривиальные r, Y3, можно составить условие: в12 + 4 в2 = 0.

с          п 2 Г

Из равенства F ₂₃ = 0 в предположении y ₃ ^ 0 выразим в ₁ = — . Да-

Y з лее для F26 = 0 тогда можно заключить в2 = -r2 / Y32, откуда, в частно сти, следует r ^ 0. Далее из равенства F25 = 0 в таком случае выразим:

q =

, r ²         m,

⁽— Y 2 ^- ^)Y ^Y 3        ^k 2

2 r

(2.3)

Решение стационарности здесь тогда можно составить таким:

( r Y - m ) Y з

⁽ P.С .5) p = 0; q = ^Y' - ----; Y 1 = ⁰; Y 3 = ±7 ^{1 -} Y 22 •

Подстановка составленного решения в (1.2) задает такие условия: ^k Y ■ о, 1 ₂

( r Y - m ) Y 3 - 2 r ² Y 2 ■ 0.

I Y 3

Из полученной системы можно установить од но общ ее равенство

2. m 2                                 Y- r y2 +--y3 ■ 0, откуда решением будет r = ± — к 2                                             Y 2 V k 2

Подстановка составленного значения в выражение для q по формуле

(2.3) позволяет выразить

q ■ ± (-mY2)

к ₂

- m Y ₂ к ₂

■ ±

V

- m Y ₂ к ₂

Таким образом,

в результате стационарным движением и здесь окончательно получается ( II .2) .

При этом следует отметить, что в последнем подходе (при учете q ■ q ₀ ■ const ) стационарное движение получилось с более трудными вычислительными выкладками. Наиболее простое решение состоит в формальной подстановке в первые интегралы только условий: p ■ 0, B ■ 2 C и системы (1.2) для проверки постоянных решений.

В целом можно отметить следующее.

Свойство 1.

При нахождении методом Рауса — Ляпунова стационарных движений механических систем с частным интегралом Бобылева не следует исключать из анализа переменных q , кроме переменной p , входящей в условия существования частного интеграла при условии p = 0 .

Величина q ■ q ₀ ■ const устанавливается только из дифференциальных уравнений движения (7). При этом для стационарных движений все переменные системы (7) являются в конечном итоге постоянными величинами. Поэтому система (2.1) одинаково относится ко всем постоянным значениям фазовых переменных.

Точно такое же свойство имеет место для механических систем с частным интегралом Стеклова, с тем лишь отличием, что используется условие r = 0 , и тем самым переменная r исключается из анализа.

В целом для механических систем с частными интегралами Стеклова или Бобылева можно составить важное

Свойство 2.

При нахождении методом Рауса — Ляпунова стационарных движений механических систем с частным интегралом Бобылева или Стеклова необязательно участие их аналитических выражений, а необходимы лишь их условия существования.

Для частного интеграла Стеклова условия существования заключаются в выполнении геометрических соотношений x ₀ = z ₀ = 0 и динамических условий: r = 0, B = 2 A .

Точно так же для частного интеграла Бобылева условия существования состоят в выполнении геометрических соотношений x ₀ = z ₀ = 0 и динамических условий: p = 0, B = 2 C .

Второе свойство является необычным для метода Рауса — Ляпунова ввиду того, что его основу [9] составляют только первые интегралы уравнений движения.

Заключение

Проведенные в [6] и настоящей статье исследования нахождения методом Рауса — Ляпунова стационарных движений механической системы с частными интегралами В. А. Стеклова и Д. К. Бобылева продемонстрировали возможность применения неполной связки интегралов. Особенность состоит в том, что при их отыскании можно не учитывать аналитические выражения частных интегралов. Неполная связка востребована прежде всего для упрощения построения решений стационарности. Это сопровождается уменьшением вычислительного процесса для формирования стационарных движений.

Стационарные движения для частных интегралов Стеклова и Бобылева формально похожи и одинаковы по количеству стационарных движений.