О степенном порядке роста нижних Q-гомеоморфизмов
Автор: Салимов Руслан Радикович
Журнал: Владикавказский математический журнал @vmj-ru
Статья в выпуске: 2 т.19, 2017 года.
Бесплатный доступ
В работе исследуется асимптотическое поведение в точке нижних Q-гомеоморфизмов относительно p-модуля. Найдены достаточные условия на функцию Q, при которых отображение имеет степенной порядок роста. В работе приведены приложения этих результатов к классам Орлича - Соболева W1,φloc в Rn, n⩾3, при условии типа Кальдерона на функцию φ и, в частности, к классам Соболева W1,ploc при p>n-1. Приведен пример гомеоморфизма, показывающий точность порядка роста.
P-модуль, p-ёмкость, нижние q-гомеоморфизмы, отображения с конечным искажением, класс соболева, класс орлича - соболева
Короткий адрес: https://sciup.org/14318600
IDR: 14318600 | DOI: 10.23671/VNC.2017.2.6507
Текст научной статьи О степенном порядке роста нижних Q-гомеоморфизмов
Напомним некоторые определения. Следуя [1, разд. 9.2], k-мерной поверхностъю S в Rn называем произвольное iюпрерывное отображение S : ш ^ Rn. г,те ш — открытое множество в Rk := Rk U {то} 11 k = 1,...,n — 1. Функцией кратности поверхности S называем число прообразов
N (S, y) = card S 1(у) = card { x E ш : S (x) = у } , у E R n.
Другими словами, символ N(S,y) обозначает кратноеть накрытия точки у поверхностью S. Известно, что функция кратности является полунепрерывной снизу, и, значит, измерима относительно произвольной хаусдорфовой меры Hk (см. [1, разд. 9.2]).
Для борелевской функции р : Rn ^ [0, то] ее интеграл по поверхности S определя ется равенством
/ pdAk :=
S
Rn
р(у) N (S, у) dHkу.
Пусть Г — еезжнетво k-мерных поверхностей S. Боре.тева функция р : Rn ^ [0 , то ] называется допустимой для семейства. Г. пи шут р E adm© если
У pk dAk > 1
S для каждой поверхности S E Г. Пусть p E (1, то) — заданное фиксированное число. Тогда р-,модулем <семейства Г называется величина
Mp (Г) =
inf I pp(x) dm(x). ρ ∈ adm Γ
R n
Будем говорить, что свойство P имеет место для p-почти всех (р-п.в.) k-мерных по верхностей S семе Детва Г, если подсемейство всех поверхностей семейства, Г. для которых свойство P нарушается, имеет p-модуть путь.
Говорят (см. [1, разд. 9.2]), что измеримая по Лебегу функция р : Rn ^ [0, то ] является обобщение р-бопустихши для семейства, Г. состоящего из ( n - 1)-мериых поверхностей S в Rn. пи шут р Е ext p admR если
j рп 1 (х) dAn-i > 1
S
(1.1)
для р-п. в. S Е Г.
Пусть D ii D0 - облаети в Rn. n > 2. x0 Е D. Q : D ^ (0, то ) - измеримая по Лебегу функция. Гомеоморфизм f : D ^ D' башем называть uuxcuuxi Q-гомеоморфизмом отиоситс.ионо р-лшбуля в точке xo, если
Mp У Sa) > inf [ ^ dm(x)
pCextp adm XA J Q(x)
A
(1.2)
для каждого кольца
A = A (xo, £1, £2) = {x Е R n : £1 < |х — xo| < £2} , 0 < £1 6 £2 < do,
где do = dist(xo,dD), a Sa обозначает семейство всех сфер
S(x0,r) = {х Е R n : |х — x01 = r} , r Е (£1,£2).
(1.3)
В работах [2] и [3] приводятся приложения нижних Q-гомеоморфизмов к исследованию локального и граничного поведения гомеоморфных решений с обобщенными производными и к задаче Дирихле для уравнений Бельтрами с вырождением.
Теория нижних Q-гомеоморфизмов применима к отображениям с конечным искажением класса Орлича - Соболева W^ при наличии условия Кальдерона и, в частности, к классам Соболева W Of щш р > n — 1 (см. [4-11]).
В данной работе мы устанавливаем аналоги леммы типа, Икомы - Шварца, для ниж них Q-гомеоморфизмов относительно р-моду.тя (см. [12. теорема, 2].
Ниже приведен критерий нижних Q-гомеоморфизмов относительно р-моду.тя при p>n — 1 (ем. [5. теорема. 3.7]). Впсрвью критерий был доказан при р = n в работе [13, теорема, 2.1] (см. также монографию [1, теорема, 9.2]).
Лемма 1.1. Пусть D — область в R n, n > 2, x0 Е D. Предположим, что Q : D ^ (0, то) — измеримая фуикпня. Гомеоморфизм f : D ^ R n является нижним Q-гомсо-морфизмом в точке x0 относительно р-модуля при р > n — 1 тогда и только тогда, когда
ε 2
Mp(fs >/ й
ε 1
dr
-------,------, 0
p-n+1
(1.4)
где do = dist(xo,дD), Sr — семействеэ всех ссфер S(xo, г) = {х Е R n : | х — хо| = г}. Г Е (£1,£2). II
k Q k n-1 p-n+1
n-1
Qp-n+i (х) dAn-i
S(x0,r)
)
p-n+1 n-1
.
(1.5)
Инфимум в (1.2) достигается только для функции
( Q(x) V-n+1
(1.6)
Р0(Х) k Q k^-_ ( | x - xo l )
p-n +1
Замечание 1.1. Ниже мы используем стандартные соглашения, что a/то = 0 для a = то, a/0 = то, если a > 0, и 0 •то = 0 (см., например, [14]).
Пусть
D
- область в Rn
,n
>
2. E,F
С
D -
произвольные множества. Обозначим через
A(E,F; D)
семейство веех кривых
y
: [a,b]
^ Rn
,
которые соединяют
E
ii
F
в
D, т. о. Y (a) € E, Y (b) €
F и
Y(t) €
D
при
a
Следующая лемма, была, получена, в работе [10, лемма. 5.3].
Лемма 1.2. Пусть D и D 0 — области в Rn, n > 2. Предположим, что Q : D ^ (0, то) — измеримая по Лебегу функция и f : D ^ D' — нижний Q-гомеоморфизм в точке xo относительно p-модуля при p > n — 1. Тогда имеет место оценка
- n- 1 ε 2 p-n +1
\ f l
A(fS1,fS2,fD) 6 - , (1.7)
k Q k n-1 (xo,r)
ε1 p-n +1
где Sj = S(xo, Ej). j = 1, 2, ii p-n+1

n-1 \ n - 1
Qp-n+1 (x) dAn-i\ . (1.8)
,r)
ЗАМЕЧАНИЕ 1.2. Отметим, что норма ||Qk n- 1 (xo,r) по некоторым сферам S(xo,r) p-n +1
может быть равна бесконечности. По теореме Фубини функция kQk n-1 (xo,r) измерима но r в силу измеримости ио x функции Q. Более того.
ε 2
dr k Qk (xo,r)
<
то
, 0 < E
i
<
E2
ε 1 p-n +1
Это следует из условия гомеоморфности отображения f и леммы 1.2, поскольку —^ -емкость невырожденного кольца не може^ быть равна нулю. (Определение ^сти см. ниже.) Интеграл в (1.9) может быть равен нулю в случае, если k Q k n- 1 (xo,r) = то p-n +1
и. в., но тогда, соотношение (1.7) очевидно.
-
2. О емкости конденсатора
Следуя работе [15]. пару E = ( A,C). г де A с Rn - открытое множество и C -непустое компактное множество, содержащееся в A, называем конденсатором. Конден сатор E называется кольну вилi конденсатором, если G = A \ C - кольцо, т. с. если G - область, дополнение которой Rn \ G состоит в точности из двух компонент. Говорят так же. Tito конденсатор E = ( A,C ) лежит в области D. если A С D. Очевидно, что если f : D ^ Rn - непрерывное. откГ>ытос отображение ii E = ( A, C) - концеисатор в D. то ( fA,fC ) также коидеисатор в fD. Далее, f E = ( fA,fC).
Функция u : A ^ R абсолютно непрерывна на прямой, имеющей непустое пересечение с A, если она абсолютно непрерывна на любом отрезке этой прямой, заключенном в A. Функция u : A ^ R прииадлсжнт классу ACL ( абсолютно непрерывна па понта всех прямых), если она абсолютно непрерывна на почти всех прямых, параллельных любой координатной оси.
Обозначим через C0 ( A ) множество непрерывиых функций u : A ^ R1 с компактным носителем. W0 ( E ) = W0(A,C ) - семейство неотрицательиых функций u : A ^ R1 таких, что 1) u G C0(A ): 2) u(x) > 1 д.тя x G C 3) u прииадлсжнт классу ACL. Также обозначим
n
(2.1)
| ∇ u|
При p > 1 величину capp E = capp (A, C)
= inf ueWa(E)
Z1w|p dm(x)
A
(2.2)
называют p-e.MHoemmo коидсисатора. E.
В дальнейшем при p > 1 мы будем использовать равенство (см. [16, теорема 1])
capp E = Mp(A(dA, dC ; A \ C )).
(2.3)
Известно, что при 1
p capp E > nOnn n-p p — 1 p-1 n-
[m(C
)] ~
(2.4) где On — объем единичного шара в Rn (см., например, [17, неравенство (8.9)]).
3. О степенном порядке роста нижних Q-гомеоморфизмов
Вата- дал....
B
r
= {x G
Rn
:
|
x
|
< r
). Bn
= {x G
R"
:
|
x
|
< 1}.
S,
= {x G
Rn
:
|x
= r
>. On — ооъем едшшниого шара, Bn в Rn 11
wn-i
— плошадь едзшинной сферы Sn 1 в Rn.
Ниже приведена, лемма, об оценке искажения емкости сферического конденсатора, при
нижних Q-гомсоморфнзмах.
Лемма ЗЛ. Пусть f : Bn ^ Bn, n > 2, — нижний Q-гомеоморфизм относительно p-модуля при p > n. Предполоялы. что для некоторых конечных чисел X > 1. а > Он C0 > 0 выполнено условие где λε
, - [
_____dr_____
J
kQk^-L. (r)
^
p—
n+1
V
E
G (0,
Eo
),
Eo
G
0X (3.1) IIQk n—1
p
—
n+1
(r)
f
n
—
1
Qp—n+1
S
r
p
—
n+1
(x)
dAn-Л
n—1
Тогда имеет место оценка cap p p — n+1
----- --n1
a(n—
1)
(fBXe,fBA 6 Co p—n+1 E
p
—
n+1
.
(3.2) C A = A(0, £1, Е2) = {x Е Rn : Е1 < |x| < Е2}, 0 < Е1 < Е2< 1.
Тогда (
B
£2
,B
51) - кольцевой конденсатор в Bn 11
ffBe2 JBS1
) - кольцевой конденсатор в Bn.
Пусть Г* = A(fS51,fS£2,f A). Тогда согласно (2.3) имеем равенство capp—n- (fBE2,JB£i) = M n (Г*).(3.3) По лемме 1.2 получаем, что е2
___ Г dr
p —
n
+1
capж. (fBe2,fB=1) 6 ( J II Q| n—1 (r) ) •
X51 p —n+1/
Далее, выбирая в (3.4)
Е1
=
е
< Е0
< 1 i1
е2
=
Хе.
получим
/ Ае х
n-
Д
____ Г dr p—n+1
cap—
В_—
(/BA^/B)
6
. (З.б)
p
—
n+1
II
Q
I
n
—1
(r)
X5 p
—
n
+1
Из условия (3.1) вытекает оценка (3.2).
B
Следующий результат является аналогом известной леммы Икомы — Шварца об оценке нижнего предела, см. теорему 2 в [121-
Теорема 3.1.
Пусть f
: B
n ^
B
n,
n >
2
,
— нижний Q-гомеоморфизм относительно p-модуля при р > n, удовлетворяющий условию f
(0) = 0.
Если для некоторых конечных чисел X >
1,
a
>
0
и Со
>
0
выполнено условие
λε е" / или dr с 1 > Co(
HQH
n
—1
(r) 5
для любого Е Е (0, Ео). Е0 Е (0, А)• то liminf fx^ 6 vo C--p—n, x→0 |x|p-n0 0
где
v0 — положительная
постоя!шая. зависящая только от n и р.
C Рассмотрим конленсатор
ffB^jBg
)
,
е
Е
(0,ео
).
Е0 Е (
0
,
1). В
силу
леммы 3.1
имеем оценку
----- --n
__1__ cr(n—1)
cap (fBAe,fBe) 6 C p—n+1
е
p—n+H
. (3.8)
p
—
n
+1
Используя соотношение (2.4), получаем n(p — n+1) — p capp—n- (f BXe, fBe) > vi [m (fBe)] n(p—n+1) , (3.9)
где v1 — константа, зависящая толью
з
от размерности пространства,
n
ii
р.
Комбинируя (3.8) и (3.9), заключаем, что n" ^n
m(fBe)
6
vo Co
p—n
е
p—n,
(3.10)
ν0 n p Учитывая, что f (0) = 0. получаем и, следовательно, n
6
m (fBe)
(3.11)
n
Im (fBe)
min |f (x)| 6 \ —5—-. |
x
|=
e
Un
Таким образом, учитывая неравенства. (3.10) и (3.12), имеем (3.12) lim inf
I
f (x)
l
σ σ xMO |x| p-n m=n |f (x)|
= lim inf ——
Д-
-- 6
lim inf
л
>o £
p-n
e
>o
m fB
ε
σn
U
n
E
p
-n
n
p
-
n
6
vo Co ,
где vo — положительная постоя:шая. зависятпдя только от
n п р.
B
Следствие 3.1.
В частности, если для некоторых конечных чисел X >
1
выполнено условие
И
Co
> 0
λε p-n
ε
k
Q
k
ε для любого e E (0, £o), eo € (0, у) , го dr
n
—
1
p
—
n
+1
ТУ
>
Co
(r) (3.13)
If
(x)
I
lim inf —:—:—
x
^o
|
x
|
p
-
n
6
vo Co ,
(3.14)
где
vo —
положительная постоятшая. зависящая только от n п р.
Теорема 3.2.
Пусть
f : B
n
^
B
n,
n >
2,
— нижний Q-гомеоморфизм относительно p-модуля при р > n, удовлетворяющий условию f
(0) = 0.
Если для некоторых чисел
qo
E
(0,
то
),
y
E
[0, р
—
n)
выполнено условие
Wn —1ГП—
1
Г
n
—
1
Qp—n+1
(x)
dAn—1
S
r
p
—
n
+1
n
—
1
6
qo r
- γ , (3.15)
лля П.В. r E
(O,ro). ro
E
(0,
e
),
to
|f(x)| p lim inf —— - 6 vo qo x^0 |xp p-n - n , (3.16)
где
vo
— положительная константа, зависящая только от и
р.
n C Из условия (3.15) вытекает оттенка. kQk n—1
p
—
n
+1
(r) = Q S r
Пусть
X = e
ii
a =
p
—
n
-
ε
p
-
n
-
γ
где
Co
= —
ω
n
e
n
+
Y
—
p
—
1
—
n
+
n
—
1
—
1
n
—
1
p
-n+1 (x)
dAn—1
)
p
—
n
+1
n
—
1
6
ω
p
—
n
+1
’n—
—1 qo
rp—n—Y+1
Y- Из неравенства (3.17) следует условие eε k Qk ε dr
— (r)
p
-
n
+1
> εp-n-γ p — n+1 , . n—1 Wn—1 qo eε / ε dr
r
P
-
n
-
Y
+1
= Co , . (3.17) (3.18)
q
o
(
n
+
Y
-
p
)
Применяя теорему 3.1
с
параметрами
А = e. a =
p
—
n
—
y и
Co =
p
—
n
++
Y p
—1---
^n—n—1
qo(n+Y-p)
получаем оценку lf(x)l p liminf —---y- 6 voq x^0 |x|1—p-n o - n , (3.19)
где vo — положительная
hoctohi
шая. зависящая только от
n
ii
p.
B
Следствие 3.2. В частности, если для некоторого конечного числа qo > 0 выполнено условие Wn-yrn-1
f
n
—
1
Qp—n+1
(x) dA
n
-
1
S
r
p — n +
n
—
1
6
q
o
(3.20) для п.в. r E (0, ro). ro E (0, e). to lf(x)l . p W IT 6 voqo - n , (3.21) где vo — положительная константа, зависящая только n p
Следствие 3.3.
Если Q(x)
6
K <
то
для п.в. x E
Bn, то
I
f (x)
l
lim inf —:—:— x T)
|
x
|
6
v
o
K p—n ,
(3.22)
где
v
o
— положительная константа, зависяшая только от размерности пространства n
p
Лемма 3.2.
Пусть Q E
La(Bn),
a
>
pnn
,
p > n. Тогда при
А > 1
имеет место оценка
λε
εσ
k
Q
k
ε dr
(r)
p
—
n
+1
>
-co
>
k
Q
k
α
(3.23)
™ „,,«,„ e e
(0,
1
). гT.
k
Q
k
a
= (R
Bn
Qa
(x) dm(x))
X
Л =
^p
-
nnn
ная постоянная, зависящая только от n, p,
А
и a.
C Пусть А > 1. Заметим, что
II
Co —
положитсль-
λε
/
n
—
1
k
Q
k
n—1
(r)
p
—
n
+1
ε dr n—1 . (3.24)
k
Q
k
n
p —
n
+1
1
(r)
Применяя теорему Фубини и неравенство Гёльдера с показателями q = — q p—n+1 q0 = p n—1 * имеем λε k Qk ε dr
n
—
1
(r)
p
—
n
+1
)
n
—
1
p
—
n
+1
__
p
/
n
—
1
((А
—
1)e)
p
-
n
+1
Q
p
-
n
+1
(x) dm(x),
(3.25) A
где A = A(0,
e,
Ae).
Применяя еще раз неравенство Гёльдера с показателями
q
= ^p-—+1)
a(p—
n
+1)
a(p
—
n+1)
—
П+1
' получаем
>
II
q
λε k Qk ε dr
n
—
1
p
—
n
+1
A
n
—
1
p
—
n
+1
6
c1 E6
j Qa (x) dm^j A
n
—
1
a
(
p
—
n
+1)
, (3.26)
где
9
=
α
(
n
—1)(
ap
—
an
—
n
)
a
(
p
—
n
+1)
ii
c
i — положительная постоя!шая. зависящая только от
n. p.
А
Отсюда вытекает оценка λε
Г
dr
со
(3.27)
J
k
Q
k Ж-1
(r)
> k
Q
k
a
5
p—
n+1
где kQka = (JBn Qa(x) dm(x)) a = a(p ^ n 11 co — положительная постоянная, зави сящая только от n. p. Ana. B Теорема 3.3. Пусть f : Bn ^ Bn, n > 2, — нижний Q-гомеоморфизм относительно p-модуля при p > n. удовлетворяющий условии) f (0) = 0. Ес мп Q Е La (Bn), a > p-nn. to liminf Ц—Н- 6 vokQka-n, (3.28)
x ^0 |
x
| a(p —n)
где
k
Q
ka
= (J
Bn
Qa(x) dm(x)) a
— норма в прострапстве La(Bn) i1
v
0
— положительная постоянная, зависящая только от n, p и a.
C Пус-ть А = 2. Поскольку Q Е La (Bn) 11 a > p^. то из леммы 3.2 следует, что функция Q удовлетворяет условию (3.6) с параметрами a = ^p-n-n. Co = -c— Применяя теорему 3.1. получаем опенку a liminf 1f(x)n 6 vokQka-n, (3.29)
x ^0 |
x
|
a(p —
n)
где
||Q
ka = (JBn
Q
a(
x
)
dm
(
x
))1 - норма, в прострапстве
L
a(Bn) 11
v
0 - положительная
постоянная, зависящая только от n,
p
и
a.
B
4. Приложения к классам Орлича — Соболева
Напомним некоторые определения. Пусть D — область в Rn, n > 2. Гомеоморфизм f : D ^ Rn называется отпобраснсением с конечным искаснсением, если f Е W^c1 и kf 0(x)kn 6 K(x) • J(x,f) (4.1)
для некоторой п.в. копенной <1>упкппп
K
(x)
>
1,
где
f
0(x) -
якобиева матрица
f,
k
f0(x)k —
ее операторная норма:
kf
0(x)
k
= sup|
h
|
=1 |
f0(x)
•
h
| 11
J(x,f
) = det
f
0(x
) — якобиан отображения
f.
Впервые понятие отображения с конечным искажением введено в случае плоскости для
f Е
WOc2 в работе [18] (см. также [19]).
Следуя Орличу, для заданной выпуклой возрастающей функции у : [0,
то
)
^
[0,
то
),
^
(0) = 0.
обозначим символом L^ пространство веек (]>ункцпй
f
:
D
^ R таких, что
[ у
flflxHA dm(x) < то
(4.2)
λ D при некотором А > 0 (см., папример. [20]). Здесь m — мера. .Лебега в Rn. Пространство L^ называется пространством Орлича.
Классом Орлана - Соболева W^(D)
называется класс всех локально интегрируемых функций f, заданных в D, с первыми обобщенными производными по Соболеву,
градиент Vf которых принадлежит классу Орлина локально в области
D.
Если же. более того.
Vf
принадлежит классу Орлпча в области
D,
мы пишем
f Е W
^(
D).
Заме
тим, что по определению W^ С W^1. Как обычно, мы пишем
f Е
W^, если p(t) = tp,
p
>
1.
Известно, что непрерывная функция
f
принадлежит классу W^ тогда п толь
ко тогда, когда
f Е ACLp,
т. е. если
f
локально абсолютно непрерывна на почти всех прямых, параллельных координатным осям, а первые частные производные
f
локально
интегрируемы в степени
p
в области
D
(см. [21. разд. 1.1.3]).
Далее, если
f —
локально интегрируемая вектор-функция
n
вещественных переменных
xi,...,
xn,
f = (fi,...,
fm), fi Е
W^c1,
i
= 1,... ,m,
ii
У
P
(|Vf (x)|)
dm(x)
<
to,
(4.3)
D где |Vf (x)| = УPm=1 Pn=1 (f У’ T° MLI С110ва пишем f Е W^. Мы также используем обозначение W^ в случае более общих функций р, чем в классах Орлича, всегда предполагающих выпуклость фуиктщп р п ее нормировку р(0) = 0.
Пусть
p > n
- 1,
а
=
p—n+y. Ранее (см., например, [8-10]) в теоремах о локальном поведении классов Соболева и Орлича — Соболева мы пользовались
p-внешней дилата-
цией
(
kf0
(x)kp
|J
(x,f
)| ’
J(x,f
) = 0;
K
o,p
(
x, f
) =
1,
f 0
(
x)
= °;
(4M)
_TO,
.
В дальнейшем мы будем пользоваться
а-внутренней дилатацией
Известно, что
Ki,n(x,f
) 6
KOn4x,f
) (4.6)
(см., например, [22, разд. 1.2.1]). Из соотношения (4.6) легко следует неравенство
Ki,a(x,f
) 6
KO-p1
(
x,f
)
.
ММ
Действительно, су а(п — 1)
а
а а
Ki,a(x,f
) =
K
nj
xf
)
|J1-n
(
x,f
)
|
6
Kon (x,f
)
|J1-n
(
x,f
)
|
=
KO-p1
(
x,f
)
.
M.S)
Известно, что
Ki,2
=
Ko,2
ПРи
n
= 2, но при
n >
3 в (4.6) может иметь место строгое неравенство, как это показывает элементарный пример сжатия вдоль одной из осей.
Следующее утверждение см. в [11, теорема 1].
Предложение 4.1.
Пусть D и D' - области в
Rn,
n >
3,
p
>
n
—
1
ид
: (0,
то
)
^
(0,
то
) —
неубывающая функция такая, что для некоторого t* Е
(0,
то
)
∞ Г t n-2 J v(t).
dt <
∞
.
(4.9)
t
∗
Тогда любой гомеоморфизм
f :
D
→
D
0
ппжппм Q-гомеоморфпзмом относительно
п-модуля
с Q
=
Kа—1 ■
I,α
конечного искажения класса
W
lO^
является
а = —Р—т а p-n+1
Следствие 4.1.
Любой гомеоморфизм с конечным искажением в
Rn,
n >
3,
класса
i
W^q
п!зи q > n
—
1
является нижним Kj-1 -гомеоморфизмем относительно p-модуля при p > n
—
1.
a
= —p-pr.
p
p-n
+1
Следующий ряд теорем вытекает из предложения 4.1 и теорем пункта. 3.
Теорема 4.1.
Пусть
f : Bn
^
Bn,
n >
3
гомеоморфизм с конечным искажением класса
W
lO^, щ
щ у : (0,
то
)
^
(0,
то) —
неубывающая функция, удовлетворяющая условию
(4.9)
11
f (0) = 0.
Прсдпол<. )жш. что p > n н для некоторых конечных чисел X >
1.
a
> 0 1
1 Co
> 0
выполнено условие
λε ет f Л > Co (4.10)
/
ча
(r)
для любого е Е (0, £0)• Eo Е (0,1). где kI,a(r) = у
Ki,a(x,
f
)
dAn-1 a
=
-
n
+ 1
.
(4.11)
S
r
Тогда имеет место оценка.
lim inf fx
1 6
vo Cn-
p
-
n
,
(4.12)
x
→
0
|
x
|
p-n 0 0
где
v
o — положительная
константа, зависящая только от размерности пространства. n. p. X п a.
Следствие 4.2.
В частности, если для некоторых конечных чисел X >
1
и C0
> 0
выполнено условие
λε
Ep— f *
> Co (4ЛЗ)
/ ki“«
1
(r)
для любого е Е (0, Eo). E0 Е (0,1). где ki,a(r) = /‘Ki,a(x,f) dA, a =----p——, (4.14)
p
—
n
+ 1
Sr то при p > n имеем lim inf |f4_21 6 voCn p-n, (4.15 )
x→
0 |
x
|
0
где
vo —
подожитечвиая константа, зависяща.я толвко от размерности пространства, n. p п X.
ПРИМЕР. Предположим, что
n >
3 и p > n,
ст
> 0. Пусть
f
: Bn ^ Bn, где
f(x) = я|х| p—n при x = 8, f(0) —0. Касательная и радиальная дилатации f на сфере Sr — {x Е Rn : |x| = r}, r E (0,1), легко вычисляются: |f(x)| _
»T=— = H
p—n
и
δ
r
σ
p
-
|
x
|
n
т
—
p
+
n
p
-
n
.
Заметим, что
6T > 6r.
Следовательно, ввиду сферической симметрии мы видим, что
^n-1 ^r
KI,a(x,f
) =
5
a
n
—
1
p
n
p
—
n
+1
(n—
1)(
т
—
p
+
n
)
|x|
p
—n+1
p σ , a —------ p — n + 1 . Sr p kI,a(r) — I KI,a(x, f) dAn-1 — ^n-1 (
S
r
n
—
1
— n p—n+1 σ (n—1)(т+1)
Г
p
—
n
+1
. Откуда вытекает равенство λε
E’
)■
ε
k
dr
σε
σ
n
—
1
■ I—
(r)
ω p
-
n
p —
n
+1
n—1
λε у r-C+P dr = ш ε
n
—
1
p
—
n
+1
n-1
1— -σ ---= Co > 0.
p
-
n
Этим показано, что условие (4.10) нашей теоремы выполнено. С другой стороны, легко видеть, что lim x >0 If (x)| ,
T
1 .
|
x
| p-n
(4.16)
Замечание
4.1. Построенный пример показывает, что найденный порядок роста в оценке (4.12) является точным.
Теорема 4.2.
Пусть
f : Bn ^ Bn,n > 3,
— гомеоморфизм с конечным искажением класса
W^,
г;
je ^ : (0, то) ^ (0, то) —
неубывающая функция, удовлетворяющая условию
(4.9). p >
n п f
(0) — 0.
1)
Если для пекотор!JX конечных чисел 6 Е
|^0,
(p
-
nn(+
-
1)
^ и к0
> 0
выполнено условие
Шп-1Гп-1
I Kl,a(x,f
)
S
r
dAn-1
6
Kor 6
(4.17)
лля я. в. r Е (0, ro)• ro Е (0, e 1). то lim inf x >0 If (x)|
1 -
e
(
p
—
n
+1)
|x| (n—1)(
p
—n)
p
—
n
+1
/ (p—n)(n—1) 6 v0 Ko , (4.18)
тле
v
o
— положительная константа, завнсяшая только от размерности пространства n
p
2)
Ес ли Ka—1 (x,f
)
е
Le
(
Bn),
в >
p-n
то
lim inf
x→0
I
f (x)
l
|
x
|
1
-
e
c
p
-
n
1 1
6
v
oi
K
a nr
(4.19)
1
в,- А в
где
||K/“a ||e = I
J®™ Kj- (x,f )dm(x)
I
— норма в пространстве Le
(
Bn
)
и
vo
— положительная постоянная, зависящая только от n, p и р.
Следствие 4.3.
Если для некоторого конечного числа к0
> 0
выполнено условие
n
"—Д^ iKfa^ (X,f) dAn-1
6
К
О
ω
n-1
r
(4.20) (4.21) Sr для п.в. r е (0, ro). r0 е (0, e-1). то If(x)I . (p-nn+iD lim inf —:—:— 6 VoK , x→0 |x| 0
где vo
— положительная
константа, зависянь
hi
только от размерности пространства n п p.
Следствие 4.4.
В частности, все результаты имеют место для гомеоморфизмов с конечным искажением класса Соболева
W
lOcq
щ
ж
q > n
- 1.
( |J(x,f)l la(f0(x)) ,
|J(x,f )| = 0;
Kl,a(x,f) = <
1,
f 0(x) = 0;
(4.5)
.TO,
,
га lf0(x)) = штц^ |f0(x) • h\.
Список литературы О степенном порядке роста нижних Q-гомеоморфизмов
- Martio O., Ryazanov V., Srebro U., Yakubov E. Moduli in Modern Mapping Theory. N.Y.: Springer, 2009. 367 p. (Springer Monogr. in Math.).
- Ryazanov V., Salimov R., Srebro U., Yakubov E. On boundary value problems for the Beltrami equations//Contemp. Math. 2013. Vol. 591. P. 211-242.
- Ковтонюк Д. А., Петков И. В., Рязанов В. И., Салимов Р. Р. Граничное поведение и задача Дирихле для уравнений Бельтрами//Алгебра и анализ. 2013. Т. 25, № 4. С. 101-124.
- Афанасьева Е. С., Рязанов В. И., Салимов Р. Р. Об отображениях в классах Орлича -Соболева на римановых многообразиях//Укр. мат. вiсник. 2011. Т. 8, № 3. С. 319-342.
- Ковтонюк Д. А., Салимов Р. Р., Севостьянов Е. А. К теории отображений классов Соболева и Орлича Соболева. Киев: Наукова думка, 2013. 303 с.
- Ковтонюк Д. А., Рязанов В. И., Салимов Р. Р., Севостьянов Е. А. К теории классов Орлича Соболева//Алгебра и анализ. 2013. Т. 25, № 6. С. 1-53
- Ковтонюк Д. А., Рязанов В. И., Салимов Р. Р., Севостьянов Е. А. Граничное поведение классов Орлича Соболева//Мат. заметки. 2014. Т. 95, № 4. С. 564-576.
- Салимов Р. Р., Нижние оценки $p$-модуля и отображения класса Соболева//Алгебра и анализ. 2014. Т. 26, № 6. C. 143-171.
- Салимов Р. Р. Метрические свойства классов Орлича Соболева//Укр. мат. вiсник. 2016. Т. 13, № 1. С. 129-141.
- Салимов Р. Р. О конечной липшицевости классов Орлича -Соболева//Владикавк. мат. журн. 2015. Т. 17, № 1. C. 64-77.
- Салимов Р. Р. О новом условии конечной липшицевости классов Орлича -Соболева//Мат. Студiї. 2015. Т. 44, № 1. C. 27-35.
- Ikoma K. On the distortion and correspondence under quasiconformal mappings in space//Nagoya Math. J. 1965. Vol. 25. P. 175-203.
- Ковтонюк Д., Рязанов В. К теории нижних Q-гомеоморфизмов//Укр. мат. вiсник. 2008. Т. 5, № 2. С. 157-181.
- Сакс С. Теория интеграла. М.: Изд-во иностр. лит-ры, 1949.
- Martio O., Rickman S., Vaisala J. Definitions for quasiregular mappings//Ann. Acad. Sci. Fenn. Ser. A1. Math. 1969. Vol. 448. P. 1-40.
- Шлык В. А. О равенстве p-емкости и p-модуля//Сиб. мат. журн. 1993. Т. 34, № 6. С. 216-221.
- Maz'ya V. Lectures on isoperimetric and isocapacitary inequalities in the theory of Sobolev spaces//Contemp. Math. 2003. Vol. 338. P. 307-340.
- Iwaniec T., Sverak V. On mappings with integrable dilatation//Proc. Amer. Math. Soc. 1993. Vol. 118. P. 181-188.
- Iwaniec T., Martin G. Geometrical Function Theory and Non-Linear Analysis. Oxford: Clarendon Press, 2001.
- Красносельский М. А., Рутицкий Я. Б. Выпуклые функции и пространства Орлича. М.: Физматлит, 1958.
- Мазья В. Г. Пространства С. Л. Соболева. Ленинград: ЛГУ, 1985. 416 с.
- Решетняк Ю. Г. Пространственные отображения с ограниченным искажением. Новосибирск: Наука, 1982.