О строении коммутативных унарных алгебр с дистрибутивной решеткой конгруэнций

DOI:

В работе изучаются решетки конгруэнций унарных алгебр, сигнатура которых содержит конечное число унарных операций. Алгебры с т унарными операциями рассматривались А.И. Мальцевым [6, с. 348] и были названы т-уноидами. Унар — это алгебра с одной унарной операцией. В работах [2; 3; 11] изучались унары, решетки конгруэнций которых принадлежат заданному классу решеток (полумодулярны, атомарны, дистрибутивны и т. д.). Аналогичные вопросы для унарных алгебр в двумя унарными операциями рассматривались в [7; 8; 10]. Важные результаты о коммутативных унарных алгебрах с дистрибутивной решеткой конгруэнций получены в работах [4; 5].

Все необходимые определения имеются в [1; 6]. Часть результатов данной заметки объявлена в [9].

Напомним, что унарная алгебра A = (Л, Q) — это алгебраическая система, которая определяется некоторым множеством Л и набором Q унарных операций на Л. Множество Л называется носителем или основным множеством алгебры, а его элементы — элементами алгебры. Каждую операцию / G Q можно рассматривать как отображение множества Л в себя. Операции / G Q называются основными или главными в отличие от других операций, которые могут быть определены на алгебре.

Пусть A = (Л, Q) — произвольная унарная алгебра. Через Q * обозначается свободный моноид слов с порождающим множеством Q относительно композиции. Единицей в Q * служит пустое слово. Результат w(x) применения слова w G Q * к элементу х G Л определяется индуктивно по длине слова (см., например, [4]). По определению / 0 (х) = х, / ^п +1 (х) = /(/ ^п (х)) для произвольных / G Q, х G Л и целого п >  1. Кроме того, если w = w 1 w ₂ , то w(x) = w 1 (w ₂ (х)), где w,w 1 ,w ₂ G Q * их G Л.

Унарная алгебра A = (Л, Q) называется коммутативной, если для всех /,д G Q на A выполнено тождество /(д(х)) = д(/(х)).

Конгруэнция 0 на алгебре A — это отношение эквивалентности на носителе Л этой алгебры, которое стабильно относительно каждой главной операции /, то есть если для любых элементов х,у G Л из х0у следует /(х) 0 / (у).

Через Con A обозначается множество всех конгруэнций алгебры A . На этом множестве вводится частичный порядок: для конгруэнций 0 1 , 0 2 этой алгебры отношение 0 1 <  0 2 выполнено тогда и только тогда, когда для любых элементов х,у G Л из х0 1 у следует х0 ₂ у. Нулевой конгруэнцией называется конгруэнция, при которой эквивалентны только совпадающие элементы алгебры. Единичная конгруэнция — это конгруэнция, при которой эквивалентны любые элементы алгебры. Если М — подмножество носителя Л алгебры A , то через 0(М ) обозначается конгруэнция, порожденная множеством М , то есть наименьшая конгруэнция, относительно которой все элементы множества М попадают в один класс эквивалентности.

Если 0 1 , 0 2 G Con A , то через 0 1 Л 0 2 обозначается нижняя грань конгруэнций 0 1 и 0 2 , то есть наибольшая конгруэнция 0 G Con A , для которой 0 <  0 1 и 0 <  0 2 . Аналогично определяется верхняя грань θ ₁ ∨ θ ₂ конгруэнций θ ₁ и θ ₂ .

Решетка конгруэнций Con A называется дистрибутивной, если для любых трех конгруэнций 0 1 , 0 2 , 0 3 G Con A верно равенство 0 1 Л ( 0 2 V 0 3 ) = ( 0 1 Л 0 2 ) V ( 0 1 Л 0 3 ).

Подалгеброй алгебры A = (Л, Q) называется такое подмножество Л множества Л, что /(Л ‘ ) С Л при всех / G Q. В этом случае (Л ‘ , Q ’ ) является унарной алгеброй, где Q ' состоит из ограничений всех операций / G Q на множество Л ‘ . Вместо (Л', Q) в подобных ситуациях будем писать (Л, Q).

Если алгебра A коммутативна и ф G Q * , то ф коммутирует c любой операцией / G Q. При этом всякая конгруэнция 0 на A стабильна относительно операции ф (то есть из х,у G Л их 0 у вытекает ф (х) 0ф (у)). Отсюда легко заключить, что если к набору Q основных унарных операций алгебры A добавить операцию ф , то решетка конгруэнций алгебры не изменится. Элемент х G Л называется ф -циклическим, если найдется целое число п >  1, для которого ф ^п (х) = х.

Через Z , N и N 0 обозначаются, соответственно, множество целых чисел, множество натуральных чисел и множество неотрицательных целых чисел.

Ниже нам потребуется описание следующих унаров и унарных алгебр:

Пример 1. Носитель унара D 1 = (Л,/) — это множество N натуральных чисел, а операция / определена формулой /(х) = х + 1, х G N .

Пример 2. Носитель унара D ₂ (n) = (Л,/) — это кольцо Z _n вычетов по некоторому модулю п >  1, а /(х) = х + 1(mod п) при х G Z „ . Если при этом п = 1, то носитель унара состоит из единственного элемента, а / — тождественное отображение.

Пример 3. Носитель алгебры D 3 = (Л, /, д) — это множество Z целых чисел, а операции определены формулами /(х) = х + 1 и д(х) = х — 1, х G Z .

Если (Л, /, д') — алгебра с двумя унарными операциями и т> 2 — целое число, то ее можно превратить в алгебру с т унарными операциями, добавив в список главных операций операции вида / ' д ^] , где г, j >  0 — целые числа. При этом решетка конгруэнций алгебры не изменится.

1.    Основной результат

Основной результат данной статьи следующий.

Теорема 1. Пусть A = (Л, А) — коммутативная унарная алгебра с дистрибутивной решеткой конгруэнций, т = | А | >  2 . Тогда эта алгебра содержит подалгебру, решетка конгруэнций которой изоморфна решетке конгруэнций одного из унаров D 1 , D 2 (n) или решетке конгруэнций алгебры D 3 .

Случай т = 2 рассмотрен в работе [7]. При т> 2 нужны дополнительные результаты.

2.    Вспомогательные результаты

Лемма 1. Пусть A = (Л, А) — коммутативная алгебра, Л ₀ — ее подалгебра и х , х — различные элементы множества Л \ Л ₀ . Пусть / (х) Е Л 0 и /(х ' ) Е Л ₀ при всех / Е А . Тогда решетка конгруэнций Con A алгебры A не дистрибутивна.

Доказательство. Рассмотрим конгруэнции о = 0 ( { х, х ' } ), у = ^ ( { х } U Л ₀ ) и 5 = = 0 ( { х ' } U Л ₀ ), где 0 (М) — (наименьшая) конгруэнция, порожденная множеством М . Выберем произвольный элемент t Е Л ₀ . Тогда х Y t и t 5 х ' , поэтому х и х ' находятся в отношении у V 5 , откуда легко заключить, что х их ' находятся и в отношении о Л ( у V 5 ). Из определения конгруэнций о , у и 5 вытекает, что если у Е Л и х( о Л у)у, то у = х. Аналогично, из х( о Л 5 )у следует у = х. Поэтому х их ' не находятся в отношении ( о Л у ) V ( о Л 5 ). Лемма доказана.

Лемма 2. Пусть A = (Л, А) — коммутативная алгебра с дистрибутивной решеткой конгруэнций. Пусть х , х — различные элементы Л . Тогда найдется такое непустое слово ф Е А * , что будет выполнено хотя бы одно из следующих равенств:

• (a)    х = ф (х) ;

• (b)    х = ф (х ' ) ;

• (c)    х = ф (х) ;

• (d)    х = <р(х ' ) .

Доказательство. Пусть А ₀ — подалгебра, порожденная множеством { /(х) : / Е А } U U{ /(х ' ) : / Е А } . Из дистрибутивности решетки Con A и леммы 1 вытекает, что х Е Л 0 или х ' Е Л ₀ . Осталось заметить, что для любого элемента у Е Л соотношение у Е Л 0 выполнено тогда и только тогда, когда найдется слово ф Е А * , для которого у = ф (х) или у = ф (х ' ). При этом ф не может быть тождественным отображением Л на себя (иначе х Е Л 0 или х ' Е Л ₀ ).

В дальнейшем будем предполагать, что главные операции унарной алгебры A = = (Л, А) перенумерованы, то есть А = {/1, /2,..., /т}, где т = |А|, и, когда это удобно, вместо (Л, А) писать (Л, /1, /2,..., /т). В этих обозначениях ф Е А* тогда и только тогда, когда найдутся неотрицательные целые числа г1, г2, ..., гт, для которых ф = /11 г? .../т.

Лемма 3. Пусть A = (Л, / 1 , / 2 ,..., / _т ) — коммутативная алгебра с дистрибутивной решеткой конгруэнций. Тогда найдутся такие неотрицательные целые числа к 1 , к ₂ , ... , к _т , что к 1 + к ₂ + ... + к _т >  0 и для некоторого элемента z ₀ Е Л будет выполнено хотя бы одно из следующих равенств:

• (a)    / 1 (z o ) = /2= ² .../, 5 - (z o ) ;

• (b)    / f ¹ / ? ² .../ ,• (z o ) = z o .

Поэтому на подалгебре A 1 , порожденной элементом z ₀ , выполнено хотя бы одно из тождеств / 1 (х) = / ₂ ² ... / т ^- (х) или /1¹/ 2² • • • / т ^- (х) = х •

Доказательство. Выберем произвольный элемент х ₀ Е Л и положим у 1 = / 1 (х ₀ ), У 2 = / 2 (^ 0 ). Если У 1 = у ₂ , то / 1 (х о ) = / 2 (^ 0 ), поэтому при к 2 = 1, к з = • • • = к т = 0 и z ₀ = х ₀ будет выполнено равенство (a) .

Пусть теперь у 1 = у ₂ . Применяя лемму 2 при х = у 1 их ' = у ₂ , выберем неотрицательные целые числа г 1 , г ₂ , .. ., г _т , для которых г 1 + г ₂ + ... + г _т >  0, а для операции ф = / 1 1 / 2 2 ... /Г ;: ^- выполнено хотя бы одно из равенств у 1 = ф (у 1 ), у 1 = ф (у ₂ ), у ₂ = ф (у 1 ) или у ₂ = ф (у ₂ ). Если справедливо первое или четвертое равенство, то будет выполнено равенство (b) доказываемой леммы, если положить к 1 = г 1 , к ₂ = г ₂ , .. ., к _т = г _т , а также z ₀ = у 1 или z ₀ = у ₂ соответственно. Пусть теперь выполнено второе равенство, то есть у 1 = ф (у ₂ ). Это равенство можно записать в виде

/ 1 (х о ) = ■ / ■ ... / т ^- (/ 2 (х о )) = /"./ ;.■¹ V/... Г т (х о ).

Если г 1 = 0, то при к ₂ = г ₂ + 1, к ₃ = г ₃ , .. ., к _т = г _т , а также при z ₀ = х ₀ и любом к 1 будет выполнено равенство (a) .

Пусть теперь г 1 >  1. Тогда верно равенство

/1(хо) = /:1-1   ■   ■ .../т (/1(хо)), поэтому при к1 = г1 — 1, к2 = г2 + 1, к3 = г3, ..., кт = гт, а также при z0 = /1(х0) будет верно равенство (b). Аналогично рассматривается случай у2 = ф(^1). Лемма доказана.

В дальнейшем нам потребуются два известных результата.

Лемма 4. Пусть A — коммутативная унарная алгебра с дистрибутивной решеткой конгруэнций, B 1 — его подалгебра и B 2 — фактор-алгебра алгебры A по некоторой конгруэнции. Тогда решетки конгруэнций унарных алгебр B 1 и B 2 дистрибутивны.

Справедливость леммы 4 вытекает из того факта, что решетки Con B 1 и Con B ₂ вкладываются в решетку Con A как подрешетки (см., например, [4, c. 55]).

Лемма 5. Пусть A = (Л, / 1 , / ₂ ,... , / _т ) — алгебра с дистрибутивной решеткой конгруэнций и ф — унарная операция на Л , которая коммутирует с каждой операцией / г, г = 1, 2,... ,т . Пусть отображение ф : Л ^ Л взаимно однозначно (то есть из х 1 ,х ₂ Е Л и ф (х 1 ) = ф ( х ₂) следует х 1 = х ₂ ). Пусть Л = Л ( ф ) — отношение на носителе Л , которое задается следующим образом: если х,у — элементы носителя Л , то хЛу тогда и только тогда, когда х = у или найдется такое целое число к >  1 , что у = ф ⁵ (х) или х = ф ⁵ (у) . Тогда Л — конгруэнция на алгебре A .

Доказательство. Рефлексивность и симметричность отношения λ вытекает непосредственно из определения Л . Проверим, что Л транзитивно. Пусть сЛу и уЛz, где с,у, z Е Е А. Необходимо проверить, что сЛz. Если с = у или у = z, то это очевидно. Пусть теперь с = у и у = z. Тогда найдутся целые числа к,1 >  1, для которых выполнено хотя бы одно из равенств у = р^к (с) или с = р^к (у), а также выполнено хотя бы одно из равенств z = р ‘ (у) или у = р ‘ (z ). Не теряя общности, считаем, что I <  к.

Если у = р^к (с) и z = р ‘ (у), то z = р^{к +} (с), откуда сЛz.

Если у = р^к (с) и у = р ‘ (z), то р ‘ (z) = у = р ^к (с) = р ‘ ( р ^к-‘ (с)), откуда z = = р ^к— (с) (поскольку р взаимно однозначно), поэтому с 0 z. Отметим, что при к = I верно z = с.

Пусть теперь с = р ^к (у) и z = р ‘ (у). Тогда с = р ^к (у) = р ^к-‘ ( р ‘ (у)) = р ^к-‘ (z), откуда с 0 z.

Пусть, наконец, с = р ^к (у) и у = р ‘ (z). Тогда с = р ^к + ‘ (z) и снова получаем с 0 z. Транзитивность отношения Л доказана. Стабильность этого отношения следует из того, что операция ϕ коммутирует с каждой главной операцией алгебры A . Лемма доказана.

Лемма 6. Пусть A = (А, f 1 , f ₂ , ... , f _m ) — унарная алгебра с дистрибутивной решеткой конгруэнций и р , ф — две унарных операции на А , которые коммутируют с каждой из операций f , г = 1, 2,... ,т . Пусть р , ф : А ^ А — взаимно однозначные отображения и рф = фр .

Тогда найдутся целые числа р,q >  0 и элемент z 1 Е А , такие, что р + q > 0 и выполнено хотя бы одно из равенств:

• (a)    р ^р ф ⁹ (z i ) = z i ;

• (b)    р ^p (z 1 ) = ф ⁹ (z i ) .

Доказательство. Пусть у = Л ( р ) — конгруэнция на алгебре A , построенная по операции р в лемме 5. Пусть также 5 = Л ( ф ), ст = Л ( рф ) — конгруэнции, построенные аналогичным способом по операциям ф и рф . Пусть а — произвольный элемент алгебры A . Положим b = р (а) и с = ф ( р (а)) = ф (Ь). Если а = с, то при р = q = 1 и z 1 = а выполнено равенство (a) . Пусть теперь а = с. Ясно, что ауЬ5с и аос, поэтому а [ а Л ( у V 5 )]с.

Так как решетка Con А дистрибутивна, справедливо соотношение а[( о Л у ) V ( а Л Л 5 )]с. Поэтому класс эквивалентности а относительно конгруэнции ( о Л у ) V ( о Л Л 5 ), содержащий элемент а, содержит и отличный от него элемент с, и, следовательно, состоит более чем из одного элемента. Поэтому найдется такой элемент у Е А, что у = а и выполнено хотя бы одно из соотношений а( о Л у )у или а( о Л 5 )у.

Не теряя общности, считаем, что выполнено первое соотношение (в противном случае меняем местами р и ф ). Тогда а у у и аоу, поэтому найдутся такие целые числа к,1 >  1, что верно хотя бы одно из равенств у = р ^к (а) или а = р ^к (у), а также верно хотя бы одно из равенств у = ( рф ) ‘ (а) или а = ( рф ) ‘ (у). Теперь возможны четыре случая.

Случай 1. Верны равенства у = р ^к (а) и у = ( рф ) ‘ (а). Допустим, что к <  /. Тогда р ^к (а) = у = ( рф ) ‘ (а) = р ‘^-к ф ‘ ( р ^к (а)), поэтому при р = / — к, q = / и z 1 = р ^к (а) получаем z 1 = р ^р ф ⁹ (z 1 ), то есть выполнено равенство (a) . При этом р + q = (/ — к) + + I >  0 + 1 > 0. Аналогично проверяется, что если I <  к, то при р = к — /, q = I и z 1 = р ‘ (а) выполнено равенство (b) .

Случай 2. Верны равенства у = ф ^ (а) и а = ( ф^ ) ^г (у). В этом случае у = ф ^ (а) = = ф ^ (( ф^ ) ^г (у)) = ф^-ф^ у), поэтому при р = к + /, q = / и х- 1 = у выполнено равенство (a) .

Случай 3. Верны равенства а = ф ^ (у) и у = ( фф )(а). В этом случае ф^ ф ^г (а) = = а, то есть при р = к + /, q = / и Z 1 = а выполнено равенство (a) .

Случай 4. Верны равенства а = ф ^ (у) и а = ( фф )(у). Рассуждая, как в случае 1, несложно убедиться, что если к <  /, то при р = / - к, q = / и Z 1 = ф ^ (у) выполнено равенство (a) . Если же I <  к, то при р = к — /, q = / и Z 1 = ф ^г (у) выполнено равенство (b) . Лемма доказана. Отметим, что случаи 3 и 4 сводятся к случаям 1 и 2, если поменять местами элементы а и у.

3.    Доказательство теоремы 1

Справедливость теоремы 1 вытекает из следующей леммы.

Лемма 7. Пусть т >  1 — целое число и A = (Л, / 1 , / ₂ ,..., / _т ) — коммутативная алгебра с дистрибутивной решеткой конгруэнций. Тогда существует три объекта — подмножество Л носителя Л алгебры A , унарная операция и на Л , а также набор а 1 , а ₂ , ... , а _т неотрицательных целых чисел, для которых на алгебре A = (Л ‘ , / 1 , / ₂ ,..., / _т ) справедливо тождество и(х) = / 1 ^{а 1} / ₂ ^а 2 ... / т ^т (х) и при каждом г = 2,3,..., т найдется целое число в г, для которого на алгебре A выполнено тождество /(х) = и ^в (х) , причем если какое-либо в _г отрицательно, то отображение и обратимо на Л . При этом ограничение отображения и на множество Л взаимно однозначно.

Доказательство. Докажем лемму индукцией по т. Если т = 1 или т = 2, то справедливость леммы вытекает из результатов работ [3] и [7] соответственно. Пусть теперь т >  3. По лемме 3 найдется подалгебра A 1 алгебры A и последовательность к 1 , к ₂ , ..., к _т неотрицательных целых чисел, для которых к 1 + к ₂ + ... + к _т > 0 и на подалгебре A 1 выполнено или тождество (a) / 1 (х) = / 2 ² .../ т ^т (х), или тождество (b) Л^/ / ² ... / т ^т (х) = х. Через Л 1 обозначим носитель подалгебры A 1 .

По лемме 4 решетка Con A 1 дистрибутивна. Если на подалгебре A 1 выполнено тождество (а) , то операция / 1 (х) выражается через остальные главные операции алгебры A 1 , поэтому / 1 можно удалить из списка главных операций алгебры A 1 (не изменяя при этом решетки конгруэнций) и справедливость доказываемой леммы будет вытекать из индуктивного предположения.

Пусть теперь на A ₁ выполнено тождество (b) . В этом тождестве хотя бы одно из чисел к 1 , к ₂ , ..., к _т положительно. Для упрощения записи будем предполагать, что таким является к 1 . Из справедливости тождества (b) на алгебре A 1 вытекает, что на этой алгебре операция / 1 обратима и верно тождество / - 1 (х) = / 1 ^{1 - 1} / 2 ² ... / т ^т (х).

Рассмотрим отношение эквивалентности λ на алгебре A ₁ , которое задается следующим образом: если х1,х ₂ £ Л 1 , то х 1 Л х ₂ тогда и только тогда, когда х 1 = х ₂ или найдется такое целое число к >  1, что х ₂ = / ^ (х 1 ) или х 1 = / 1 ^fc (х ₂ ). По лемме 5 Л — конгруэнция на алгебре A 1 .

Пусть B1 = А1/Л — соответствующая фактор-алгебра. Обозначим через Z отображение Л1 ^ В1, которое элементу х алгебры A1 сопоставляет класс эквивалентности х = {х‘ £ Л1 : х’Лх}, то есть элемент алгебры B1. Тогда для любых элементов х1,х2 Е Л1 соотношения х1Хх2 и Z(x1) = Z(x2) будут эквивалентны. Так как отображение /1 обратимо, а /0 — тождественное отображение, справедливы следующие свойства.

• (1)    Если х 1 ,х ₂ Е Л 1 , то Z (x 1 ) = Z (x ₂ )   ^^ найдется такое целое число к, что

• Х1 = /к (Х2).

При г = 1, 2,... , т главная операция д _г алгебры B 1 , которая соответствует операции / на алгебре A 1 , задается так: если х,у Е Л 1 и у = / _г (х), то д _г (х) = у. Поэтому для любого элемента х Е Л 1 выполнено равенство Z (/ _г (x)) = g _г ( Z (x)).

Из леммы 4 вытекает, что решетка Con В 1 дистрибутивна. В фактор-алгебре В 1 операция д 1 будет тождественным отображением, поэтому можно удалить эту операцию из списка главных операций алгебры B 1 , не изменяя решетки конгруэнций этой алгебры. Теперь можно применить индуктивное предположение, в соответствии с которым существуют подалгебра В ’ алгебры B 1 , унарная операция х на носителе В ‘ алгебры В ’ , а также набор а ₂ , а ₃ , ..., а т неотрицательных целых чисел, для которых на подалгебре В ’ выполнено тождество х(х) = д * ² д з ³ ... д т (х) и при любом г = 2,...,т найдется такое целое число в _г , для которого на алгебре В ’ выполнено тождество д _г (х) = х ^в (х), причем если хотя бы одно в _г отрицательно, то отображение х обратимо на В ’ .

Положим и(х) = / а ² / * ³ • ••/ т ™ (х) и выберем такой элемент а алгебры A 1 , что элемент b = Z (а) принадлежит алгебре В ’ . Обозначим через A 2 подалгебру алгебры A 1 , порожденную элементом а, а через Л ₂ — носитель этой подалгебры. Из определения операций д _г и и вытекает, что для любого элемента х Е Л ₂ справедливы равенства

Z(u(x)) = Z(/2a2/3a3... /т™(х)) = д*2дза3. ..дт™(Z(x)) = х(Z(x)), откуда вытекает, что выполнено свойство:

• (2)    Если х Е Л ₂ и к >  1 — целое число, то верно равенство Z(u ^k (х)) = х^к ( Z (x)).

Проверим теперь, что справедливо свойство:

• (3)    Пусть г Е { 2, 3, ...,т } . Тогда операцию / _г на алгебре Л ₂ можно выразить в виде суперпозиции операций / 1 , / - ¹ и и.

Если в г > 0, то, применяя свойство (2) при х = а, получим Z (/ _г (а)) = д _г (Ь) = = х ^в (b) = Z (u ^{в ^} (а)). Используя свойство (1) при х 1 = / _г (а) и х ₂ = и ^в (а), выберем целое число к, для которого / _г (а) = / ^f и ^в (а). Так как а — порождающий элемент подалгебры Л ₂ , заключаем, что на алгебре Л ₂ выполнено тождество / _г (х) = / 1 ^к и ^в (х), и свойство (3) доказано (при в > 0).

Пусть теперь в _г < 0. Тогда отображение х обратимо (по индуктивному предположению).

Так как - в г > 0 и х ^в (у) = д _г (у) при всех у Е В ‘ , справедливо следующее равенство:

Z (u ^{- в i} / г (a)) = х ^{- в} д г (Ь) = b = Z (а).

Применяя свойство (1), выберем целое число к, для которого и ^{- в} ^ / _г (а) = / ^f (а). Из последнего равенства получаем и -^{в 1} / _г / - ^к (а) = а. Так как а — порождающий элемент подалгебры A ₂ , справедливо свойство:

• (4)    На подалгебре Л ₂ выполнено тождество и ^{- в 1} / _г / - ^к (х) = х.

Из свойства (4) получаем, что на подалгебре A 2 выполнено тождество и ^{- 1} (х) = = и ^{- в} ^ ^{- 1} / _г / -^к (х). Поэтому на подалгебре A 2 отображение и обратимо и операция и ^{- 1} (х) выражается в виде суперпозиции отображений / 1 , / - ¹ и и.

Из (4) получаем также, что на подалгебре A 2 выполнено тождество f _i (ж) = = f f и ^{в i} (ж). Следовательно, операция f _i (x) выражается в виде суперпозиции отображений f i , f - ¹ и и. Свойство (3) доказано (при в < 0).

Пусть, наконец, e _i = 0. Тогда ограничение отображения g _i на подалгебру B 1 является тождественным отображением. Рассуждая, как при рассмотрении случая e _i > 0, несложно убедиться, что при некотором целом к на подалгебре A 2 выполнено тождество f _i (ж) = f f (ж). Свойство (3) доказано (при в = 0). Таким образом, свойство (3) верно при любом целом β .

Проверим теперь, что выполнено свойство:

• (5)    Решетка конгруэнций алгебры A 2 = (А 2 , fi, f ₂ ,..., f _m ) совпадает с решеткой конгруэнций алгебры E = (А ₂ , fi, f - ¹ , и).

В самом деле, на подалгебре A 1 выполнено тождество / ^{- 1} (ж) = f 1 f ¹ -¹ f 2 f 2 ... f m ™ (ж), а на подалгебре A 2 — тождество и(ж) = f f^ f ?³ ... f m ™ (ж), где все степени — целые и неотрицательные. Так как А 2 С А 1 , заключаем, что на множестве А 2 операции f - и и являются суперпозицией операций f ₂ , ..., f _m , поэтому любая конгруэнция на алгебре A ₂ , которая стабильна относительно операций f 1 , f ₂ , ..., f _m , будет стабильна и относительно операций f 1 , f - и и, откуда вытекает, что Con A 2 С Con E . Пусть теперь г — целое число от 2 до т. По свойству (3) операцию f _i можно записать как суперпозицию трех операций f 1 , f - ¹ и и. Поэтому Con E С Con A ₂ . Свойство (5) доказано.

Далее возможны три случая.

Случай 1. Для некоторого элемента a ₀ G А 2 и некоторого целого числа р > 0 верно равенство fi(a ₀ ) = a ₀ . В этом случае на подалгебре A 3 , порожденной элементом a ₀ , выполнено тождество f f (ж) = ж, поэтому на нем же верно тождество f - ¹ (ж) = f f- ¹ (ж). Следовательно, решетка конгруэнций алгебры E = (А ₃ , f 1 , ff¹,^ совпадает с решеткой конгруэнций алгебры E ‘ = (A ₃ ,f ₁ ,u), в которой всего две главные операции. Используя леммы 4 и 5, несложно проверить, что решетка конгруэнций алгебры E ^′ дистрибутивна. Теперь справедливость леммы 7 вытекает из индуктивного предположения.

Случай 2. Отображение и : А 2 ^ А 2 взаимно однозначно. Напомним, что отображение f 1 обратимо на подалгебре А 1 , а потому взаимно однозначно на этом алгебре. Применяя лемму 6 к операциям ф = f 1 и ф = и, фиксируем такие целые числа р, q >  0, что р + q >  0 и для некоторого элемента z- 1 G А 2 выполнено хотя бы одно из следующих равенств: (a) f f u ⁹ (^ 1 ) = £ 1 ; (b) ff^) = и ⁹ (^ 1 ). Обозначим через А ₃ подалгебру алгебры A 2 , порожденную элементом х 1 . Рассмотрим два случая.

Случай 2a. Выполнено равенство (a). Тогда на подалгебре A ₃ справедливо тождество f 1 и ⁹ (ж) = ж. Если р >  1, то на подалгебре A 3 выполнено тождество f-¹(ж) = = fl-¹и⁹ (ж). Поэтому решетка конгруэнций алгебры Е ₃ = (А ₃ , f 1 , f-¹, и) совпадает с решеткой конгруэнций алгебры (A ₃ ,f ₁ ,u). Теперь, как и в случае 1, справедливость леммы 9 вытекает из индуктивного предположения.

Пусть теперь р = 0. Тогда q >  1. Если q = 1, то и — тождественное отображение на А ₃ , поэтому и можно удалить из списка основных операций алгебры E , что позволяет воспользоваться индуктивным предположением.

Пусть, наконец, q >  1 (и р = 0), то есть на алгебре A 3 выполнено тождество и ⁹ (ж) = ж. Считаем, что z- 1 не является f 1 -циклическим элементом (этот вариант рассмотрен в случае 1). Проверим, что при указанных ограничениях решетка Con E ₃ не дистрибутивна.

Рассмотрим конгруэнции т = 6({^1,/1(^1)}), Y = 6({^i,/ru(2i)}) и 5 = 6({2i,/2u(2i)}), где 0(М) — (наименьшая) конгруэнция, порожденная множеством М. Несложно проверить, что y V 5 — единичная конгруэнция, а ст Л 5 и ст Л у — нулевые конгруэнции. Отсюда вытекает, что решетка конгруэнций алгебры E3 не дистрибутивна. Однако E3 является подалгеброй алгебры A и по лемме 4 ее решетка конгруэнций должна быть дистрибутивна. Полученное противоречие показывает, что этот случай невозможен.

Случай 2b. Выполнено равенство (b). Тогда на подалгебре A ₃ справедливо тождество / 1 (ж) = u ^q (ж). Если р = 0, то на A 3 справедливо тождество u ^q (ж) = ж, где q >  1. Такая ситуация описана при рассмотрении случая 2a.

Если р = 1, то на A 3 справедливо тождество / 1 (ж) = u ^q (ж), поэтому / 1 можно удалить из списка основных операций алгебры A 3 и затем воспользоваться индуктивным предположением.

Пусть, наконец, р >  1. Тогда на A 3 справедливо тождество /-^(ж) = / f^{- 1} u ^q (ж), поэтому / - ¹ можно удалить из списка основных операций алгебры E 3 , а затем воспользоваться индуктивным предположением.

Случай 3. Отображение и : А ₂ ^ А ₂ не взаимно однозначно. Пусть и(ж 1 ) = = и(ж ₂ ) и ж 1 = ж ₂ для некоторых элементов ж 1 ,ж ₂ G А 2 . Тогда

^( Z (Ж 1 )) = Z (u(Ж 1 )) = Z (и(ж 2 )) = ^( Z (Ж 2 )).

Отображение ж в условиях доказываемой леммы взаимно однозначно (по индуктивному предположению), поэтому Z (ж ₁ ) = Z (ж ₂ ). По свойству (1) найдется такое целое число к >  1, что ж 1 = / 1 (ж ₂ ). Положим а ₀ = и(ж 1 ). Тогда а ₀ = и(ж 1 ) = и(/ ^е (ж ₂ )) = = / ^е (и(ж ₂ )) = / ^е (и(ж 1 )) = / ^е (а ₀ ). Мы снова приходим к ситуации, описанной в случае 1. Лемма 7 доказана. Из этой леммы легко выводится теорема 1.