О существовании и единственности положительного решения краевой задачи для одного нелинейного дифференциального уравнения второго порядка с интегральными граничными условиями

DOI:

ул. Магомеда Гаджиева, 43а, 367000 г. Махачкала, Российская Федерация

Вопросам исследования разрешимости нелинейных дифференциальных уравнений и систем посвящено достаточно большое количество работ, в частности [1; 6–8; 10], в которых рассмотрены вопросы существования положительных решений, их поведения, асимптотики и т. д., причем естественным орудием исследования являются методы функционального анализа, основанные на использовании техники нелинейного анализа, теория которых связана с именами Ф. Рисса, М.Г. Крейна, Л.В. Канторовича, Г. Фрей-денталя, Г. Биркгофа и др. В последующем эти подходы были развиты М.А. Красносельским и его учениками — Л.А. Ладыженским, И.А. Бахтиным, В.Я. Стеценко, Ю.В. Покорным и др.

Рассматриваемая в работе краевая задача относится к широкому классу граничных задач, возникающих в различных областях прикладной математики и физики, в частности, моделировании гармонического осциллятора, в теплопроводности, потоках подземных вод, термоупругости, физике плазмы и т. д. Для обыкновенных дифференциальных уравнений интегральные граничные условия рассматривались, например, в работах [4; 5; 9]. В данной статье нами получены достаточные условия существования и единственности положительного решения исследуемой задачи соответственно с помощью теоремы о растяжении конуса и принципа единственности для и ₀ выпуклых на конусе операторов.

1.    Предварительные сведения

Пусть Е — банаховое пространство с частично упорядоченным конусом К С Е , где под полуупорядочиванием и <  v и u < v в конусе К соответственно будем понимать v — и Е К и v — и Е К .

Определение 1 [2, с. 197]. Оператор Л, действующий в пространстве Е с конусом К, назовем вогнутым, если существует такой ненулевой элемент и0 Е К, что для любого ненулевого ж Е К справедливы неравенства аи0 < Лж < ви0, где а и в положительны, и если для каждого такого ж Е К, что а1(ж)и0 < ж < в1(ж)и0 (а1(ж), в1(ж) > 0), справедливы соотношения

Л(Ьж') >  tЛж (0 <  t <  1).

Определение 2 [2, с. 199] . Вогнутый оператор Л назовем и ₀ -вогнутым , если для каждого положительного числа t ₀ Е (0,1) можно указать такое п = п(ж; t ₀ ) > 0 , что

Л(t ₀ ж) >  (1 + n)t ₀ Лж.

Определение 3 [2, с. 107] . Нелинейный оператор Л называется монотонным на множестве Т С Е , если из ж <  у   (ж, у Е Т ) следует, что Лж <  Лу .

Определение 4 [2, с. 199] . Конус К называется телесным , если он содержит внутренние точки.

Теорема 1 [3, c. 420]. Пусть положительный оператор Л   (Л0 = 0) монотонен и вполне непрерывен на конусе К и для некоторого элемента v* Е К, v* = 0

i_im          = _то .

t ^^     t

Пусть для каждого х Е К

Ах > || Ах || • и*

и для некоторого т >  0

Ах > х     (х Е К, || х || <  т, х = 0).

Тогда оператор А имеет одну неподвижную точку х* Е К, х* = 0 , х* > | х | и * . Лемма 1 [2, c. 220] . Пусть уравнение х = Ах c монотонным и ₀ выпуклым оператором А имеет два ненулевых положительных решения х* и х**. Тогда

х* < Ьх**,     0 < t < 1.

Утверждение 1 [Принцип единственности] [2, c. 220] . Если в условиях леммы 1 конус К телесен и один из элементов х * — х ** , х ** — х * может быть либо нулем, либо внутренним элементом конуса, то

х * = х ** .

2.    Постановка задачи и основные результаты

Рассмотрим краевую задачу х,,(t) + p(t)х(t) + /(t,х(t)) = 0,     0

х(0) = 0, х(1) = Л У х(s) ds, где p(t) — неотрицательная непрерывная на [0,1] функция; Л Е (0, 2) — действительное число, функция /(t,х) непрерывна, монотонно возрастает по второму аргументу и /(•, 0) = 0.

Определение 5. Под положительным решением задачи (1)–(2) будем понимать функ-

цию х Е С², положительную в интервале (0,1), удовлетворяющую уравнению краевым условиям (2).

Лемма 2. Пусть o(t) — непрерывная на отрезке [0,1] функция. Тогда функция, деленная формулой

(1) и

опре-

х(t) = У G(t, s)ff(s) ds, 0 < t < 1, является единственным решением краевой задачи х,,(t) + cr(t) = 0,      0 < t < 1,

х(0) = 0, х(1) = Л У х(s) ds, d2

где G(t, s) — функция Грина оператора —— с краевыми условиями (5):

dх²

G(t, s) = <

t(1 — s)(2 — Л + Лs) — (2 — Л)^ — s)

2—Л

t(1 — s)(2 — Л + As)

, если 0 < s< t< 1;

2—Л

,

если 0 < t < s < 1.

Доказательство. Пусть x(t) — положительное решение задачи (4)-(5). Тогда, интегрируя, получим

x(t) = x(0) + tx‘(0) — I (t — s)ff(s) ds, x(1) = x‘(0) — I (1 — s) ct(s) ds.

Следовательно,

x(t) = A У tx(s) ds + У t(1 — s)o(s)ds — j (t — s)a(s)ds, x(t) = A У tx(s) ds + У H(t, s)ff(s)ds,

где

^{H (t,s)} = |

s(1 — t), если 0 < s < t< 1; t(1 — s), если 0 < t< s< 1.

Проинтегрировав (6) на [0,1], j x(s) ds =

получим

[ x(s)ds + [ [ H(s, т)а(т) dTds.

°²0o            Jo 0o

Откуда,

I x(s) ds =

²Jo¹Jo^{1 H(s}, ^tM^{t) dTds}

2 — A

.

Подставив в (6), получим окончательно искомое соотношение (2).

Рассмотрим эквивалентное, в силу леммы 2, задаче (1)–(2) интегральное уравнение

x(t) = I G(t, s) (p(s)x(s) + /(s, x(s)) ds, 0 < t< 1.

Несложно проверить, что

-^-^^(s)t< ^G(t,s)< -2—A                2

где ^(s) = s — s².

o2

-

-^(^s),      ^t,sE^[0, 1^],

λ

В операторной форме уравнение (7) можно переписать в виде

x = Ax, где оператор A, определенный равенством

(Ax)(t) = 1 G(t, s) (p(s)x(s) + /(s, x(s)) ds, 0 < t < 1, действует в пространстве неотрицательных непрерывных функций, монотонен, вполне непрерывен [3, c. 161] и оставляет инвариантным конус К неотрицательных функций пространства С, удовлетворяющих условиям (2).

В дальнейшем полупорядоченность и< у и и<у в конусе К определим соответственно следующим образом: u(x) < y(x) и u(x) > y(x) для всех x E [0,1].

Теорема 2. Предположим, что выполнены условия:

• 1)    a(t)u^a< /(t,u) < b(t)u^a, где a > 1, a(t) > 0, b(t) > 0 — непрерывные на [0,1] функции;

• 2)    Jo¹p(s) ds< ^.

Тогда краевая задача (1)–(2) имеет по крайней мере одно положительное решение.

Доказательство. Покажем, что найдется такое число г > 0 , что при ж Е К и ||ж|\с < < г, ж = 0

Аж>ж.

Ввиду выпуклости решения задачи (1)–(2) легко показать, что ж(t) > 44ж\\с,     0 < t < 1.                          (10)

В силу условия (1) теоремы и (10), воспользовавшись (8), имеем

^(Aж)(t) = ∫︁₁G(t, s) (p(s)ж(s) + /(s, ж(s)) ds<

< I G(t,s') (p(s) + b(s)жa-1(s)^ ж(s) ds < a2

≤

2—Л

≤

a2

-

/ p(s)ds + \ж\с 1 / b(s)ds)^(t)|H|c < yo                 Jo /

[ p(s)ds + r^a-1 / b(s) ds)t\ж\_с< ^λ00

<    ⁴ A/ P(s) ds + r^a-1 I

x⁽² — Л)   0

b(s) ds

^ ж(t).

Выбрав г <

^Л(^{2-Л) —}Jo P^{(s) ds} Jo^{1 b(s) ds}

al

α-1

, легко убедиться в справедливости (9).

Покажем теперь существование такого ненулевого элемента у* Е К, что для каждого ж Е К

Аж > у*\Лж\_с

Действительно, в силу свойств функции Грина (8), имеем

^(Ax)⁽f) = L G(t, s) (p(s)ж(s) + /(s, ж(s)) ds >

λ¹

>2>—Л /₀ ^⁽s) (P⁽sMs) + ^/(s, ж⁽s^{) d}s • ^t.

В то же время

(s)) ds<

llAxllc = max / G(t,s) (p(s)x(s) + /(s,x 0

≤

- 2 - A

/1 0

^(s) (p(s)^(s) + /(s,x(s))

ds.

Объединив последние два неравенства, легко видеть выполнение условия (11), где ^ = ^At.

Последним шагом доказательства нашей теоремы является проверка условия

P II^a(y^*)IIc lim ----------= oo.

у ^^ Y

В самом деле, в силу условия (1) теоремы и (8), имеем

(AY^*)(t) = ^ G(t, s') (p(s)Y^*(s) + /(s, Y^*(s))) ds >

λ1

>2—A / ^(s) (p(s)y^ (s) + a(s)Y^a^ ^a(s)) ds • t =

^^Y^ I ^(s) ^p(s)^*(s) + a(s)Y^a'^'^лм) ds • t.

Разделив обе части последнего неравенства на γ, после нормировки в пределе получим требуемое соотношение.

Тогда согласно теореме 1 оператор А имеет в конусе К пространства С, по крайней мере одну, неподвижную точку, что равносильно существованию, по крайней мере одного, положительного решения краевой задачи (1)–(2).

Лемма 3. При выполнении условия j sp(s)^(s)ds<

4 - 2A λ²

положительное решение краевой задачи (1)–(2) удовлетворяет оценке

У^Ус <М, а1

2^а(2 - A) где М = ———— λα+1

^{1 -}4-^A2A Jo ^sP^(s)^^{(s) ds} J1 s^aa(s)^(s) ds

)

α

-

Доказательство. Рассмотрим интегральное уравнение

x

(t) = ^ G(t, s) (p(s)x(s) + /(s, x(s)) ds,

0 < t< 1,

которое, как было выше отмечено, равносильно граничной задаче (1)–(2).

В силу условия (1) теоремы 2, (8) и (10) имеем

λ

^x(t) > -—-2-Л

• t [ ^(s) (p(s)x(s) + a(s)x^a(s)) ds > 0

≤

λ

-λ

•^t / ^Ф(s) (p^(s)a2^s|x|c ^{+ a(s)}(^) ^s“^|x|C^ ^ds>

λ

≥

2-Л

• ^а2^|ж|с j_o^sP^(s)ф(s)ds + f ^) ^|ж|с ^ ^saa^(s)ф(s)ds^.

Переходя в последнем неравенстве к максимуму на отрезке [0,1], получим

|x|c > 2

λ

-

Л (^ И^^с ^ ^sP^(s)ф(s)ds + f^) ц^ ^ ^а^(ф)^ф(ф) d^ >

λ2

>2(2 - Л)

l|x||c     sp⁽s^)ф(s^)ds ⁺ 2

λ

-

т f4) ^|x|C / ^saa^(s)^^(s)ds, ^Л \a²          о

откуда и следует искомая оценка (12).

Теорема 3. Предположим, что /(t,u) непрерывно-дифференцируема и монотонно возрастает по второму аргументу, выполнены условия теоремы 2 и

[ p(s)ds +[ |/(, (s,M)|ds< 2 - Л.

Тогда краевая задача (1)–(2) имеет единственное положительное решение.

Доказательство. Несложно показать, что монотонный оператор Л будет и₀-выпуклым на конусе К пространства С, если в соответствующем определении положить и₀ = -ф.

Допустим теперь, что уравнение (7) имеет два положительных решения x1(t) и x2(t). Из вышеприведенного принципа единственности для выпуклых операторов следует, что обе разности x1(t) — x2(t) и x2(t) — x1(t) не являются строго положитель- ными функциями. Без ограничения общности можно считать, что разность = x1(t) — x2(t) обладает следующим свойством: найдутся такие числа t0 и у (to) = maxo при любой постоянной ω.

y^(t) = t1, что S ЦуЦс

Из равенств xi(t) = I G(t, s) (p(s)xi(s) + /(s, xi(s)) ds (г = 1, 2),   0 < t < 1, следует, что y(t) = [ G(t,s) (p(s)y(s) + /L (s,x(s))y(s)) ds,   0

Взяв ш = 0, в силу монотонности производной /у (t, и) и свойств функции Грина (8), получим

2Мс<Мс <

а1

2(2 - Л)

[ p(s) ds + / ^|/L ⁽s^,£⁽s^))| ds] \\у\\с< 00

_а1    If^{1              1}

<9(9/ P^{(s) ds +    |/}"^(s,M )| ^ds

^{2(2 — Л)}   0             0

то есть

/ P⁽s)

ds +

1¹l/L (s,M)|

ds > 2

- Л.

Если последнее неравенство не выполняется, то уравнение (7), а следовательно, и краевая задача (1)–(2) имеет единственное положительное решение.

Приведем пример, иллюстрирующий выполнение условий вышеприведенных теорем.

Пример 1. Рассмотрим следующую задачу

^'(t) + t^e^(t) + (e* + 999)^^a(t) = 0,     0 < t < 1,

ж(0) = 0, ж(1) = У ^(s) ds, где a > 1, в > 0 — некоторые параметры, подлежащие определению.

Здесь, очевидно, p(t) = t^e, Л = 1. Положив a(t) = 1000, легко видеть, что при в > 3 выполнены условия теоремы 2 и леммы 3. Последняя обеспечивает оценку положительного решения задачи (13)–(14)

Ыс

2a(a + 2)(a + 3)

1-

2(в + 3)(в + 4)).

а1

Единственность же положительного решения задачи (13)–(14) в силу теоремы 3

гарантирует условие

а1

в + 1

+ aM^a-1(e - 1) < 1.

В частности, взяв a = 2 и в = 4, легко проверить выполнение данного условия.