О существовании и единственности положительного решения краевой задачи для одного нелинейного обыкновенного дифференциального уравнения четвертого порядка

DOI:

ул. Дзержинского, 12, 367025 г. Махачкала, Российская Федерация

Нелинейным краевым задачам посвящено достаточно большое количество работ, в которых рассматриваются вопросы существования решений, их поведения, асимптотики и т. д., причем естественным орудием исследования являются методы функционального анализа, основанные на использовании полуупорядоченных пространств, теория которых связана с именами Ф. Рисса, М.Г. Крейна, Л.В. Канторовича, Г. Фрейденталя, Г. Бирк-гофа и др. В последующем методы исследования положительных решений операторных уравнений были развиты М.А. Красносельским и его учениками Л.А. Ладыженским, И.А. Бахтиным, В.Я. Стеценко, Ю.В. Покорным и др.

Работ, посвященных непосредственно краевым задачам для нелинейных дифференциальных уравнений четвертого порядка, относительно немного, например, [6; 8–11; 13– 21]. Однако за редким исключением в перечисленных работах исследованы вопросы существования и единственности положительных решений. Среди близких к данной статье публикаций можно отметить [3–5]. В [3] получены достаточные условия существования и единственности положительного решения с аналогичными граничными условиями при достаточно жестких ограничениях степенного характера на правую часть / уравнения. В [4] в краевой задаче с близкими граничными условиями в качестве / взята надлинейная степенная функция, установлены достаточные условия существования и единственности положительного решения такой задачи, а также предложен достаточно эффективный численный алгоритм решения. В [5] показано существование положительного решения задачи для нелинейного уравнения с сильной степенной нелинейностью со схожими краевыми условиями. Во всех вышеупомянутых работах рассмотрены краевые задачи с требованиями на / надлинейного степенного роста с различными граничными условиями. В данной статье предпринята попытка обобщить условия на / и немного расширить соответствующий класс задач.

Полученные результаты дополняют исследования авторов по данной тематике. В частности, к последним публикациям можно отнести [1; 2].

• 1.    Постановка задачи и основные результаты

Рассмотрим краевую задачу

ж(4)(t) + /(t, ^(t)) = 0,     0

ж(0) = ж‘(0) = х" (0) = 0,(2)

ж‘"(1) = 0,(3)

где /(t,x) — неотрицательная и непрерывная на [0,1] х [0, то) функция, причем /(•, 0) = = 0.

Обозначим через С^к(к > 0) пространство к раз непрерывно дифференцируемых на отрезке [0,1] функций.

Определение 1. Под положительным решением задачи (1)–(3) будем понимать функцию x(t) Е С4, положительную в интервале (0,1) и удовлетворяющую на указанном интервале уравнению (1) и граничным условиям (2), (3).

Как несложно видеть, исходную задачу с помощью функции Грина можно записать в эквивалентной форме

х

^(t)=L^{G(t,s)/(s,x(s))}

ds,

0 < t< 1,

где

G(t,s) =

S3 _ S2_t , s22

6     2 ^L + 2^L ,

I t3,

если 0 < s < t, если t < s < 1.

Лемма 1. Ядро G(t,s) обладает следующими свойствами:

• 1)    G(t,s) > 0, (t,s) Е (0,1) х (0,1);

• 2)    G(t, s) < maxo<t<i G(t, s) = G(1, s), (t, s) Е [0,1] х [0,1];

• 3)    mini<_t<1 G(t, s) > 16 maxo<_f<i G(t, s) = 16G(1, s), s Е [0,1].

Доказательство. В выполнении свойства 1 легко убедиться. Кроме того, возрастание G(t, s) по первому аргументу обеспечивает выполнение второго свойства леммы.

Покажем теперь выполнение свойства 3. В силу монотонности G(t, s) имеем minG(t,s)=G (1 ,s) =( J3  S4+ S, если 0 < s < 2, если 2 < s < 1,

2 <^t<^{1                    2}             48,

• — max G(t, s) = ^s--— + —.

16 o<tv , ^v    96    32    32

Для всех s Е [0, 2] свойство (3) леммы примет вид s3 s2 s s3 s2 s

• "6" - 7 + 8 > 96 - 32 + 32.

Последнее равносильно

5s³- 7s²+ 3s > 0

и, как несложно видеть, выполняется для всех s Е [0, 2].

При s Е [2, 1] свойство (3) соответственно запишется так:

В операторной форме уравнение (4) можно переписать в виде x = Ax, где A — оператор, определенный равенством

(Ax)(t) = У G(t,s)f (s,x(s)) ds,     0 < t< 1

действует в пространстве неотрицательных непрерывных функций и вполне непрерывен [7, c. 161].

Обозначим через К конус неотрицательных и непрерывных на отрезке [0,1] функций x(t), удовлетворяющих условию min x(t) > -1 \x\c. 2

Лемма 2. Оператор A оставляет инвариантным конус К.

Доказательство. В силу свойств 2 и 3 леммы 1 соответственно имеем

\^Ax\c < / max ^{G(t,s)f (s,x(s))}ds, 0 ⁰<c<1

min (Ax)(t) = min [ G(t,s)f (s,x(s))ds > — [ max G(t,s)f (s,x(s))ds >—HAxHc.

2            2                           16 Jo o<t<i                          16

В дальнейшем для доказательства существования по крайней мере одного положительного решения задачи (1)–(3) нам понадобится следующая известная теорема Го — Красносельского [12].

Теорема 1. Пусть Е — банахово пространство, К с Е — конус, а О₁, 02 — два ограниченных открытых шара Е с центром в начале координат с О с 02. Предположим, что Т : К П (О₂\О₁) > К — вполне непрерывный оператор такой, что выполнено одно из двух условий

(г) ||Ти | > \\и\\, ^и ЕК П дО и ||Ти | < \\и\\, ^и ЕК П дО2,

(И) |Ти\ < \и\, ^и Е К П дО₁и |Ти\ > \и\, ^и Е К П д02.

Тогда Т имеет неподвижную точку в К П (0₂\0₁).

Предположим, что f (t,x) удовлетворяет одному из следующих условий:

(Я 1) : lim^.^^ (   ) = то, x (Я2) : lim,^„ ^iE) = 0, x Введем обозначения: lir, . t^! = 0,   t Е [0,1]. x lim.^o         = то,   t Е [0,1], x 0r = {и Е C : \u\ < г}, 0R = {и ЕС : |и|

Теорема 2. При выполнении одного из условий (H1) и (H2) краевая задача (1)–(3) имеет по крайней мере одно положительное решение.

Доказательство. Проверим выполнение условия (г) теоремы 1.

Предположим, что имеет место (H1). Тогда найдутся положительные числа М и N, такие что

/(t, ж) > аж,   t Е [0,1], ж > М ,

/(t, ж) < вж,   t Е [0,1],   0 < ж < N, где а > 1 256    ,   0 < в < г 1Г Z.

j i G(1,s) ds                  0 G(1,s) ds

В определении множеств Q_r и Qr выберем соответственно г > 16М и 0 < R< N. Тогда для ж Е К П дQ_r имеем

ж(t) > min ж(t) >   Цж^с =

1/2

Таким образом, в силу (5) и леммы 1 имеем

(Аж)(t) > ^ G(t,s)/(s,ж(s)) ds

>    / ^^^l^llc ^ds > ^г = ||^жНс.

256 1

Для ж Е К П дQr из (6) и леммы 1 соответственно получим

(Аж)(t) < У G(1,s)в|ж| ds< eR^ G(1,s) ds < R.

В случае (H2) аналогичным образом устанавливается выполнение условий (гг) теоремы 1.

Таким образом, при соответствующем выборе г и R нетрудно обеспечить выполнение условий теоремы (1). Следовательно, вполне непрерывный оператор А имеет по крайней мере одну неподвижную точку в К П Q, что равносильно существованию хотя бы одного положительного решения краевой задачи (1)-(3) такого, что г< |ж|с < R, где г и R определены выше.

Теорема 3. При выполнении условий теоремы 2 краевая задача (1)–(3) имеет единственное положительное решение, если функция /(t,ж) непрерывно дифференцируема, производная /' (t, ж) монотонно возрастает по второму аргументу и

/ 1 G(1,s) |Л (s,R)|

ds < 1.

Доказательство. Воспользовавшись монотонностью производной /'(t, ж) по второму аргументу и применив формулу конечных приращений Лагранжа, для ж1,ж₂Е К П Q получим

^|Аж1 ^-Аж2||с =^max [ G^{(t,s) l/}^^(s, :r^(s))| |^^(s)| ^ds<

0SiS1 Jo

< / 1G(1, s) |/; (s,R)| |^(s)| ds < Ыс / 1G(1, s) I/' (s,R)| ds,

где £(t) принимает значения промежуточные между Xi(t) и х₂(t), y(t) соответственно обозначает разность xi(t) — x₂(t).

Из принципа сжатых отображений, с учетом условия (7) теоремы, следует, что краевая задача (1)–(3) имеет единственное положительное решение.

Замечание 1. В случае убывания /, (t,x) по второму аргументу несложно вывести достаточное условие единственности, аналогичное (7).

Пример 1. Рассмотрим задачу

^(4)(t) + a^(t)(e,(t) — 1) = 0,      0 < t < 1,(8)

ж(0) = ж‘(0) = ж"(0) = 0,(9)

а/"(1) = 0,(10)

где a > 0.

Выполнение условий (H1), гарантирующих в соответствии с теоремой 2 существование по меньшей мере одного положительного решения задачи (8)–(10), очевидно. Выясним теперь, при каких условиях это решение единственно.

Для определения Я, участвующего в условии (7) теоремы 3, рассмотрим неравенство (6)

ах(ех — 1) < вж, где 0 < в < 8.

Откуда

0 <^(t)

При Я Е (0, N] в силу теоремы 3 выполнение неравенства а [ед(1 + Я) — 1] < 8

влечет единственность положительного решения задачи (8)–(10).

Например, при а = в = 1 и Я = 0,1 несложно убедиться в справедливости этого неравенства.