О существовании и единственности положительного решения краевой задачи с симметричными граничными условиями для одного нелинейного обыкновенного дифференциального уравнения четвертого порядка

DOI:

ул. Дзержинского, 12, 367025 г. Махачкала, Российская Федерация

Краевые задачи для обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений четвертого порядка довольно часто встречаются в механике твердых материалов и достаточно подробно изучены. Однако результаты, посвященные указанным краевым задачам с интегральными граничными условиями, встречаются редко.

Например, в [5] с помощью теоремы о неподвижной точке в конусе доказано существование хотя бы одного положительного решения задачи

u⁽⁴\t) + Au^r ‘ (t) = Л f (t,u,u' ,u " ,u'"), u (0) = u(1) = У p(s)u(s)ds, u ” (0) = u"(1) = [ q(s)u(s)ds,

0 1,

J 0

где f — неотрицательная непрерывная функция; Л > 0,   0 < A <  п ² ; p,q Е L[0, 1],

p(s) >  0,     q(s) >  О.

В [6] сформулированы достаточные условия существования вогнутых и монотонных положительных решений краевой задачи

x ⁽⁴⁾ (t) = f (t,x,x',х"),   О < t < 1,

х(О) = х‘ (1) = х‘‘‘(1) = О, х‘‘(О) = У g(s)x‘‘(s)ds, где f и д — неотрицательные и непрерывные функции.

Кроме того, теорема о неподвижной точке в конусе была также использована в [7] для доказательства существования положительных решений сингулярной граничной задачи

У ^{(4) ( t )} = _w ^(t)F (t,y,y"),   ⁰ <^t< 1,

^(О) = У(1) = У h(s)y(s)ds, ay‘‘(0) - by’”(О) = У g(s)y‘‘(s)ds, ay‘‘(1) + ЬУ‘‘‘(1) = У g(s)y‘‘(s)ds, где a, b> О; функция F : [0,1] x R x R -И непрерывна.

Как следует из приведенного выше обзора работ, основным инструментом исследования здесь является теорема Красносельского о неподвижной точке в конусе. Кроме того, для доказательства существования положительных решений краевых задач часто применяют нелинейные альтернативы Лере-Шаудера, теорию индекса неподвижной точки и метод верхних и нижних решений. Наличие тривиального решения предлагаемой в статье краевой задачи, которая моделирует изгибное равновесие упругой балки, существенным образом усложняет процесс доказательства единственности положительного решения для подлинейной правой части f. Для этой цели соответственно были привлечены полученные ранее априорные оценки решения и использован принцип сжатых отображений. При этом заметим, что исследование существования положительных решений опирается на известную теорему Го — Красносельского с охватом в том числе надлинейного характера поведения функции f. Полученные результаты дополняют исследования автора в данном направлении (см., в частности, [1–3]).

1.    Предварительные сведения и обозначения

Приведем некоторые определения, предложения и утверждения, необходимые в дальнейшем.

Определение 1 ([4, c. 256]). Замкнутое выпуклое множество К банахова пространства Е назовем конусом , если из х Е К и х = 0 следует, что ах Е К при а < 0.

Теорема 1 ([8]). Пусть X — банахово пространство и К с Е — конус в X . Предположим, что Q 1 , Q 2 являются открытыми подмножествами X с 0 Е Q 1 , Q 1 с Q 2 и пусть А : К П (Q ₂ \ Q i ) ^ К —вполне непрерывный оператор такой, что выполнено одно из двух условий:

• (i) \\Аи\\< ||м||, Ум Е К П дQi и \\Аи\\ > ||м||, Ум Е К П dQ₂,

• (И) \\Аи\\ > ||м||, Ум Е К П дQ1 и \\Аи\\< ||м||, Ум Е К П dQ2.

2.    Постановка задачи и основные результаты

Тогда А имеет неподвижную точку в К П (Q ₂ \ Q 1 ) .

В работе использованы следующие обозначения: C [₀,1] — пространство непрерывных на отрезке [0,1] функций с нормой ||х|| = max ₀ < _t < 1 | x(t) | ,

Q 1 = {м Е К : ||м|| <  г } ,   dQ 1 = {м Е К : ||м|| = г } ,

Q 2 = { м Е К : ||м|| <  R } ,   dQ 2 = { м Е К : ||м|| = R } ,

Q = Q2\Q1, где г и R — некоторые положительные числа, которые определим ниже.

Рассмотрим краевую задачу

x ⁽⁴⁾ (t) = f(t,x(t)),     0 1,                              (1)

х(0) = 0, х‘‘(0) = / g(s)x"(s)ds,                            (2) 0 х(1) = 0, х"(1) = [ д(з)х"(з^з,                         (3) 0 где g(t) — неотрицательная и непрерывная на отрезке [0,1] функция такая, что

У sg(s)ds = 1, 1 <  У g(s)ds <  2.

Функция f (t,u) предполагается неотрицательной и непрерывной на [0,1] х [0, то ) , причем f ( • , 0) = 0.

Определение 2. Под положительным решением задачи (1)–(3) будем подразумевать четырежды непрерывно дифференцируемую на отрезке [0,1] функцию x(t), положительную в интервале (0,1), удовлетворяющую на указанном интервале уравнению (1) и граничным условиям (2) , (3) .

Приведем без доказательства достаточно простую лемму, в основе которой клас- d² сическая схема построения функции Грина Н(t,s) дифференциального оператора 2— с соответствующими интегральными граничными условиями.

Лемма 1. Пусть h(t) — неотрицательная и непрерывная на [0,1] функция. Краевая задача u"(t) = h(t),     0 < t < 1,

u(0) = / g(s)u(s)ds, J 0

u(1) = / g(s)u(s)ds 0

имеет единственное положительное решение

u

(t) = /о Н(t,s)h(s)

ds,

0 <  t <  1,

где

Н(t, s)

{ a(s)(t + a), ^(a(s) + ^{1) t},

0 < t < s, s < t < 1,

a =

-------i------------ , a - J o g^(s)ds

^{( s )} = (1 - ^ g⁽s)^ds^^s.

Легко видеть, что dH(t, s) dt

\ ^{a( s )} ,

I ^{a ( s )} + 1,

0 <  t <  s, s <  t <  1,

откуда вытекает, что ^^^^ < 0 при t E [0,s] и ^^^^ > 0 при t E [s, 1]. Следовательно, функция H(t,s) выпукла вниз по t и соответственно оmin Н(t, s) = Н(s, s) = a(s)(s + a), s E [0,1],

maxH (t,s') = H (0,s) = aa(s), s E [0,1].

Определим оператор A : C [₀,1] ^ C [₀,i] формулой

■ 1

(Ax)(t) = ^ G(t,s) ^ Н (s, t ) J ( t,x ( t )) dT

ds,

0 <  t <  1,

где G(t, s) — функция Грина оператора

d ² dt²

с краевыми условиями x(0) = x(1) = 0

G(t,s) = |

^{s (1} - ^{t )} , ^{t (1} - ^{s )} ,

0 <  s <  t, t <  s <  1.

Нетрудно видеть, что в квадрате [0,1] х [0,1] функция G(t, s) неотрицательна и обладает свойством

ф(t)ф(s) < G(t,s) < ф(s), где ф(t) = min(t, 1 — t).

Заметим, что в силу леммы 1 функция x(t) является решением краевой задачи (1)-(3) тогда и только тогда, когда x(t) неподвижная точка оператора А.

Обозначим через К конус неотрицательных и непрерывных на [0,1] функций, обладающих следующим свойством

x(t) > ф (t) | x | .

Лемма 2. Оператор А инвариантен относительно конуса К .

Доказательство. Для любых х Е К в силу неравенств (5) соответственно имеем

||Ах|| = max (Ax)(t) <  / ф (s ) / Н (s, T)f ( т ,х( т )) dT ds. o < t < 1              Jo        [Jo                           J

С другой стороны,

(Ax)(t) > ф(t)^ ф(s)Ц Н(s, T)f (T,x(T))dT| ds > ф(t)|Ax|.

Следовательно, А(К ) С К .

Несложно проверить, что вполне непрерывность оператора А следует из теоремы Арцела-Асколи.

Теорема 2. Предположим, что

linu ,_г min o < _f < i

f (t,u)

и

= то ;

2) f (t,u) <  b(t)u ^p ,   0 <  p <  1 , t Е [0,1] , и >  0 .

Тогда краевая задача (1) – (3) имеет по крайней мере одно положительное решение.

Доказательство. При выполнении условия 1 теоремы найдется положительное число L такое, что f (t,x) > bx, t Е [0,1],   0

где δ ≥ ₁                      .

f0 o(t)(t + a)ф(т)dт

В определении множества Q1, положив г = L и воспользовавшись (5) и (6), при x Е 3^1 имеем

(Ax)(t) > ф(t)У ф(s) У Н(s, T)f (t, x(t)) dT ds >

> 5ф(t)У ф(s) ^ Н(s, t)x(t) d^ ds > Ьф(1) ^ Н(t, т)ф(т) dT^ ф(s) ds • |x| = δ¹

= 4ф(t)y g(t)(t + a)ф(т)dт • |x|. (7)

Пронормировав теперь обе части неравенства с учетом ограничений на δ, окончательно получим НАхН > |^| для всех х Е дQ1.

В силу (5) и условия 2 теоремы при х Е дQ2 имеем

НАхН = max / G(t, s) [ [ Н (s, т) f (т, x(т))dт"l ds< / Н (0, т)b(т)x^p(т)dт f ф(s)ds< o<t<1 Joo            0 Jo            Jo

< ^а/₀^a(T)^b(T)dT • Нх|^р= R^{p-1 а} ^ a(T)b(T)dT • НхН. (8)

Взяв теперь R = ^

а /01 a(T)b(T)dT

^   , при х Е дQ2 придем к искомому соотношению

НМ < 11x11.

Таким образом, при соответствующем выборе г и R в силу теоремы 1 вполне непрерывный оператор А имеет по крайней мере одну неподвижную точку в Q, что равносильно существованию хотя бы одного положительного решения краевой задачи (1)–(3).

Лемма 3. При выполнении условий теоремы 2 оператор А отображает замкнутое множество Q в себя.

Доказательство. Для х Е к, Нх| < R, где

R =

(______⁴______ а o a(T)b(T)dT

)"

на основании (8) имеем

НАхН < R.

С другой стороны, взяв в качестве г число, границы которого определены в процессе доказательства теоремы 2, для х Е К, ЦхЦ > г из неравенства (7) получим

НАхН > г.

Теорема 3. Пусть выполнены условия теоремы 2. Кроме того, предположим, что функция f (t,u) дифференцируема по и, производная fU (t,u) монотонно убывает по и и

J1

ф(^s)|f«^(s,r)|ds< 1.

Тогда краевая задача (1)–(3) имеет единственное положительное решение.

Доказательство. Для любых х1, х₂Е Q ввиду монотонности функции f'_u(t,u) по и и в силу формулы конечных приращений Лагранжа и неравенства Гельдера имеем

^НАх1 -^Ах2^Н< / ^G(t,s)|fU ^(s,x(^s))|^(^s)|^ds< / Ф^жи^(s,r)|ds -IM, 00

где через y(t) обозначена разность x₁(t) — x₂(t), функция X(t) принимает значения, промежуточные между значениями x₁(t) и x₂(t).

Из принципа сжатых отображений с учетом леммы 2 и условия (9) теоремы следует, что краевая задача (1)–(3) имеет единственное положительное решение.

Приведем пример, иллюстрирующий применение вышеприведенных теорем.

Пример 1. Рассмотрим задачу

x(4^(t) = e*y/x(t),     0 1,	(10)
х(0) = 0,  x‘‘(0) = У s ^s + -^ x"(s)ds,	(11)
х(1) = 0,  x‘‘(1) = У s ^s + У x"(s)ds.	(12)

Здесь g(t) = t + 3 и f (t,u~) = ^и2. Легко видеть выполнение условий теоремы 2, гарантирующих наличие хотя бы одного положительного решения задачи (10)–(12).

Докажем теперь единственность положительного решения исследуемой задачи. Путем несложных вычислений устанавливаем, что а = — 5 и a(s) = — 6s. Заметим, что неравенство (6) в данном случае можно записать так х2 > 5х, t Е [0,1],   0 < х < L,

где 5 > 576. Нетрудно убедиться, что неравенство (13) выполняется при L = 52. Выберем теперь г = L ^ 242. С другой стороны, взяв в условии 2 теоремы 2, например, b(t) = = e^10t, несложно проверить, что R = (9710+1) » г.

В рассматриваемой задаче, очевидно, производная f^(t,u) = 2^ монотонно убывает по и. Тогда неравенство (9) соответственно примет вид

[ e^(s)ds < 1.

V г 00

Справедливость этого неравенства очевидна. Следовательно, в силу теоремы 3 краевая задача (10)–(12) имеет единственное положительное решение.