О существовании и единственности положительного решения задачи Дирихле для одного нелинейного дифференциального уравнения

DOI:

ул. Дзержинского, 12, 367025 г. Махачкала, Российская Федерация

В настоящей статье в n-мерном единичном шаре S рассматривается задача Дирихле

△ и + f ( | х | ,и)=0, х G S,

U|r = 0, где Г — граница S, f : [0, +го) х R ^ R - неотрицательная непрерывная функция, удовлетворяющая одному из условий:

(Н 1 ) : f ( A 1 v, A 2 w) = Л ™ 1 А т 2 f (v,w), V A 1 , A 2 > 0, где т 1 >  0, т ₂ > 1 или

(Н ₂ ) : f ( A v, Aw) = A ^m 1 ^{+ m} 2 f (v,w) V A >  0, где m 1 >  0, m₂ >  1.

Кроме того, предполагается, что lim min и^+^ re[0,i]

f (r, и) и

= + w .

Вопросам качественного поведения радиально-симметрических решений граничных задач для уравнения вида (1) посвящено достаточно большое число работ (например, [10; 11]). В [12] были получены достаточные условия единственности положительного радиально-симметрического решения уравнения вида (1), убывающего на бесконечности, и доказана единственность положительного радиально-симметрического решения задачи Дирихле в шаре. Кроме того, отметим еще ряд работ [8; 9; 21] в этом направлении. В [4; 14–16; 20] с помощью различных топологических методов, основанных на теореме Красносельского, доказаны аналогичные результаты. В [13] результаты о существовании решений были получены с помощью метода горного перевала. На основе методов вариационного исчисления в [17–19] было доказано существование радиально-симметрических решений задачи Дирихле для уравнения (1). В частном надлинейном случае в [6] доказана единственность положительного решения задачи (1)–(2). В более общей постановке единственность положительного решения Дирихле изучалась и другими авторами. В частности, в [3], используя априорные оценки, была доказана единственность положительного решения задачи Дирихле для функции f (х,и) = р(х)и ^к с граничным условием на бесконечности. Кроме того, отметим здесь работу [7], в которой была установлена единственность положительного решения задачи Дирихле в кольце. Близкой к настоящей работе постановке задачи соответствующие результаты были получены в [1; 2], где с помощью преобразования Ц. На [5] доказано существование единственного положительного радиально-симметричного решения задачи Дирихле для частного случая уравнения (1) с нелинейной степенной составляющей и предложен численный алгоритм нахождения этого решения.

В данной работе для доказательства существования единственного положительного радиально-симметричного решения краевой задачи (1)–(2) с обобщенной однородной нелинейной надбавкой был взят на вооружение метод преобразований Ц. На, отличающийся своей простотой и эффективностью. Более того, с помощью данного метода получен алгоритм численного нахождения решения рассматриваемой задачи. Полученные в статье результаты в определенной степени расширяют и дополняют обозначенные выше исследования.

1.    Основные результаты

Определение 1. Под положительным решением задачи (1)–(2) будем подразумевать функцию и G С 2 (S ), положительную в S и удовлетворяющую граничному условию (2).

Хорошо известно, что радиально-симметричное решение задачи (1)–(2) удовлетворяет краевой задаче и’’ + -

-

г и'(0) = 0, и(1) = 0,

- и' + / (г, и) = 0, 0 < г <  1,

где г = | ж | .

Для доказательства существования положительного радиально-симметричного решения иследуемой краевой задачи воспользуемся группой линейных преобразований Ц. На [5]

{

г = А ^а г, и = А ^в й,

где а , в - произвольные постоянные; А - положительный параметр. После подстановки (7) в уравнение (4) получим

А ^в-2а и '' + ^-

-

г

¹ А ^в-2а и ‘ + А ^{ат 1 +вт} 2 / (г, и) = 0.

Исключим параметр А из уравнения (8). Для этого достаточно взять

в — 2 а = ат 1 + вт ₂

и соответственно (8) примет вид

и ''

п — 1

+—-—и ' + / (г, и) = 0. г

Параметр преобразования А выберем равным значению положительного решения задачи (1)-(2) в начальной точке отрезка [0,1]

и(0) = А.

В новых координатах это условие запишется так

А ^в и(0) = А.

Взяв теперь в = 1, исключим зависимость этого соотношения от А. В свою очередь, из

1 — m 2

(9) следует, что а = ------.

2 + m 1

Итак, заменой (7) задача Дирихле (1)–(2) сведена к задаче Коши

и '' + ^-—¹ и ' + /(г, и) = 0, г > 0, г

и(0) = 1, и'(0) = 0.

Лемма 1. Можно указать число г * >  0 такое, что задача Коши (10) - (12) имеет единственное решение й(й) Е Цо _+га ) , причем й(й) >  0 при г Е [0,г * ) и й(г * ) = 0 .

Доказательство. Представим уравнение (10) в виде

(г^{п - 1} й'У = — r^n-1f (г, й).

Проинтегрировав это уравнение в границах от 0 до г, имеем

- й^-1

[ s^f (s,^ds <  0. о

Отсюда, с учетом начального условия (11), получим

- /о ^/ ¹ ( S У ^{1 f} №)dsdt.

Ввиду условия (3) существует число L > 0 такое, что min f(s,й) > Ей, й > L, 0 0. Следовательно,

• - /V ' ( ^SY ¹f(*,^dsdt <  1 - e[ 4' (^sY \s)dsdt <

J0 Jo                                 Jo Jo t^'

f* Г _Ss\ⁿ-1                 EL

<1 -ELL Jo ti) dsdt =1 - aE+O йп+1.

Отсюда следует, что всегда найдется точка г * >  0, в которой й(й) обратится в нуль, и поскольку в силу (13) функция й(й) убывает, то точка г * единственная, причем й(й) >  0 при й Е [0, й * ) и й(й) < 0 при й Е (г * , то ).

Из леммы 1 вытекает, что задача Коши для уравнения (4) с начальными условиями

й(0) = А,  й ' (0) = 0

имеет единственное решение й Е С 2 _0г ] , где г * = А ^а й * — единственная точка, в которой это решение обращаетcя в нуль. Очевидно

Аай = 1, *         ■ откуда параметр А определяется однозначно.

Итак, нами доказана следующая теорема.

Теорема 1. Существует единственное положительное радиально-симметричное решение задачи Дирихле (1) – (2) .

Опираясь на метод Ц. На, на котором собственно основывается доказательство теоремы 1, мы можем сформулировать алгоритм численного нахождения положительного радиально-симметричного решения задачи (1)–(2):

• 1)    С помощью какого-либо численного алгоритма, например, методом Рунге-Кутта четвертого порядка решаем задачу Коши (10)-(12) на полуоси [0, то ) до тех пор, пока не будет найдена точка г * , в которой с заданной точностью решение данной задачи не обратится в нуль. Существование единственной такой точки гарантирует лемма 1.

• 2)    Находим А из уравнения (14):

m i+2 А = (Г * ) ^m 2 - i .

• 3)    По формулам (7) восстанавливаем решение задачи (1)–(2).

Приведем пример, иллюстрирующий применение полученных результатов.

Пример 1. Рассмотрим при п = 3 задачу

• △ и + г ² + и² = 0, ж Е S,

^и \ = = ⁰-

Здесь, очевидно, / (г, и) = г² +и ² , т 1 + т ₂ = 2. В соответствии с приведенным выше алгоритмом, численно разрешив задачу Коши (10)–(12) на Python методом Рунге-Кутта четвертого порядка с точностью 10 ^-4 , получим следующую таблицу приближенных значений положительного решения данной задачи.

r	0,0	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9	1,0
u	12,625	12,537	12,322	11,918	11,287	10,428	9,254	7,714	5,719	3,169	0,000