О существовании неподвижной точки у равномерно сжимающего монотонного оператора

М.А. Красносельским был рассмотрен класс монотонных вогнутых операторов [1]. Рамки построенной теории были расширены В.И. Опойцевым [2]. Им был рассмотрен класс гетеротон-ных операторов. Операторы из рассмотренных классов являются сжатиями в метрике Биркгофа. Центральными вопросами построенных теорий являются вопросы существования неподвижной точки и сходимости итераций. При этом существование неподвижной точки устанавливается из каких-либо дополнительных соображений (компактность множества, полная непрерывность оператора), а сходимость итераций обеспечивает условие вогнутости.

Автором рассматривались сжимающие отображения в метрике равномерной сходимости. Сжатия в этой метрике обладают такими же свойствами, что и вогнутые и гетеротонные. В настоящей работе приводится признак существования неподвижной точки у монотонного сжимающего отображения в метрике равномерной сходимости.

Пусть X – банахово пространство, полуупорядоченное конусом K .

Определение компоненты. Пусть x0 е K; и0 е K (и0 ^ 0). Компонентой K(x0;и0) называется. множество элементов у е X, для которых при некотором а > 0 выполняются неравенства x0 <у + аи0; у0

Определение метрики равномерной сходимости. Пусть x,у е K(x0;и₀). Метрика d(x,у) определяется как минимальное а, при котором выполняются неравенства (1).

Определение равномерного и₀-сжатия. Монотонный оператор Т, действующий в X, будем называть оператором равномерного и₀-сжатия, если для любого конусного отрезка {и; v) ((и;v^ с K(x₀;и₀)), для любого положительного t найдётся такое положительное q = q(t;и;v) (q (t; и; v)< 1), что для любого x е Ци; v) выполняется неравенство

Т (x + Ш₀)< Tx + qt.                                    (2)

Будем говорить, что оператор Т оставляет инвариантным конусный отрезок (v, v), если Т^и; v) с Ци; v).

Теорема. Пусть оператор Т является оператором равномерного и₀-сжатия и оставляет инвариантным конусный отрезок Ци₀;vq) с K (x₀; и₀).

Тогда у оператора Т есть неподвижная точка x* е K (x₀; и₀) и для любого начального приближения z₀е K (x₀; и₀) последовательность итераций сходится к x*.

Доказательство. Рассмотрим две последовательности {и_п}; {vn} такие, что

1 Катков Михаил Львович – доцент, кандидат физико-математических наук, кафедра математического и функционального анализа, Южно-Уральский государственный университет.

Вестник ЮУрГУ. Сери^ «Математика. Механика. Физика»

Катков М.^.

О существовании неподви^ной точки у ^авноме^но с^имающего монотонного опе^ато^а пли,.    .       „ .                .

un = Tu 0; vn = Tv 0.

Очевидно, что vn — un + tmnu0 , где tmn = d (un, vm). Последовательность {tmn} не возрастает. Предположим, что t = lim tmn * 0. m ^^

n ^^

Тогда vm+1 < T ( un + tu 0 ) + ( tmn - t ) u 0;

и, следовательно, vm+1 < u n+1 + qtu0 + ( tmn - t ) u0 .

Таким образом, d ( un+1; vn+1 )< qt + ( tmn - t ) , получаем противоречие.

Последовательности {un} и {vn} фундаментальные. Поэтому lim un = lim = x*. n ^^    n ^^

Так как T - сжатие, x* - единственная неподвижная точка.

Теорема доказана.