О выборе начальных условий для дифференциально-алгебраических уравнений

Рассмотрим систему дифференциальных уравнений

A ( t ) y '( t ) + B ( t ) y ( t ) = f ( t), t e [0,1],                         (1)

где A (t) и B(t) - (n x n) -матрицы, причем det A(t) = 0.                                   (2)

Такие задачи принято называть дифференциально-алгебраическими уравнениями. Предполагается, что данная система имеет семейство решений типа Коши [1]

tr

• y ( t , c ) = Ф ( t ) c + J K o ( t ,t ) f (t ) d T ■ V K j ( t ) f ^{( j - 1)} ( t ),           (3)

0                          j = 0

где Ф ( t ), K ₀( t ,t ), K 1 ( t ),..., K r ( t ) - ( n x n ) -матрицы, гапк Ф ( t ) = = r = const V t e [ 0,1 ] , c e Rⁿ , и на любом интервале [ a , р ] с [ 0,1 ] нет решений, отличных от (3). В этом случае r принято называть индексом исходной системы (1). При r = 0 имеем систему с условием det A ( t ) ^ 0,

V t е [ 0,1 ] , т.е. систему, которую можно переписать в виде у '( t ) + A ^{- 1}( t ) B ( t ) у ( t ) = = A ^{- 1}( t ) f ( t ), а формула (3), содержащая только первые два слагаемых, будет известной формулой общего решения таких систем (см., напр., [2]). Для того чтобы выделить единственное решение системы (1) с условием (2) задают начальное условие у (0) = у ₀, которое в отличие от классического случая нельзя выбирать произвольно, и оно должно быть согласовано с правой частью. Однако в ряде случаев для (1) задают начальные условия

Су (0) = d ,                                (4)

где С - ( m х n ) -матрица, и m <  n .

Условие (4) для уравнений Соболевского типа называют условием Шоуолтера-Сидорова [3]. Типичной постановкой задач (1), (4) является задача фильтрации двухфазной несжимаемой жидкости [4]

б u ( x , t )/ б t -б v ( x , t )/ б t = divR₁ gradu ( x , t ) + f 1 ,                (5)

6 u (x, t)/ 61 -6 v (x, t)/ 61 = divR2 gradu (x, t) + f,, x e[0,1], t e[0,1], с условием u (x ,0) - v (x ,0) = g (x).                           (6)

После простейшей дискретизации по пространственной переменной x, xj= jh, j = 0,1,...,N, h = 1/N, divR 1 gradu(x, t)| x=xi” R1(ui+1 - 2ui + ui-1)/ h2, divR 2gradu (x, t)| x=x, ” R2 (ui+1 - 2ui + ui-1У h 2, где ui (t) = u(xi, t), vi (t) = v(xi, t), задача (5),(6) будет иметь вид

Aу '( t ) + B y ( t ) = g ( t ), t e [0,1],

C у (0) = d, где у = (u1(t),u2

К настоящему времени разработаны численные методы решения различных классов ДАУ с заданными начальными условиями у(0) (см., напр.,[5],[6]). Возникает вопрос, как применять данные алгоритмы, если начальные условия заданы в виде (4)? Этой задаче посвящен следующий параграф.

Здесь E - единичная матрица подходящей размерности.

Лемма. Если ker D n ker G = 0, то det(D^T D + G^TG) * 0, где D и G -вещественные матрицы размером l х n и m х n, соответственно.

Доказательство. В силу условия леммы 1

(Dx, Dx) + (Gx, Gx) > 0 Vx * 0.

Из последнего неравенства вытекает, что

(Dx, Dx) + (Gx, Gx) = (D^TDx, x) + (G^TGx, x) = = ((DTD + G^TG)x, x) > 0 Vx * 0, т.е. D^TD + G^TG является невырожденной. Лемма доказана.

Из данной леммы и определения 1 следует алгоритм выбора начальных условий у(0) для задачи (1),(4).

Утверждение. Если для задачи (1),(4) выполнено условие ker С n ker(E - A(0) A- (0))B(0) = 0, то у(0) находится единственным образом из системы линейных алгебраических уравнений

[ C^TC + [(E - A (0) A - (0) B (0)]^T (E - A (0) A - (0) B (0)] у (0) =         (8)

= [(E - A (0) A - (0) B (0)]^T (E - AA -) f (0).

Доказательство. Полагая в (1) t = 0 и умножая обе части на матрицу E - A(0) A - (0). В силу формулы (7) имеем

(E - A (0) A - (0) B (0) у (0) = (E - A (0) A - (0)) f (0).

Данная система и условия (4) дают систему (8), которая вследствие условий утверждения и леммы имеет единственное решение. Утверждение доказано.

В заключение приведем иллюстративный пример.

Пример.

f‘ 'Yy11+f y11

fAO) 1 ( f.(0))

(1 ‘Лу2 J 1У2 )

у 1^{(0) +}c2у2 ⁽⁰⁾= d.

Выясним, при каких значениях с2 данная задача имеет единственное решение?

Умножая данную систему на матрицу

E - AA"

получим

I-¹

- 1Y У1(0)) 1Л у 2(0) J

: о )

Здесь в качестве полуобратной матрицы выступает псевдообратная матрица [2], [7].

Ядро этой матрицы будет (c,c)T, c ^ 0. Ядром матрицы (1 c2), будет вектор (c2 -1 ). Таким образом, при c2 = -1 пересечением ядер матриц

C и E - A(0) A (0)B(0) будет непустым и, как нетрудно заметить, при - f (t) = 0 данная задача имеет множество решений вида у1 (t) = ce '2, - y2 (t) = ce /2 (d = 0), где c - произвольное число, и не имеет решений при d ^ 0. При с2 ^-1 решение однородной задачи будет единственным и равно

d y1( t)=T+C7 e

t

⁷² , У 2⁽t ) = ^-У 2⁽t ).

Заключение

Предложенный алгоритм можно применять только для задач (1),(4), у которых rankA (t) = deg det( XA (t) + B (t)) = m (условие «ранг-степень» [1]) и rankC = m . Для задач, которые не удовлетворяют этому условию, вычисление корректных начальных условий планируется провести в дальнейшем.