Об одной краевой задаче для некоторых уравнений смешанно-составного типа 4-го порядка

В линейной постановке задачи для уравнения 4-го порядка используются два разных оператора 2-го порядка, аналогичные смешанному оператору теплопроводности, обобщающему чисто гиперболический случай и применяемого при математическом моделировании процесса отключения электрической дуги. Доказана также разрешимость поставленной задачи и в квазилинейном случае.

About the boundary value problem for some fourth-order partial equations of a mixed-composite type

Two different second-order partial operators are used in linear statement of the boundary value problem for fourth-order partial equation and are similar to the heat-transfer operator of a mixed type which is generalize strongly hyperbolic case and is used in mathematical modeling of the electric arc interrupted process. Also it proved solvability of the posed boundary value problem in the quasilinear case.

В работах [1-2] рассматривались математические модели разного уровня сложности для электрической дуги, остывающей в потоке газа. Было показано, что если процессы в области амплитуды тока обычно представляют как установившиеся, хорошо описываемые классическим уравнением теплопроводности параболического типа, то интенсивное дуге гашение в области нуля тока необходимо рассматривать как существенно нестационарный процесс. Для изучения таких процессов на основе обобщения гипотезы Фурье вводилось гиперболическое уравнение теплопроводности, различные краевые задачи для которого решались как численно, так и аналитически. К этой проблеме примыкает также моделирование волнового механизма тепло-переноса, обусловленного конечной скоростью распространения тепла.

Связывая теперь эти две фазы горения электрической дуги, необходимо рассмотреть уравнение теплопроводности смешанного типа, где коэффициент при второй производной по времени может менять свой знак или вообще вырождаться, а также приводить постановки и исследовать корректность прямых и обратных задач для таких математических моделей.

Наряду с многочисленными методами решения краевых задач для различных уравнений 2-го порядка KjU-h можно использовать и предложенный Ю.А. Дубинским подход, когда с уравнением Ki u=h, которое в общем случае неразрешимо для произвольной правой части И, связывается некоторое уравнение 4-го порядка КгК^КзК которое уже разрешимо всегда. Тогда исходное уравнение разрешимо с точностью до ядра оператора К} . Эта конструкция может использоваться и как прием описания области значений оператора Kj и, соответствующего некорректной задаче.

В этой работе будут рассмотрены корректно-поставленные краевые задачи в ограниченной области для таких некоэрцитивных уравнений четвертого порядка смешанно-составного типа, для которых удалось доказать разрешимость в некоторых весовых пространствах, несмотря на суперпозицию разных операторов.

• 1 , Линейная постановка

Рассмотрим в области

D - {(х, у): 0 < х < 1, 0< у< 1> дифференциальное уравнение в частных производных 4-го порядка

Lu = К_ЛК_ги = f <х,у\    (1)

где дифференциальные операторы К_} и и К₂ и имеют вид:

■H^x.^uyCt.X), (2)

K.u=kJx,y\u +u + щ(х,у)м +

• ²        'XX уу       ' X

^^y^u^f^yY (3) с достаточно гладкими коэффициентами, удовлетворяющими условиям;

^^х,1)>0, Л^хД^йО, хе^0,1 J; (⁴) (^ -k_Xy )(х,у)> 0, (2^ -|^ |)(х,у) > О,

(xj)gD;                (5)

^(^h0, ^(^J-0, Уе[°л]; (б) фу),^^),^,^

(x,y)eD.                       (7)

Так как на знаки функций k_t и к₂ внутри области D не сделано никаких предположений, то в классы уравнений вида (2) и (3) входит часть параболических, эллиптико-параболических и эллиптико-гиперболических уравнений с произвольными линиями и областями параболического вырождения, а также описанный во введении оператор теплопроводности смешанного типа, аналог которого приводится в работе [3].

Рассматривая теперь уравнение (1), мы видим, что оно охватывает широкий класс уравнений смешанно-составного типа. Так, например, сюда входят уравнения с линиями вырождения, делящими область D на несколько частей, в которых уравнение (1) является либо эллиптическим, либо составным, то есть имеющим две мнимые и две действительные характеристики, и либо чисто гиперболическим.

В связи с известной симметрией между Ki и К₂, а также с произвольностью линий вырождения естественно исследование уравнения (1) в квадрате D. Пусть v = (v_x, v_y) - вектор внутренней нормали в D. а Г}, Гг, Гз > Г₄ - стороны D, соответственно, (х-0), (у=1), (х=1), (у-0).

Краевая задача А. Найти решение уравнения (1) в области D такое, что

Краевая задача В(С). Найти решение уравнения (2),(3) в области D такое, что

^ди/шд^О’ (м|г.и/,и/4 = °)-     (9)

Заметим, что краевая задача С является частным случаем задачи В после соответствующей замены переменных, и значит в следующей лемме индексы при коэффициентах в (2),(3) можно опустить, имея в виду краевую задачу В (для задачи С достаточно поменять переменные и соответствующие индексы).

Лемма 1. Для любой функции »(х,у) еС²(О\ удовлетворяющей (9), имеет место априорная оценка

HIo^^IMIp (Ю) где |-|₀- норма в £₂(D), Ц'Ц, - норма в W₂ (£)); здесь и далее через а будем обозначать некоторые положительные постоянные, не зависящие от функций, входящих в соответствующие неравенства.

Доказательство. Интегрированием по частям получаем:

• 2 £ e^Xyu_yKudD = l^ku^ + и_м + аи_у + си, е^Луи_у ) = ЦД2ю-кД-Щи²₊Аи²-Дс_у + Лс)и²}е^лДП +

• ⁺ J_rt"ku_yv_v -2u_xu_vv_x + и²у_у -си^З e^^ydr.

В силу (4),(6),(7),(9) интеграл по границе неотрицателен, а из (5) при достаточно малых 2>0 и 8 следует, что ((2a~k_vV Ак)(х,у) > 5 > 0, (x,y)eD.

Применяя теперь неравенства Коши и Фридрихса, получаем искомую оценку (10). Из леммы 1, в частности, следует, что регулярные решения краевых задач В и С единственны.

Определение 1.

Функцию u(x,y')eW^r2(D') будем называть слабым обобщенным решением краевой задачи А, если для любых Дх, у) е Су (D) имеет место тождество:

(u,L*v)0-(/,v)0 .        <н)

Определение 2. Функцию и(х,у)ЕЖ22(О) будем называть полусиль- ным решением краевой задачи А, если существует последовательность функций (u^gW^D^, удовлетворяющих (8), такая, что (Lun)eL2(D) и

Пт ||и„ - н||2 = Нт ||£м„ - /||о = 0. (12)

Теорема 1. Для любой функции Дх^е 1ДР") существует слабое обобщенное решение и(х,у) краевой задачи А, причем в случаях к, | _Г; > 0 или к, ] _Г) = 0, при дополнительном условии, что (2а, + к,_уХх,у)>0 в D, существует и единственное полусильное решение.

Доказательство. Применяя к уравнению (2) метод «е - регуляризации» уравнением составного типа 3-го порядка и метод вспомогательного оператора по схеме, изложенной в работе [4], получаем, что существует слабое обобщенное решение v(x_sy')^W₂(D) краевой задачи В, то есть для любых u^x^JeC^D) выполнено тождество:

(тЛ>)й=О>)0. . (13)

Не трудно видеть, что так как в класс уравнений вида (2) входят эллиптико-параболические уравнения, то как и в работе [5] можно построить пример, что без дополнительных ограничений решение задачи В, вообще говоря, большей гладкости, чем из пространства И^¹ (/)) иметь не будет. Поэтому в выделенных случаях, указанных в условии теоремы I при дополнительном предположении, что (2а, + к,Д(х,у)>0 в D, удается показать при помощи метода конечных разностей и продолжения уравнения (2) в область D [4], что существует регулярное решение u(x,y)eFK₂^:(P) краевой задачи В с правой частью f(x,y^W₂(D\ /|_Г: =0, причем выполнена следующая апостериорная оценка

И|^=Н2'4.=0’ ^>о- 04)

Вследствие этого, краевая задача С с правой частью v(x,y)eIK₂'(D) имеет регулярное решение u(x.y)eJT₂²(D), удовлетворяющее краевым условиям (9). Отсюда, интегрируя по частям и используя (13), мы получим (11), то есть и(х,у) - слабое обобщенное решение задачи А.

В выделенных же случаях из существования регулярных решений и леммы 1 следуют [3] существование и единственность сильного решения v(x,y)e W2(D) краевой задачи В для любой функции f(x,y)eL2(D), то есть существует последовательность функций vJ^eC^D), удовлетворяющих (9), таких что lim||v„-v|| - НтЦ^Уд-/|] =0.

Отсюда, имея последовательность функций (и„(х,у)) и функцию и(х,у), регулярные решения краевой задачи С с правыми частями (v„(x,y)) и v(x,y) соответственно, мы получаем при помощи оценки (14) соотношение (12), означающее, что и(х,у)- полусильное решение задачи А, единственность которого следует по построению, что заканчивает доказательство теоремы 1. По схеме работы [6] можно доказать следующую лемму.

Лемма 2.

Пусть f₂(x,y) е W₂(D\ /₂1 г, ~ 0. К условию (5) добавим условия:

• а)    (2а₂ + 3k_2i^x,y^ > 0, (x,y)eD;

• б)    (2<з₂ -3i_2j)(l,y)>0 для уеМ, где M = {y_e[0,l]:MU^J)>0}.

• 2. Нелинейная постановка

Тогда регулярное решение и(х,у) краевой задачи С принадлежит весовому пространству W₂ (D), то есть xpueW^D), где функция

ф(х) = 1 вне ее .

Теорема 2.

Пустъ/(х,у')еЖ₂(П'),/^_Г1-0 и выполнены условия: а), б) и (2а,+к,Дх,у)>0 в D. Тогда при £J_r>0 или £Д._; = 0, полу-сильное решение и(х,у) краевой задачи А будет принадлежать пространству ^рС^П^С-О) и удовлетворять краевым условиям (8) в среднем.

Доказательство. Требуемая гладкость полусильного решения прямо следует из доказательства теоремы 1 и утверждения леммы 2, а из теорем вложения Соболева вытекает, что и(х,у) непрерывна в D и, так как н^-г иГя = 0, то и — 0, и = 0, и г = О в среднем. Отсюда, из вида уравнения (3) и краевого условия для его правой час-ти/^];.^,.^ =0, достигаемого из теорем вложения, так как K^ueW^D), следует, что i^^O, hJ^ =0, К2и|/( =0 в среднем. Теорема 2 доказана.

Замечание 1. Аналогичным методом можно показать, что полусильное решение краевой задачи А при соответствующих ограничениях на правую часть и коэффициенты уравнения (1) принадлежит весовому пространству более высокой гладкости.

Рассмотрим в области D = |(х,у) .0 < х < 1,0 < у< 1} нелинейное дифференциальное уравнение в частных производных 4-го порядка

Lu = К_хК₂и + сК₃и- f(x,y), (15) где дифференциальные операторы К, и К₂ имеют вид (2), (3) с достаточно гладкими коэффициентами, удовлетворяющими условиям (4) - (7), а оператор К₃ - произвольный нелинейный дифференциальный оператор в частных производных 1-го порядка с произвольной степенной нелинейностью по функции и её производным; в -достаточно малое число, зависящее от коэффициентов операторов К_Х,К₂,К₃. Такого вида уравнения рассматривались, в частности, в работе [7], но условия разрешимости для них сформулированы в терминах компактности участвующих в них операторов, что трудно проверяемо, в отличие от указанных в данной работе.

Краевая задача D. Найти решение уравнения (15) в области D, удовлетворяющее краевым условиям (8).

Введем пространство Н. как замыкание класса функций из С⁴(5), удовлетворяющих краевым условиям (8), по норме [|м|^ ^A^wll^^. Из априорной оценки (10) леммы 1, неравенства Фридрихса и краевых условий (8) следует, что |и||₊ - действительно норма. С помощью же леммы 2, теоремы 2 и теорем вложения легко доказать следующую лемму.

Лемма 3. Для любой функции и(х,у) е Н+ выполнены краевые условия (8).

Определение 3. Функцию и(х,у) е Н, будем называть полусильным обобщенным решением краевой задачи D, если существует последовательность    функций

(Щ (х,у)) с Н.,         такая,         что

№«»(^,У» е С(В/ (L и„(х,у)) еЦф) и 11т||«_я-к||₂=Пт|| £м„-/||_о=0 . Л-*йО                 Я-МО

Лемма 4* Для любой функции и(х,у) £ C⁴(D), удовлетворяющей (8), имеет место априорная оценка

||£«||0>а3||»||+.         (16)

Доказательство. Интегрированием по частям, используя схему доказательства леммы 1, неравенство Юнга и краевые условия (8), при достаточно малых ^>0 и Л>0 получаем:

(Lu,(K2u)yeXy)>a4 ЦЗД;- где Р(е) <(а4аД;2 и значение а2 определяется из серии неравенств

|| ^2«||?>а6||«^>а5||н||',(О), справедливых в силу теорем вложения и работы [4]. Отсюда по неравенству Гельде-ра следует утверждение (16) леммы 4.

Замечание 2..Аналогичный лемме 4 результат можно получить не только предположением достаточной малости s , но и предположением, например, достаточно большого отрицательного с₂(х).

Рассмотрим далее семейство уравнений Ди = Lu , (0 < г < 1), где вместо s взято ст . Очевидно, что равномерно относительно т имеет место для всего семейства L_Tu априорная оценка леммы 4. С другой стороны, при г - 0, то есть в линейном случае, разрешимость нашей краевой задачи А доказана в теореме 1. Тогда на основании хорошо известного метода продолжения по параметру легко доказывается и разрешимость краевой задачи D в пространстве НДР), то есть справедлива следующая теорема.

Теорема 3* При выполнении условий (4)-(7) в случаях к_х |_Г1 > 0 или к_х Ц = 0, при дополнительном условии, что (2а, + £,_лХх,у)>0 в D для любой функции

/(х.у) е L₂(D) существует полувальное 52 решение краевой задачи D из пространства H^D) [8].