Об одной краевой задаче интегродифференциальных уравнений Вольтерра с функциональным запаздыванием

В работе [2] рассматривались начальные задачи для линейных интег-родифференциальных уравнений Вольтерра с запаздывающим аргументом запаздывающего, нейтрального и опережающего типов. Определение типов осуществлялось в соответствии с общепринятой классификацией. Проведено исследование возможностей преобразования начальных задач для этих уравнений с помощью функции гибкой структуры к интегральным уравнениям с обыкновенным аргументом. Доказано, что задача Коши для всех интегродифференциальных уравнений запаздывающего типа с помощью функции гибкой структуры преобразуется к разрешающему интегральному уравнению типа Вольтерра с обыкновенным аргументом, решение которого существует и притом единственное при выполнении условий ограниченности функций, входящих в уравнение. Рассмотрены возможности решения в замкнутом виде и вариант приближенного решения, если точное решение найти затруднительно.

Постановка начальной задачи

Выпишем общий вид линейных интегродифференциальных уравнений Вольтерра с запаздывающим аргументом:

l n г                                 x

ЁЁ [ f j ( x ) y ⁽¹) ( u j ( x )) + ^ j K j ^{( x}, n ) y ^{( 1 ) ( u} j⁽ n )) d n = f ^{( x} ), ⁽¹⁾

j = 0 i = 0

a

где u0(x) = x, uj (x) < x, uj (x) / x Vj = 1, l, fj (x),  f (x) и uj (x)- непрерывны на отрезке a < x < b с начальными условиями

y ^{( 1} ) ( u j ( x )) = Ф 1 ( u j ( x )), i = 0, n - 1, x e E x ₀ ,      (2)

l где Ex = U Ex , Ex - множество точек, для которых соответствую-0 j=0 0          0

щие uj (x) < x при x > x0 Vj = 1, l, а Ex =[a, x0 ], функции ф^x) - за даны.

Постановка краевой задачи и ее решение

Рассмотрим уравнение (1) с начальными функциями в стандартной форме для краевых задач уравнений такого типа

У ^{( 1 )( u}j ^{( x} )) = У ^{( 1 )( x} o N^{( 1 )( u}j ^{( x} )Х ¹ = ⁰ , ^{n -} 1, ^{x e E}x ₀ ⁽³⁾ и с линейными билокальными краевыми условиями

^ [« т У ^{( 1} ) ( x 0 ) + в 1 т У ^{( 1} ) ( x 1 )] = Y t , Т = 0, n - 1 , а <  x 0 <  x 1 <  b ,     (4)

i = 0

где а_т , в _{1 т} и у_т - постоянные числа.

Предполагая, что решение задачи (1), (3), (4) существует и единственно, будем искать его на отрезке [x0,b], используя начальные функции (3), краевые условия (4), функцию гибкой структуры и ее производные

n

y ^{( 1 )} ( H j ( x )) = D ^{- 1} ^ y ⁽ s ^{- 1)} ( x 0 )

d ^ s s ⁽ u j ^{( x} ) ^{- x} 0 )

_ s=1 uj(x) + f- x 0

dx

a ¹ a n ⁽ u j ⁽ x ) - 1 )

' n

d x ¹

' n

^ (t ) dt + v ₁u_j ( x ) д ( u_j ( x )),

где D=D ( r, Г 2 , , r n ) определитель Вандермонда, составленный из неопределенных параметров г ^ , Г 2 , , r_n . Параметры определяются в ходе решения задачи, исходя из оптимальности ее решения, определитель A s ( x - 1 ), s = 1, n получается из определителя D заменой s-ой строки строкой exp г 1 ( x -1 ),exp r ₂( x - 1) ^, exp r_n ( x -1 ) , ^ ( x ) -новая неизвестная функция и i = 0, n , v = 0 V i = 0, n - 1, v_n = 1.

Для решения краевой задачи (1), (3), (4) определим y ⁽ i ) ( x ₀) через новую неизвестную функцию ^ ( x ) . При этом при определении корней C j уравнений u j (x) = x₀ на отрезке x е [ x ₀, b ] могут возникнуть три возможных ситуации: 1. x ₀ <  x 1 <  C j ; V j = 0, l ; 2. x ₀ <  C j <  x V j = 0, l ; 3.

xi таково, что 3j = 0, l для которых x0 < x1 < Cj, а для некоторых x 0 < Cj < x1.

Рассмотрим первый наиболее простой случай. Подставив x = x1 в начальные функции (3) при j=0 и затем значения y(1)(x1) = y(1)(x0)ф-(x1)

в краевые условия (4), получим алгебраическую систему

Г n - 1

. Е У ^{(i) (}x * К ⁺ Р и Ф^ ^x 1^)] = Y t , | *=⁰                        ------------

^           t = 0, n-1

для определения значений y ^{( 1} ) ( x ₀) .

Обозначив через ы главный определитель этой системы

/ = det [ « t + Аф (x^ ] , i , t = 0, n - 1

и через /_т - алгебраические дополнения к элементам главного определителя, по формулам Крамера найдем

y ^{( 1} ) ( x ₀) = ы "¹ Е Y^Tm i ^T , i = 0, n - 1 .                (7)

t = 0

Заменив значения y(1)(x0) в соответствии с формулой (7) для начальных функций краевой задачи получим формулы n -1

ф* ^(u j ^(x)) = Ф 1 ^(u j (XD^¹ Е yat              ⁽³ *)

t = 0

Также получим новые формулы и для функции гибкой структуры, пронумеровав их как первоначально выписанные формулы, пометив эти номера звездочкой:

nn

y(1)(x) = D ^Е/^ EYr®(s-1)tA( l(x -x0) + s =1

x

+J x 0

5 i A (x -1)  _ ., n—

(5*)

----ⁿ—:---- Д ( t ) dt ] + V i U j ( x ) Д ( U j ( x )), . 1 = 1, n ,

5 x i                        j j

И краевая задача в этом случае свелась к решению начальной, рассмотренной в монографии [2].

Заключение

В последующих работах предполагается исследовать возможности построения для краевых задач интегродифференциальных уравнений с функциональным запаздыванием разрешающих уравнений с обыкновенным аргументом, как это было сделано для начальных задач. В дальнейшем планируется рассмотреть возможности оптимизации нахождения точных или приближенных решений за счет оптимального выбора параметров функции гибкой структуры.