Об одной сингулярно возмущенной системе трех уравнений в частных производных первого порядка

• I.    Постановка задачи. Рассмотрим систему вида ( £ >  0 - малый параметр)

| ^d u         £ u u I

£ --+ £ b_x ( x )— = a_x Д x , t ) u + a_{x 2}( x , t ) v + a_{x 3}( x , t ) w + j_x ( x , t , £ ),

t      ^1X 'xx ) ^{11X 12X                         ..}

( dv         , . dv I,

£--+ £b2 (x)— = a2 Дx, t) u + a22( x, t) v + a23( x, t) w + f (x, t ,£),(1)

• t       ^{2X z}d x )     ^{21X z z 23X z}

dw , . dw ,              ,,

--+ £ b ( x ) — = a ₃ ] ( x , t ) u + a ₃₂ ( x , t ) v + a ₃₃ ( x , t ) w + f ( x , t , £ )

dt 3X dx     31            3233

в области G = (0 < x < X) x (0 < t < T) с граничными условиями u 11=0 = u | x=0 = v11=0 = v| x=0 = w| t=0 = w| x=0 = 0 •

Потребуем выполнения следующих условий (см. статью [1]).

Условие 1. Пусть f (0,0, £ ) = 0, f (0,0, £ ) = 0 , f (0,0, £ ) = 0, i = 1,2,3.

• ³ ‘ d x d t

В [1] требовались лишь условия согласования нулевого порядка. Здесь же для построения непрерывной асимптотики погранслойного типа достаточно потребовать также условий на первые производные в угловой точке.

Условие 2. Пусть функции b i ( x ), a ij ( x , t ), f i ( x , t, £ ) дважды непрерывно дифференцируемы в области G x [0, £ ₀].

Условие 3. Пусть b i ( x ) >  0, 0 <  x <  X , i = 1,2,3.

Условие 4 . a ₁₁ + | a ₁₂| + | a ₁₃| <-a , | a ₂₁| + a ₂₂ + | a ₂₃| <-a , | a ₃₁| + | a ₃₂| + a ₃₃ <-а , где а > 0 - некоторое число.

Отметим, что из условия 4 следует, что a ₁₁( x , t ) <  0, a ₂₂ ( x , t ) <  0, a ₃₃ ( x , t ) <  0, A ( x , t ) <  0.

Асимптотическое разложение строим в виде ряда по степеням £ , состоящего из регулярной части, пяти обычных и шести угловых пограничных функций [2]:

^

u (x, t,£) = ^ £ (йх (x, t) + Пiu (x, т) + Qiu (x, 0) + Qiu (^, t) + Riu (^, t) + Kiu (n, t) + i=0

+ P_tu ( ^ , т ) + S_tu ( ^ , 0 ) + T-u ( ^ , т ) + H_tu ( ^ , 0 ) + M_tu ( n , т ) + N_tu ( n , 0 ) ) ,

v(x,t,£) = ^£ (v(x,t) + Пv(x,т) + Qv(x,0) + Qiv(f,t) + Rv(5,t) + Kv(n,t) + i=0

+ P i v( f , т ) + S i V ( f , 0) + Tv( 5 , т ) + Hv( 5 , 0 ) + M i V ( n , т ) + Nv( n , 0 ) ) ,

^

w ( x , t, £ ) = ^ £ ( w i ( x , t ) + П i w ( x , т ) + Q i w ( x , 0 ) + Q i w ( f , t ) + R i w ( 5 , t ) + K i w ( n , t ) + i = 0

+ Pw( f , т ) + Sw ( f , 0) + Tw ( 5 , т ) + H i w ( 5 , 0) + Mw ( n , т ) + Nw ( n , 0 ) ) .

Здесь т = t/£, 0 = t/£2 f = x/£, 5 = x/£2 , n = x/£3 — погранслойные переменные.

• II.    Построение асимптотики первого порядка

  • 2.1.    Регулярная часть . Функции нулевого и первого порядка ( i = 0,1) регулярной части асимптотики получаются из уравнений (здесь и ниже функции с отрицательными индексами считаем равными нулю):

ai i (x, t) u + ai2( x, t) vi + an (x, t) w4 + f{i (x, t) = 0, a 21 (x, t) Ui + a 22 (x, t) v + a 23 (x, t) w + f, t (x, t) = ^ J, о t dw                                                    xd w,-1

—L = a 31( x, t) ui + a 32( x, t) vi + a 33( x, t) wi + f3 i (x, t) - b3( x) —-i-1 о tо с начальным условием wi (x, 0) = 0 .

Решение задачи для wi имеет вид t Д(x,t') dt,

_ с Др (x, t) J, m33(x, t‘).

wi(x, t) = J TTT^et

0 ^M 33 ^{( x} , t )

( ^M 32^{( x} , t ) ^wi ⁺ M F 32^{( x} , t ) ) , M 33 ( x , t )

тогда получим u- =---- -----( M ₃]( x , t ) w - + M_{F 31}( x , t )), v- =

i M33(x,tГ 31 i F31' i где Mpi - миноры определителя Д(x, t), составленного из коэффициентов api (p, l = 1,2,3) правых частей уравнений исходной системы, а MFpi - миноры определителя a11 a12 F11                                             d _d a 21  a 22  F21 =Д F (x, t),  причем  F1i = fi ,  F2 i = f2 i--^-L ,  F3 i = f3 i - b3(x)  ./i 1 .  ФУнкЦии o to a 31 a 32 F31

u i ( x , t ), v i - ( x , t ) вносят невязку на стороны x = 0 и t = 0, а функции w i ( x , t ) - на сторону x = 0 .

• 2.2.    Погранслой вблизи x = 0 . Функции Q i u ( ^ , t ), Q i v ( ^ , t ) выражаются через Q i w ( ^ , t ) следующим образом:

Q i u ⁽ ^ , t ) = м m ( ^M 31^(0, t ) Q i w ⁽ ^ , t ) ^{- M}q 31⁽ ^ , t ) ) ,

M ₃₃ (0, t )

^Qi^{v (} ^ , t ) = ^- . , L. . ( ^M 32^(0, t ) Q i w ⁽ ^ , t ) ^{- M}q 32⁽ £ t ) ) ,

M ₃₃ (0, t )

где Mpi - миноры определителя Д(0, t), Mqpi - миноры определителя an(0, t) a21(0, t) a 31(0, t)

^a 12^(0, t ) ^a 22⁽⁰ , t ) ^a 32⁽⁰ , t )

q f i ⁾ « ,t )

q 2 i ⁾ « ,t ) q 3 i )«,t )

= Д q ( f , t ),

где функции q pi ⁾ ( f , t ), ( p = 1,2,3) рекуррентно выражаются через Q i _{- 1}u ( f , t ), Q i _{- 1} v ( f , t ), й - i w ^{( f} , t ).

Решая уравнение для Q i w ( f , t ) с известными краевыми условиями, получаем:

Деркунова Е.А.

Об одной сингулярно возмущенной системе трех уравнений в частных производных первого порядка

Q i w ? ^,t ) = <

£   A(0, t - ?? )

J----------b3(0)

£    0 b3(0) M 33(0, t-^-)|

- w (0, t--?-) e           и3(0)    +----- b3(0)

? A q ( ? , t

-

∫

⁰ M 33 ? , t -

ξ - ξ ^ξ ∫ b 3 (0)) ? ? - ? ) e и 3 (0)'

A (0, t - ?? ) ^, b 3 (0)

? b 3 (0) M 33 (0, t - ?? ) ,                     и 3 ⁽⁰⁾

d ξ

d ? ,

0 <  ? <  Ь з (0) t ,

A (0, t" ) f ^A q ⁽ ? - ^b 3^{(0)( t} - ^t ), ^t ) e 0 M 33 (0, t ’ ) ^dt 0 <  _t <  ? ^J M 33 ? - b 3 (0)( t - 1' ), t'/            ^,      "b ₃(0>

•

Заметим, что решение Q i v , а значит и Q i u , не являются, вообще говоря, гладкими на характеристике ? = b ₃(0) t • Функции Q i u ( ? , t ), Q i v ( ? , t ) имеют экспоненциальную оценку по переменной ? .

Решением задач для R i w ( f , t ), R i v ( f , t ) ( i = 0,1) будут функции:

i f

Riw(f,t) = a     J r3(i)(f,t)df, b3(0) i

^M 33 ⁽⁰ , ^t ) f            f                 ^M 33 ⁽⁰ , ^t ) ( f _f )

Rv(f,t) = (-v(0,t)- Qv(0,t))eb2(0)a11(0,t) + —- fr2( 1 )(f',t)eb2(0)a11(0,t)     df, b 2(0)0

а R i u ( f , t ) выражается через R i v ( f , t ) следующим образом:

R i u = — ( ^{- a} i2^{(0, t} ) R i v ^{+ r} i ⁽ i ^{) (} f ^{, t} a _n(0, t )^v

Без труда строятся функции K i u ( n , t ), K i v ( n , t ), K i w ( n , t )•

• 2.3.    Погранслой вблизи t = 0 . Функции П i u ( x , т ), П i v ( x, т ), П i w ( x, т ), 1 = 0,1 имеют вид:

Т                                                ^M 33 ⁽ x , ⁰⁾ _т т               Mj ^ ix, ⁰ ) ( _Т-т /)

П iw (x ,т) = i П)(x ,Т’) dT', П iv (x ,т) = - v, (x ,0) ea11( x,0) + J >t2 i)(x ,т') e a11( x,0)      dT', i                                                0

а функция П i u ( x , т ) определяется из соотношения

Π _iu =

a ₁₁( x ,0)

( - a₁₂ ( x , 0) П i v + п 1 ^{( 1} ) ( x , т )) •

Решение системы для функций Q i u ( x,0), Q i v ( x,0) , Q i w ( x,0) ( i = 0,1) имеет вид: θ

Q 1 u ( x , 0 ) = ( - w 1 ( x ,0) -n 1 u ( x ,0) ) e a ^{11 ( x ,0) 0} + J « ( ¹⁾ ( x, 0) e a ^{11 ( x ,0)( 0-0 )} d 0 •

θθ

Q i v ( x , 0 ) = J ^ 2¹ ) ( x , 0 ') d 0 , Q i w ( x , 0 ) = J Й 3 ¹ ) ( x , 0 ') d 0 •

∞∞

Все пограничные функции обладают экспоненциальной оценкой.

• 2.4.    Угловой погранслой . Приведем решения системы уравнений для функций T i u( f , T ),

T , v( f , T ), i = 0,1, Tw ( f , T ), i = 0,1:

T i w ⁽ f ^{, T )} = <

-П,■ w (0, т ) + — f t ( i ) ( fT т - ^-^- ) d f ' , f <  b₃ (0) t , i ^V       b 3 (0)' b 3 (0) J ³            b 3 (0)'            ^3V ’

τ

- R i w ( f - b 3 (0) т , 0) + f 1 3 i ) ( f - b 3 (0)( т - т '), т ') d T , т < - ^- . 0                                  ^b 3⁽⁰⁾

Получаем, что Tiu(f,т) = (-a12(0,0)Tv(f,т) +1}i)(^,т))^11(0,0), а функция T1 v(f,т) выража- ется следующим образом:

T i v ( ; ^{, т} ) = ‘

M 33 (0,0) _ς

-Π v (0, τ - ^ς ) e ^{b 2 (0) a 11 (0,0)} + ⁱ          b 2 (0)

ς

1     tɶ(i) (ς′,τ- b2(0)∫02

ς-ς′

b 2 (0)

M 33 (0,0) _{( ς - ς ′ )} ) e ^{b 2 (0) a 11 (0,0)}       d ς ′ , ς ≤ b 2 (0) τ ,

M 33 (0,0) _τ

- R_iv ( ς - b ₂(0) τ ,0) e ^{a 11 (0,0)}

τ

M 33 (0,0)

+ j t (¹ )( £ - b₂ (0)( т - т‘ ), т‘ )e ^a 1 ^{1 (0,0)} 0

(τ-τ′)           ς dτ′,τ≤ b2(0)

.

Заметим, что функция T1u , T1v являются, вообще говоря, негладкими на характеристике x = εb2 (0)t , что препятствует дальнейшему процессу построения стандартных членов асимпто- тики.

• III.    Оценка остаточных членов

Обозначим частичные суммы асимптотических рядов первого порядка через U ₁ , V ₁ , W ₁ соответственно. Имеет место следующее утверждение.

Теорема. Для решения задачи (1)–(2) u ( x , t , ε ) , v ( x , t , ε ) , w ( x , t , ε ) справедливо равномерное в области G = (0 ≤ x ≤ X ) × (0 ≤ t ≤ T ) асимптотическое представление

u ( x , t , ε ) = U ₁ + O ( ε ² ) , v ( x , t , ε ) = V ₁ + O ( ε ² ) , w ( x , t , ε ) = W ₁ + O ( ε ² ) .