Об одном методе поиска экстремальных управлений в системах с фазовыми ограничениями

Класс задач оптимального управления с фазовыми ограничениями относится к типу сложнейших задач. Такие задачи исследовались, в частности, в работах [1–3], где для учета фазовых ограничений применялся метод штрафов, с помощью которого задачи сводились к вспомогательным задачам без ограничений. Распространенным подходом для решения задач без ограничений является построение релаксационной последовательности управлений с помощью локальных методов улучшения управления типа градиентных [4–6]. При этом на каждой итерации улучшения управления точное выполнение фазовых ограничений исходной задачи не гарантируется.

В работе [7] в классе задач оптимального управления без ограничений pазработаны методы поиска экстремальных управлений на основе поиска неподвижных точек конструируемых операторов в пространстве управлений. В настоящей работе рассматривается метод поиска экстремальных управлений в задачах оптимального управления с фазовыми ограничениями на основе поиска неподвижных точек, который характеризуется условием точного выполнения фазовых ограничений на каждой итерации.

1 Задача и метод

Рассматривается задача оптимального управления с фазовыми ограничениями:

z ( t ) = p ( z ( t ), и ( t ), t ), z ( 1 0 ) = z °, и ( t ) ^e U , t e T = [ 1 0 , t i ],

I(и) = Y(z(ti)) + f(z(t)>и(t)>t)dt ^ inf , J T                              и eV hi(z(t), t) < 0, 1 < i < n2,

z ( t ) = ( z _i( t ),..., z n, ( t )) — вектор состояния, и ( t ) = ( u _i (t ),..., u m ( t )) — вектор управляющих функций, U c R m — компактное выпуклое множество. Интервал T фиксирован. В качестве доступных управляющих функций рассматривается множество V кусочно-непрерывных на T функций со значениями в множестве U :

V = { v e PC(T ): v ( t ) e U , t e T }.

Рассматриваемая задача известными способами штрафования за нарушение ограничений может быть приведена к эквивалентной задаче следующего вида:

x(t) = f (x(t),и(t),t), x(10) = x°, и(t) e U, t e T = [10,ti],(1)

ф0(и) = %(x(ti)) + IX(x(t),и(t), t)dt ^ inf,(2)

и e V

Ф1( и) = ^i( x (ti)) = 0,(3)

в которой x ( t ) = ( x _i( t ),..., x_n ( t )) — вектор состояния, n = n_i + n ₂. Предполагается, что функции p ₀(x ), ^( x ) непрерывно-дифференцируемы на Rⁿ , функция F₀(x , и , t ) и ее частные производные по x , и непрерывны по совокупности аргументов на множестве Rⁿ х U х T . Функция f ( x , и , t ) кусочно-дифференцируема по x , и и удовлетворяет условию Липшица по x в Rⁿ х U х T с константой L > 0:

II f ^{( x} , ^и , t ) ^- f ⁽ у , ^и , t )|| <  L ||^{x -} у 11.

Доступное управление и e V называется допустимым, если выполняется ограничение (3). Множество допустимых управлений обозначим:

D = { v e V : O i ( v ) = ^( x ( t i )) = 0}.

Рассмотрим функционал и задачу Лагранжа:

L( Л ,и ) = £ Л _i Ф i ( u ) ^ inf, Л = ( Л 0 , Д ) е R ² .          (4)

i = 0                   ^{и е V}

Введем функцию Понтрягина с сопряженной переменной у е R n :

HЛ (у,x,и,t) = (у, f (x,и, t)} - Fo(x,и,t), с помощью которой стандартная сопряженная система в задаче Лагранжа (4) принимает вид:

у ( t ) = - Н ( у ( t ), x ( t ), и ( t ), t ), у (t i ) = - ^ 4у ( x ( t i )).       (5)

i = 0

Для управления v е V обозначим через x ( t , v ), t е T — решение системы (4) при и ( t ) = v ( t ). Обозначим через у ^Л ( t , v ) t е T — решение стандартной сопряженной системы (5) при x ( t ) = x ( t , v ), и ( t ) = v ( t ) .

Известное необходимое условие оптимальности допустимого управления и е D в форме дифференциального принципа максимума в задаче (1)-(3) при некотором векторе параметров Л = ( Л ₀, Л ) ^ 0, Л ₀ = 0 v 1 можно представить в виде системы уравнений:

и ( t ) = P u ( и ( t ) + a H ( у ^Л ( t , и ), x ( t , и ), и ( t ), t )),       (6)

Ф 1 ( x ( t i , и )) = 0.                              (7)

Система (6), (7) рассматривается как задача о неподвижной точке с дополнительным алгебраическим уравнением в пространстве доступных управлений. Такое представление дает возможность применить и модифицировать известную теорию и методы неподвижных точек для конструирования итерационного метода для решения задачи (6), (7). В частности, можно применить итерационный метод простой итерации с индексом k >  0 :

и^{к + 1} ( t ) = P u ( и^к ( t ) + а НЛ ( у ^Л ( t , _U) ), x ( t , _U) ), _U( ( t ), t )),

y( x ( t i , и^{к + 1})) = 0.

2 Пример

Рассматривается известная задача с фазовыми ограничениями, линейная по управлению, которая исследовалась в работах [8], [9]:

Сxi (t) = и1 (t),            Сxi (0) = -1, x2 (t) = xi (t) + и2 (t), [x2 (0) = 2,

- 8 <  x _i ( t ) <  0 , - 4 <  x ₂ ( t ) <  2, t е T = [ 0,10 ] , Ф ( и ) = 3 x _i ( 10 ) - x ₂ ( 10 ) ^ inf,

V = { и = ( и ₁, и ₂) е PC ( T ): и ( t ) е U , t е T }, U = { и = ( и₁,и ₂): | и ₁| <  1, 1 <  и ₂ <  2}.

В работе [8] применялась комбинация методов штрафов. Для решения задач Коши использовался метод Эйлера с пересчетом (2-го порядка точности) с постоянным шагом h = 10 ^{- 1}. Стартовое управление: u ₁ ⁰ = - 1, и 20 = 1. Было получено расчетное значение целевого функционала Ф = -12.5000. При этом максимальное нарушение фазовых ограничений на сетке дискретизации имело значение M = 0.000001.

Рис. 1. Расчетные управления, полученные в [8]

Рис. 2. Расчетные траектории, полученные в [8]

В работе [9] исходная задача сводилась к задаче линейного программирования на основе кусочно-постоянной аппроксимации управления на сетке с шагом h = 10 ^{- 1}, для которой использовались многометодные вычислительные технологии. Для решения задач Коши использовался метод Рунге — Кутта 4-го порядка точности. Стартовое управление: и 1 ⁰ = - 1, и ₂ ⁰ = 1. Было получено расчетное значение целевого функционала Ф = -12.5 . На рисунках 3 и 4 представлены найденное управление и соответствующие ему траектории фазовых переменных.

Рис . 3. Расчетные управления, полученные в [9]

Рис. 4. Расчетные траектории, полученные в [9]

В настоящей работе введением дополнительных фазовых переменных с использованием кубических штрафных функций задача сводится к эквивалентной задаче с одним терминальным ограничением-равенством:

'x i ⁽ t ) = u i ⁽ t ) , X 2 ( t ) = X 1 ( t ) + u 2 ( t ) , ^X 3 ⁽ t ) = Q i ( ^x 1 ⁽ t ) ) , _ ^X 4 ( t ) = ^Q 2 ( ^X 2 ( t ) ) ,

'x i ( ⁰ ) = — 1 x ₂ ( 0 ) = 2, x 3 ( ⁰ ) = ⁰,

, X 4 ( 0 ) = 0,

t G T ,

x 3 ( t ) ,

Q 1 ( X 1 ( t ) ) = b,

X 1 ( t ) >  0,

X i ( t )^G [ - 8,0 ] ,

( ^{- x} i ( t )^- 8 ) ,    ^x i ( t ) < ^{- 8,}

( X 2 ( t ) - 2 ) 3 ,       X 2 ( t ) > 2,

Q 2 ( X 2 ( t )H 0,

X 2 ( t ) ^g[ - 4,2 ] ,

J- x 2 ( t ) - 4 ) 3 , x 2 ( t ) <- 4, Ф ( u ) = 3 x 1 ( 10 ) - x 2 ( 10 ) ^ inf, x ₃ ( 10 ) + x ₄ ( 10 ) = 0.

Рассмотрим задачу без ограничений на основе регулярного функционала Лагранжа:

L ( Л , u ) = 3 x 1 ( 10 ) - x 2 ( 10 ) + Л ( x ₃ ( 10 ) + x ₄ ( 10 ) ) ^ inf, Л е R .

Функция Понтрягина и сопряженная система в задаче Лагранжа соответственно имеют вид:

H ^Л ( w , x , u , t ) = ^ 1 u + w 2 ( X 1 + u 2 ) + W 3 Q 1 ( X 1 ) + W 4 Q 2 ( x 2 ) ;

W1 (t) = -W2 (t) - W3 (t) G1 (X1 (t)), [W1 (10) = -3,

W2 (t) = -W4 (t) G2 (X2 (t)) ,

W 2 ( 10 ) = 1, W 3 ( 10W

W 4 ( 10 ) = - Л ,

W3 ( t ) = 0,

^W 4 ( t ) = ⁰,

³ X 2 ( t ) ,

G 1 ( X 1 ( t )M 0,

X 1 ( t ) >  0,

X 1 ( t ) е [ - 8,0 ] ,

^{- 3} ( ^{- x} 1 ( t )^- 8 ) , ^X 1 ( t ) < ^{- 8;}

3 ( x 2 ( t ) - 2 ) 2 ,          x 2 ( t ) > 2,

G 2 ( ^x 2 ( t ) ) = ‘

0,

x 2 ( t ) е [ - 4,2 ] ,

- 3 ( - x 2 ( t ) - 4 ) ,      x 2 ( t ) <- 4.

В данной задаче Лагранжа ввиду линейности по управлению дифференциальный принцип максимума является эквивалентным известному принципу максимума.

Задача о неподвижной точке дифференциального принципа максимума (6), (7) в данной задаче принимает вид:

^U 1 ( t ) = 4,1 < 1 ( u i ( t ) + a^ ( t,^U 1 ) ) ,

U2 (t) = P1

Итерационный метод простой итерации имеет вид:

U1 k⁺¹(t) = pu1 <1 (U1 k (t)^{+ a}W1 (t, ^U1 k)) ,

U2k+1 (t) = P1

Численное решение фазовых и сопряженных задач Коши производилось методом Рунге — Кутта 4-го порядка точности. Значения управляемых, фазовых и сопряженных переменных запоминались в узлах фиксированной равномерной сетки T_h на интервале T . В промежутках между соседними узлами сетки T_h значение управления принималось постоянным и равным значению в левом узле.

Расчет проводился с шагом сетки дискретизации h = 10^-4 при проекционном параметре a = 10^-5 и стартовом управлении при к = 0 : U1⁰=-1, u₂⁰= 1.

На каждой итерации реализация ограничения сводится к решению неявно заданного уравнения относительно множителя Ле R. Численное решение алгебраического уравнения относительно параметра Ле [-1000,1000] осуществлялось известным методом золотого сечения с точностью s = 10^-7.

Критерием остановки расчета являлось достижение достаточно малого значения невязки дифференциального принципа максимума для управления u^k :

t, uk)(u к⁺¹( t) - u к⁺1( t))+ max ^

< 10^-14.

‘^eTh [+^₂(t,uk)(uk⁺¹(t)-uk(t))

Было получено расчетное значение целевого функционала Ф = -12.49992. При этом максимальное нарушение фазовых ограничений на сетке дискретизации составило значение M = 0.00009 . На рисунках 5 и 6 представлены графики расчетного управления и соответствующих траекторий.

Рис. 5. Расчетные (сплошные линии) и стартовые (пунктирные линии) управления

Расчетное экстремальное управление по своей структуре качественно похоже на управление из работы [8]. Полученное управление, как и в работах [8], [9], является особым, т. е. имеет интервалы, на которых управление принимает неграничные значения. Полученные количественные результаты демонстрируют достаточно приемлемую для практики вычислительную эффективность предлагаемого метода в сравнении с многоме-тодными технологиями [8], [9].

При достаточно больших a > 0 итерационный процесс перестает сходиться, при достаточно малых a > 0 сходимость существенно замедляется с соответствующим увеличением суммарного количества расчетных задач Коши. При дальнейшем улучшении точности расчета ограничения s > 0 наблюдается некоторое уменьшение расчетного значения целевого функционала (в значащих цифрах, начиная с шестой после запятой) с увеличением суммарного количества расчетных задач Коши.

Заключение

Рассматриваемый метод неподвижных точек для поиска экстремальных управлений систем с фазовыми ограничениями характеризуется условием выполнения фазовых ограничений на итерациях метода и достаточно простой вычислительной реализацией. Для вычисления очередного приближения управления на каждой итерации метода решаются две задачи Коши и не используется трудоемкая операция выпуклого или игольчатого варьирования управления для улучшения по целевому функционалу, в отличие от градиентных методов. В предлагаемом методе проекционный параметр a > 0 фиксируется, его можно легко подобрать экспериментально для выполнения сходимости итерационного процесса метода в каждой конкретной задаче.

Указанные свойства важны для повышения вычислительной эффективности решения задач оптимального управления с фазовыми ограничениями, в том числе особых задач, которые имеют особые экстремальные управления.