Об одном примере келеровой поверхности

Напомним, что почти эрмитово многообразие ( Mⁿ , J , g ) называется локально-конформно келерововым (короче – л.к.к.), если существует его открытое покрытие {U α } и гладкие функции σ_α : U α → Rⁿ такие, что { J , g _α = e ^{- σα} g } келерова структура на U α . В случае, когда покрытие состоит из одного элемента {Mⁿ}, структура назывется глобальноконформно келеровой .

Вайсманом [1] были получены следующие две характеристики таких многообразий:

• 1.    Необходимым и достаточным условием локально-конформной ке-леровости многообразия ( Mⁿ , J , g ) , ( n >  4) является справедливость тож-

• дества

• 2.    Другой эквивалентной характеристикой таких многообразий при n >  4 является условие почти комплексности так называемой связности Вейля

d Ω= ω ∧ Ω ,

где Q -фундаментальная 2-форма структуры, to = —— Х1 ° J -

2 n _- 1

1-форма, называемая формой Ли . Можно показать, что при n >  4 форма Ли замкнута вследствие (1) и невырожденности 2-формы Ω .

В случае n = 4 , к (1) добавляется еще одно условие: d ω = 0 .

V x Y = V x Y - 1 to ( X ) Y - 1 to ( Y ) X + 1 g ( X , Y ) £ ,      (2)

где V - риманова связность метрики g, § -вектор, двойственный форме Ли, называемый вектором Ли. При n = 4 также добавляется условие d to = 0.

Если форма Ли точна, то есть to = d o , то структура { J , g } является глобально-конформно келеровой и { J , e ^-o g }- келерова структура на Mⁿ .

Вычислив ковариантную производную структурного оператора J в связности Вейля, получим

V x ( J)Y = V x ( J)Y + i( to ( Y ) JX - to (JY ) X + Q ( X , Y) ^ - g ( X , Y ) J ^ ) . (3)

Легко проверить, что условие V _X J = 0, с учетом (3), можно записать в следующем эквивалентном виде

„           -1

g ( V x ( J ) Y , Z ) = —— ( g ( X , Y ) 3 F ( Z ) - g ( X , Z ) 3 F ( Y ) -

2( n - 1)

• - g ( X , JY ) 3 F ( JZ ) + + g ( X , JZ ) 3 F ( JY )),

где F ( X , Y ) = g ( JX , Y ) = -Q ( X , Y ).

Как известно [2], данное условие является определяющим условием принадлежности многообразия ( Mⁿ , J , g ) к классу W₄ , в классификации Грея-Хервеллы. Таким образом, мы замечаем, что в случае n>4, класс локально-конформно келеровых многообразий совпадает с классом W₄. Это факт, исходя из совершенно других соображений, был также получен в работе [8 ]. В случае n = 4, как известно ([2]), класс W₄ совпадает с классом эрмитовых поверхностей.

Пусть ( T ( Mⁿ ), J , g ) - касательное расслоение над почти эрмитовым многообразием ( Mⁿ , J , g ), снабженное почти эрмитовой структурой инвариантного типа [3], где

J ( X H ) = ( JX ) H ;

J ( X V ) = ( JX ) V ;

X е х (M );(...) H ,(...) V - горизонтальный и вертикальный лифты [4].

g ( X H , Y H ) = 2 g ( X , Y );

g ( X H , Y V ) = 0;

g ( X V , Y V ) = g ( X , Y );

где A g - риманова метрика, полученная конформным преобразованием метрики g .

Относительно римановой связности V метрики g имеют место следующие формулы [5]

( V _xh Y^h ) Z = (V' x Y ) ^H - i( R ( X , Y ) Z ) ^V ;

( V x h Y^v ) z = ^ 2 ( R ( Z , Y ) X ) ^H + ( V x Y ) ^V ;

( V _xv Y^h ) z = ^ 2 ( R ( Z , X ) Y ) ^H ;

V _X v Y^V = 0;

где X , Y e x (M ); Z e T ( M " ); V , V’ - соответственно, римановы связности метрик g и 2 g ; R - тензор кривизны связности V .

Кроме того,

( V X H ( J)Y^H ) z = ( V x ( J ) Y ) ^H + i( JR ( X , Y ) Z - R ( X , JY ) Z ) V ;

( V x_H ( J)Y^V ) z = ^ ( R ( Z , JY ) X - JR ( Z , Y ) X ) ^H + ( V x ( J ) Y ) V ; (5) ( V _xv Y^h ) z = ^ 2 ( R ( Z , X ) JY - JR ( Z , X )Y ) ^H ;

V X V ( J ) Y^V = 0;

С учетом (5) имеем

^6( X^H ) = 3 2‘( X ),

CMXV)) Z = t (JR (Z, X)), где 3D - кодифференциал фундаментальной формы структуры {J, g};

XY - кодифференциал фундаментальной формы структуры { J , 2 g }.

Отсюда

ю ( X H ) =     Ю ( X );

( Ю ( X V )) z =       tr ( JR ( z , JX )).

где ю - форма Ли структуры { J , g }; ю - форма Ли структуры { J , 2 g }.

Теорема 1 . Касательное расслоение (T ( Mⁿ ), J , g ) ( n >  2) является локально-конформно келеровым многообразием тогда и только тогда, когда ( M" , J , g ) - плоское келерово многообразие и 2 = const.

Доказательство . С учетом (5) и (6) формула (3) относительно структуры { J , g } на касательном расслоении T ( M " ) примет следующии вид:

(^ V _xh ( J)Y^H ) z = ( V"x ( J)Y ) ^H +1( JR ( X , Y ) Z - JR ( X , JY ) Z ) ^V + + 2 ( g ( X , Y ) J ^ v -D ( X , Y)^_r );

( V X H ( J)Y V ) _z = X ( R ( Z , JY ) X - JR ( Z , Y ) X ) ^H + to ( JY ) X^H -        (7)

• -to (Y )( JX ) ^H ■ ( V x ( J ) Y ) V ;

( V x v ( J)Y^H ) z = X ( R ( Z , X ) JY - JR ( Z , Y ) X ) ^H + to H ( JY ) X V - to ( Y )( JX ) V ;

• 4)    V x v ( J ) Y^V = Q ( X , Y ) ^ h - g ( X , Y ) J ^ h + to v ( JY ) X V -

• -Q(X, Y)^v + g(X, Y) J^ - tov (Y)(JX)V; где

V’’- связность Вейля структуры {J,Xg}; toH (X) = -nx toX), to (X) Z =      tr (JR (Z, JX)).

Пусть связность Вейля V почти комплексна относительно J , то есть

VXJ = 0, X е х(.TM) • Тогда из (7)3, в частности, получаем toH (JY)XV - toH (Y)(JY)V = 0 •

Произведя в этом выражении свертку по первому нижнему и верхнему аргументам, имеем

( n - 1) to v ( JY ) + g ( J ^ v , Y ) = 0.

Затем, заменяя Y ^ JY

( n - 2) to V ( Y ) = 0.

Таким образом, если n >  2, то to V = 0 .

Итак, если n >  2, то форма Ли to = 0. Тем самым условие V X J = 0 при n >  2 равносильно V X J = 0, то есть келеровости структуры { J , g }. Как известно [3], келеровость структуры { J , g } равносильна R = 0 и X = const . Тем самым теорема 1 доказана.

Теорема 2 . Пусть ( M ², J , g ) - келерово многообразие со знакоопределенной гауссовой кривизной κ . Тогда эрмитова поверхность

⁽Т ⁽ M ²⁾, ^J , e"^cg ) , где о = ^{- К} -g _tJy‘y^J

, является келеровой поверхностью

2х тогда и только тогда, когда X = Ак, где A = const и sign (A) = sign (к).

Доказательство . Пусть ( M ², J , g )- двумерное (связное) келерово многообразие. Тогда, как известно [6], ( Т ( M ²), J , g )- эрмитово многообразие, названное нами тангенциальной эрмитовой поверхностью . Из двумерности риманова многообразия ( M ² , g ) имеем

R (X, Y) Z = к( g (X, Z) Y - g (Y, Z) X), где к - гауссова кривизна. Следовательно, соотношения (6) примут вид to( XH) = 0;

( to X V )) _z =- K g ( z , x ).                    ⁽⁸⁾

λ

Как известно [7], для эрмитовых поверхностей условие '7 х J = 0 имеет место тождественно. В нашем случае это также легко проверить, использовав формулы (7) и (8).

Вычислив ковариантную производную формы Ли to , получим

7 _X H ( to )Y H = 0,

( 7 _X H ( to )Y V ) Z =д х ( — K)g ( Z , Y ),

7 _X ( to ) Y^H = 0,

7xv (to)YV =-K g(x, Y), где d X = Xi    .

∂ xⁱ

Отсюда dto( XH, YH) = 0,

(dto(XH, YV)) Z =d X (-22) g (Z, Y), dto( XV, YV) = 0.

Таким образом, получаем, что d to = 0 тогда и только тогда, когда

Э_х ( ^К ) = 0. С учетом связности многообразия M ², Э_х ( ^K ) = 0 тогда и

Xλ                                     Xλ

κ

только тогда, когда — = const. Кроме того, в силу положительности λ функции 2, это равенство имеет смысл только тогда, когда гауссова кривизна к знакоопределена. Покажем теперь, что замкнутость формы Ли to влечет ее точность. Действительно, в адаптированном кобазисе {(dx)V,(dx)H} имеем to = (-K) g,xs (dxi)H = (-K)(g^dyiys + g, T ‘ylysdxj) = is                                            is                     is lj

= ^{( - K )(} g is dy i y s ⁺ 1 dg ts yy^s ) = ^{d ( - K} g ₄ y‘y^J )»

2                      2 2

где (xi,yi)– стандартная локальная система координат на T(M2), {gij }– компоненты римановой метрики g в этой системе координат. Та- ким образом, форма Ли

κ

ω= dσ, где σ= - g yiyj . Легко проверить, 2λ ij что σ– глобально определенная функция на T(M) . Тем самым доказано, что (T(M2),J,g) - глобально-конформно келерово многообразие тогда и только тогда, когда выполняются следующие два условия:

• 1.    ( M ², g )– риманово многообразие со знакоопределенной гауссовой кривизной κ ;

• 2.    λ = A κ , где A = const и sign ( A ) = sign ( κ ) .

Теорема доказана.

Следствие . Пусть ( M ², J , g ) многообразие постоянной гауссовой кривизны κ . Тогда эрмитова поверхность ( T ( M ²), J , e ^{- σ} g ) является ке-леровой поверхностью тогда и только тогда, когда λ = const .

Заключение

В настоящей работе, в отличие от большинства других работ по данной тематике, рассматривается касательное расслоение над эрмитовым многообразием. Показано, что на ней естественным образом индуцируется почти эрмитова структура инвариантного типа и получены необходимые и достаточные условия келеровости этой структуры. Основные результаты работы получены вычислением в формализме Кошуля.