Об оптимальном восстановлении производных от аналитических функций по их значениям в точках, образующих правильный многоугольник

DOI:

Пусть К = { 2 : | 2 | < 1 } — единичный круг, а Г = { 2 : | 2 | = 1 } — единичная окружность. Обозначим через В¹ (К ) = { /(2) : | /(2) | <  1, 2 G К } — множество аналитических функций, заданных в круге К . Пусть также

2 1 = R, 2 2 = Reⁱ 2 ^П , ..., 2 ^ = Re^ ^-1 2 ^П —                  (1)

точки, образующие правильный многоугольник, где п > 3, а 0 < R < 1. Если S(t1,...tn) — любая комплексная функция п комплексных переменных, то погрешностью приближения методом S N-й производной /(V)(0) по информации о значениях /(z1), ..., /(zn) называется следующая величина rn(S) =    sup    /(V)(0) -S(/(zi),...,/(z-)) .

f (x) e B 1 (K)

Согласно работе К.Ю. Осипенко [4] существует линейный наилучший метод приближения

n

S o = ^ c _k / (z _k )

k=1

(здесь ck — комплексные числа), для которого выполняются следующие равенства г-(So) = inf Tn(S) = sup

/ ^{( V} ) (0)

^S                 f (z) E B 1 (K)

^{f (}Z 1 ) = " = ^f (ZnW

В дальнейшем погрешность наилучшего метода приближения обозначаем r _V (z ₁ ,...,z _n ) , то есть т _V (z ₁ ,...,z _n ) = r _n (S ₀ ) . Заметим, что задачи оптимального восстановления некоторых классов функций и их производных по значениям функций в конечном числе точек изучались во многих работах (см., например, [1–5; 7]. В работе [7] (см. также [4]) была решена задача оптимального восстановления значений функций, заданных в единичном круге и принадлежащих классу Харди Н _р ( 1 <  р < то ), в точке z ₀ по их значениям в различных точках z 1 , . . . ,z _n . В работе [5] рассматривалась аналогичная задача оптимального восстановления производных от функций класса Н _р . При этом в работе [5] учитывались значения функций и их производных и в самой точке z ₀ . В статьях [1; 2] исследовали похожие задачи, но уже по значениям функций в точках, заданных с погрешностью. В настоящей работе не применяются результаты, полученные в статье [5], так как в ней не используются значения функций и их производных в нуле. Приведем некоторые результаты из работы [6] (см. также [8]).

Если ^(Z) — суммируемая на Г функция, то выполняется соотношение двойственности sup f EB1(K)

J / (ZMZX г

min

Фе П 1

/

г

M^{Z )} - y ^{(Z) |}№ ,

где Н 1 — класс Харди. В рассматриваемом случае существуют экстремальные функции / * (z) G В 1 (К ) и p * (z) G Н 1 для равенства (3). Причем, функция / * (z) единственна с точностью до множителя е ^г4 ( t G R ), а p * (z) — единственна. Кроме того, функции / * (z) G В ¹ (К) и p * (z) G Н 1 являются экстремальными тогда и только тогда, когда почти везде на Г выполняется соотношение

/ *M Z ) - v * ( Z )K = -.....' Z - p * ( Z ) | ds,

где 5 — действительная константа. В работе [6] установлено следующее. Если ^( Z ) является граничным значением на Г мероморфной в К функции ^(z) с полюсами 3 1 , ..., в _т (каждый полюс повторен столько раз, какова его кратность), то произведение

^/ * ^(z) ⁽^^{(z) -} V* ^{( z} ))

является аналитической функцией (за исключением полюсов) вплоть до границы Г и имеет в К

М — т - 1

нулей. Приведем еще две формулы, полученные в работе [3]:

^П (R - _{Z j} ) = R ⁿ 1 т, 3=2

п

П (1 - zr ) =

3=2

1 - R ^{2 n}

1 - R ² '

1. Нахождение погрешности наилучшего метода

Лемма 1. Если

п

В (Z) — П Z k=1

-

Z k

-

-

Z k z

конечное произведение Бляшке, в котором точки z ,, ... , Z _n определяются при помощи формулы (1), то справедливы соотношения

2π

В ( z ) — В(е ” z ) ,    z Е К,

В(0) — - R ⁿ , В ^{( 3 )} 0) — 0,   1 <  j <  т - 1.

Доказательство. Сначала убедимся в справедливости равенства (8). В самом деле

В (е ^г "П z) —

„г2п „    D     с22п е " z - R е " z

-

Re¹ "л

_ог "^ -     Р_ег(п — 1)

е "  z — Re ^v ■ "

·

1 - R^ "Л z  1 - Re ^{- 2} п е "л z

.

.

.

1 - Re ^{-г ( п- 1)} "л е ^г "л z

z - Re ^- 2?

1 -

R^ " л z

·

Z

-

-

R RTz

.

.

.

z       ^г ( ^п- 2) "П

--------;—ллг- — B ( z ) .

1 - Re ^{-г ( п- 2)} " п z

Равенство (9) доказывается непосредственно. После этого докажем соотношения (10). Для этого разложим произведение Бляшке B ( z) в ряд Маклорена

B ( z) — O q + O 1 Z + , 2 Z + • • • + O jZ³ + . . .

Отсюда вытекает (см. (8))

"П  \           .       ,-2п                         2п\ ³

В (е ” z ) — а ₀ + а 1 е ” z + • • • + а - (е ” J z³ + ...

При 1 <  j <  т - 1 справедливо е ^г3 2” — 1 и, значит, а,- — 0 . Так как а - — B ^{( 3 )} (0)/j!, то отсюда и вытекают равенства (10).

Замечание. Нетрудно убедиться в том, что если число j не кратно т , то В ^{( 3 )} (0) — 0 .

Лемма 2. Если N — натуральное число, то d = sup    \FN (0)| = N!,

F (z) G B 1 (K )

а экстремальная функция этой задачи имеет вид

F * (z ) = e^z ^N , где 5 G R.

Доказательство. Так как F(z) = z ^N G В ( K ) и F ^{( N} ) (z) = N ! , то d >  N ! . Пусть теперь функция F (z) G В 1 (K) . Тогда

F ^{( N} ) (0)

N! FX^ 2nij Z ^N +1 ^dZ

г

— N! / I d Z l = N !

2n г

и, значит, d — N ! Отсюда тремальная функция задачи вид (12).

и вытекает равенство (11). Согласно предыдущему экс-(11) единственна с точностью до множителя е^г5 и имеет

Теорема 1. В случае, когда 1 — N — и — 1, погрешность наилучшего метода приближения значений /(N)(0) по значениям /(z1),..., /(zn) вычисляется по формуле tn (zi,...,zn) = N!Rn.                               (13)

Экстремальная функция / * z ) задачи (2) единственна с точностью до множителя е^г&, где 5 G R , и имеет вид

/ * (z) = e^iSz ^N B(z).                                    (14)

Доказательство. Обозначим

А = { /(z) : /(z) G В 1 (K ), /(z i ) = ... = / (z n ) = 0 } семейство аналитических функций. Пусть /(z) G А . Рассмотрим функцию ( - ^{/(z) 9 ( z )}     /В(z ).

Если | z | = 1 , то | 9(z) | = | /(z) | — 1 . Отсюда следует, что если /(z) G А , то /(z) = = В (z)9(z) , где 9(z) G B 1 (K) . Так как согласно (10)

/ ^{( N} ) (0) = ^£С^к_п В ^{( N - к)}(0)9 ^{( к )} (0) = C N В (0)9 ^{( N} ) (0) = В (0)9 ^{( N} ) (0), к=0

то в силу (2), (9), (11)

T _n (z i ,..., z _n ) = | В(0) |     sup

9 ^{( N} ) (0)

= N !R ⁿ .

g(2) G B 1 (K)

Понятно, что экстремальная функция / * (z) задачи (2) единственна с точностью до множителя e ⁱ⁵ , где 5 G R (см. лемму 2) и имеет вид (14). Теорема доказана.

Следствие 1. Так как /*(z) является экстремальной функцией задачи (2), то /*(V)(0) = r V(z1,...,zn). Отсюда следует, что /*(z) является экстремальной функцией задачи rN (zi,...,z„) =   sup

J (z) G B 1 (K)

n

/ < ^{V )} (0) - £ c ₆ /(z ₆ )

k=1

sup

J (Z) E B 1 (K )

I u(Z)f ( Z )d Z г

где L_k=1 c _k / (z _k ) — любой из линейных наилучших методов приближения, а

(a- A   Al _£ _ck

"■   2™ ^^{v +i}  k= z - z?) .

Значит, экстремальная функция задачи (15) имеет вид е ^г5 / * (z), где 5 G R .

Следствие 2. Мероморфная функция R(z) = / * (z)(^(z) —

* (z)) , в которой / * (z) является экстремальной функцией задачи (2), u(z) имеет вид (16) , а ^*(z ) — экстремальная функция в правой части равенства (3) не равна нулю в замкнутом круге К (см. (5), (14)) и имеет только одну особую точку в нуле.

Замечание. Если ^2П =1 c _k /(z _k ) — линейный наилучший метод, а / * (z) является экстремальной функцией задачи (2), то выполняется соотношение (4), в котором функция ^( Z ) имеет вид (16).