Об ошибочности теоремы В. В. Аксенова

Для удобства работы с векторными функциями принято использовать различные потенциалы: скалярные, векторные или их комбинации [1]. Особое внимание уделяется соленоидальным векторным функциям, то есть имеющим нулевую дивергенцию divHr=0 .                          (1)

Например, в работе [2] доказано, что всякая непрерывно дифференцируемая соленоидальная векторная функция представима в виде

Hr = rot Ar , где Ar имеет нулевую нормальную компоненту на границе области и удовлетворяет равенству divAr=0 .

Это условие бездивергентности называется кулоновской калибровкой для векторного потенциала Ar , который принято вводить для магнитной индукции B, являющейся соленоидальной векторной функцией в силу уравнений Максвелла в стационарном случае.

Теорема В.В. Аксенова

В работе [3] сформулирована следующая теорема:

Соленоидальное векторное поле Н в сферической области (в шаре с поверхностью 5 и радиусом R ), однозначно восстанавливается выражением

Н = Н + Н ₂ = rot ( Q r ) + rot rot ( Q r ), (2) если известна нормальная составляющая H N на 5 , а функция Q е C ” , среднее значение которой на 5 равно нулю, и Н , Н_х,Н ₂ * 0 всюду.

Через r обозначен радиус-вектор точки. Утверждения, аналогичные данной теореме, приведены также в книгах В.В. Аксенова [4], [5] и в его некоторых других изданиях.

Справедливость представления (2) с помощью одной скалярной функции существенно упростила бы работу с соленоидальными векторными функциями, и, в частности, кардинально облегчило бы решение многих задач математической физики. Но, к сожалению, оно не верно. Чтобы это доказать, приведем в качестве контрпримеров два вида соленоидальных векторных полей, удовлетворяющих условию теоремы, но не удовлетворяющих равенству (2).

	Контрпримеры к теореме В.В. Аксенова
Запишем	формулу (2) покомпонентно в сферических координатах
r , 0 , Ф	Н, =- -1-((sin e d Q ) + — SQ ),      (3) r     r sin e 5 0      d 0   sin 0 д ф 2 1 d Q 1 d z d Q, 0 sin e a, r а6r ae ' h , =-d Q + A ( r d e ,.              (5) 60 r sin 0 d r дф

Вычислив радиальную компоненту ротора этой векторной функции по

формуле -r      1 a d , . „    .   dHg rotH =      (   (sin0H.)     0) r     r sin0 50        ф дф с использованием выражений (4), (5) для Н0,Нф, получаем ее равенство выражению (3) для Нг. Следовательно, всякая векторная функция вида (2) удовлетворяет условию

r rotrH = Hr. (6)

Разумеется, не всякая функция, удовлетворяющая условиям теоремы, удовлетворяет условию (6). Простейшим примером является следующая векторная функция, не зависящая от координат. Пусть вектор H параллелен оси 9 = 0, и его модуль равен H ₀. Эта векторная функция имеет нулевую дивергенцию, и значит, является соленоидальной. Она имеет нулевой ротор и отличную от нуля радиальную компоненту H_r = H ₀ cos 9 , и значит, не удовлетворяет (6).

Чтобы не создалось впечатление, что достаточно исключить константы из множества рассматриваемых функций, приведем и пример противоречия условию (6) при Hr = 0 и отличной от нуля компоненте ротора rotH. Это поле вида Hr = H9 = 0, Hф = f (r,9) с отличной от тождественного нуля функцией f (r, 9), произвол которой ограничен только условиями гладкости. Дивергенция такого поля равна нулю, и значит, оно удовлетворяет условию теоремы. Компонента ротора rotH этого поля не может тождественно равняться нулю, поскольку ее интеграл по части сферы 9 < 90 равен интегралу касательной компоненты самого поля HI по ограничивающей ее линии 9 = 90, то есть 2nrsin90f (r,90). Поскольку Hr = 0 тождественно, получаем противоречие (6). В этом примере можно положить f (r,9) = rsin(n9 / 90) при 9 < 90, и f (r,9) = 0 при 9 > 90, чтобы получить противоречие и последнему утверждению теоремы .

Сопоставление с известными способами введения потенциалов

Рассматриваемую ситуацию можно интерпретировать следующим образом. Трехмерное векторное поле в общем случае определяется тремя скалярными функциями, в качестве которых можно взять три проекции поля на оси координат. Если же векторное поле H I удовлетворяет условию соленоидальности (1), то данное дополнительное ограничение приводит к тому, что соответствующее поле может быть выражено с помощью не трех, а двух скалярных функций. Данный факт является известным и, например, в книге [6] показано, что произвольное соленоидальное поле H ^r может быть представлено в виде

H = H T + H P = rot ( T r ) + rot rot ( P r ),            (7)

где H T и H P называются тороидальным и полоидальным полем соответственно, а скалярные функции выражаются формулами

P = - L ' ( r , H r ), T = - L ' ( r , rot H r ).

Здесь в круглых скобках - скалярные произведения, и L есть дифференциальный оператор 2-го порядка

1 ∂∂ 1 ∂ ² L ψ = ( sin θ + ) ψ . sin θ ∂ θ    ∂ θ sin² θ ∂ φ ²

Доказательство представления (2) в статье [3] основано на представлении (7), но использовано дополнительное не обоснованное равенство

HrP=rot(HrT), которое и позволило получить равенство скалярных функций P= T. Заметим, что в статье [3] для слагаемых HrT , HrP в представлении (7) использованы те же обозначения Hr1 , Hr2 , что и для слагаемых в (2).

Если в представлении (7) взять не произвольные функции P , T , а связать их некоторыми условиями, то можно получить представления полей H ^r в различных частных случаях. Например, в монографии [7] используется пара функций P и T = hP , где h - некоторая константа. В качестве функции P берутся решения уравнения Гельмгольца. Тогда формула (7) дает представления некоторых бессиловых магнитных полей. Магнитные поля называются бессиловыми, если равна нулю объемная плотность силы Ампера, действующей на находящийся в этом поле проводник. Поскольку сила Ампера, действующая на единицу объема, равна векторному произведению плотности тока ^r j = rot H ^r и H ^r , это условие эквивалентно требованию параллельности векторов H ^r и rot H ^r

H ^r = a rot ( H ^r ), (8) где a может быть константой или некоторой заранее неизвестной функцией.

Заметим, что если бы аналогичные (6) соотношения выполнялись и для θ - , ϕ - компонент, поле, представляемое в виде (2), было бы бессиловым с константой a = 1, но при произвольной функции Q этого свойства нет.

В монографии [8] для представления бессиловых полей использована более общая форма

H ^r = a rot (A ^r ) + rot rot (A ^r ) , (9) которая сходна с (2) и (7) наличием повторной операции rot . Для введенной новой неизвестной функции A ^r условие (8) тоже сводится к уравнению Гельмгольца. Использование представлений (7) и (9) свидетельствует в пользу аналогичного им представления (2), однако этим приемом удается воспользоваться только в некоторых частных случаях, как это сделано в [7, 8], а не для произвольного соленоидального поля, как утверждается в обсуждаемой теореме из [3].

О единственности потенциала

В формулировке теоремы [3] есть еще одно утверждение: «... однозначно восстанавливается выражением (2)». Разумеется, вычисление по этим формулам дает единственный результат, поскольку в нем нет неоднозначных функций, но эти слова можно трактовать и не столь тривиально, а как единственность такой функции Q для заданного поля H ^r . Последнее не верно. Возьмем произвольную скалярную функция q ( r ), зависящую только от координаты r и равную нулю на граничной сфере r = R , чтобы удовлетворить однородному граничному условию, наложенному на Q( r ) условиями теоремы. Направленная по радиусу векторная функция rq ( r )(1,0,0) имеет нулевой ротор, и поэтому функция q ( r ) может быть добавлена к Q( r ) без изменения представляемого поля H ^r . Значит, единственности Q( r ) нет.

Заключение

Таким образом, представление (2) может быть справедливым только для гораздо более узкого класса функций, чем указанный в теореме, и когда функция Q( r ) существует, она не единственная.